理科数学试题第1页(共5页)
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
适用地区:甘肃、青海、内蒙古、黑龙江、吉林、辽宁、宁夏、陕西、重庆、新
注意事项:
1
.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2
.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需
改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3
.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共
12
小题,每小题
5
分,共
60
分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.已知集合U={−2,−1,0,1,2,3},A={−1,0,1},B={1,2},则()
U
AB
A.{−2,3}B.{−2,2,3}
C.{−2,−1,0,3}D.{−2,−1,0,2,3}
2.若α为第四象限角,则
A.cos2α>0B.cos2α<0
C.sin2α>0D.sin2α<0
3.在新冠肺炎疫情防控期间,某超市开通网上销售业务,每天能完成1200份订单的配货,
由于订单量大幅增加,导致订单积压.为解决困难,许多志愿者踊跃报名参加配货工作.已
知该超市某日积压500份订单未配货,预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05,
志愿者每人每天能完成50份订单的配货,为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的
概率不小于0.95,则至少需要志愿者
A.10名B.18名
C.24名D.32名
理科数学试题第2页(共5页)
4.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所,分上、中、下三层,
上层中心有一块圆形石板(称为天心石),环绕天心石砌9块
扇面形石板构成第一环,向外每环依次增加9块,下一层
的第一环比上一层的最后一环多9块,向外每环依次也增
加9块,已知每层环数相同,
且下层比中层多729块,则三层共有扇面形石板(不含天心
石)
A.3699块B.3474块
C.3402块D.3339块
5.若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切,则圆心到直线230xy的距离为
A.
5
5
B.
25
5
C.
35
5
D.
45
5
6.数列
{}
n
a
中,
1
2a
,
mnmn
aaa
.若155
1210
22
kkk
aaa
,则k
A.2B.3C.4D.5
7.下图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点
在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该
端点在侧视图中对应的点为
A.EB.F
C.GD.H
8.设O为坐标原点,直线
xa
与双曲线
22
22
:1(0,0)
xy
Cab
ab
的两条渐近线分别交于
,DE两点,若ODE△的面积为8,则C的焦距的最小值为
A.4B.8C.16D.32
9.设函数()ln|21|ln|21|fxxx,则f(x)
A.是偶函数,且在
1
(,)
2
单调递增B.是奇函数,且在
11
(,)
22
单调递减
C.是偶函数,且在
1
(,)
2
单调递增D.是奇函数,且在
1
(,)
2
单调递减
理科数学试题第3页(共5页)
10.已知△ABC是面积为
93
4
的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面
积为16π,则O到平面ABC的距离为
A.3B.
3
2
C.1D.
3
2
11.若2x-2y<3−x-3−y,则
A.ln(y–x+1)>0B.ln(y–x+1)<0
C.ln∣x–y∣>0D.ln∣x–y∣<0
12.0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列
12n
aaa满足{0,1}(1,2,)
i
ai,且
存在正整数m,使得(1,2,)
imi
aai
成立,则称其为0-1周期序列,并称满足
(1,2,)
imi
aai
的最小正整数m为这个序列的周期.对于周期为m的0-1序列
12n
aaa,
1
1
()(1,2,,1)
m
iik
i
Ckaakm
m
是描述其性质的重要指标,下列周期为5的
0-1序列中,满足
1
()(1,2,3,4)
5
Ckk
的序列是
A.
11010
B.
11011
C.
10001
D.
11001
二、填空题:本题共
4
小题,每小题
5
分,共
20
分。
13
.已知单位向量
a
,
b
的夹角为
45
°,
k
a
–
b
与
a
垂直,则
k=__________
.
14
.
4
名同学到
3
个小区参加垃圾分类宣传活动,每名同学只去
1
个小区,每个小区至少安排
1
名同学,则不同的安排方法共有
__________
种.
15.设复数
1
z,
2
z满足
12
||=||=2zz,
12
3izz,则
12
||zz=__________.
16
.设有下列四个命题:
p1:两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2:过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3:若空间两条直线不相交,则这两条直线平行.
p4:若直线
l
平面
α
,直线
m
⊥平面
α
,则
m
⊥
l
.
则下述命题中所有真命题的序号是
__________
.
①
14
pp
②
12
pp
③
23
pp
④
34
pp
理科数学试题第4页(共5页)
三、解答题:共
70
分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第
17
~
21
题为必考题,
每个试题考生都必须作答。第
22
、
23
题为选考题,考生根据要求作答。
(一)必考题:共
60
分。
17
.(
12
分)
ABC△
中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC.
(1)求A;
(2)若BC=3,求
ABC△
周长的最大值.
18.(12分)
某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区
某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方
法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(x
i
,y
i
)(i=1,2,…,20),其中x
i
和y
i
分别表示第
i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得
20
1
60
i
i
x
,
20
1
1200
i
i
y
,
20
2
1
)8(0
i
i
xx
,
20
2
1
)9000(
i
i
yy
,
20
1
)()800(
ii
i
yyxx
.
(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生
动物数量的平均数乘以地块数);
(2)求样本(x
i
,y
i
)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);
(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大.为提高样本的代表性以获得该
地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.
附:相关系数1
22
11
)
(
()
()
(
)
ii
i
n
i
n
i
i
n
i
xy
r
xy
xy
xy
,
21.414
.
19.(12分)
已知椭圆C
1
:
22
22
1
xy
ab
(a>b>0)的右焦点F与抛物线C
2
的焦点重合,C
1
的中心与C
2
的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C
1
于A,B两点,交C
2
于C,D两点,且
4
3
CDAB.
(1)求C
1
的离心率;
(2)设M是C
1
与C
2
的公共点,若|MF|=5,求C
1
与C
2
的标准方程.
理科数学试题第5页(共5页)
20.(12分)
如图,已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的底面是正三角形,侧面
BB
1
C
1
C是矩形,M,N分别为BC,B
1
C
1
的中点,P为AM上一
点,过B
1
C
1
和P的平面交AB于E,交AC于F.
(1)证明:AA
1
∥MN,且平面A
1
AMN⊥平面EB
1
C
1
F;
(2)设O为△A
1
B
1
C
1
的中心,若AO∥平面EB
1
C
1
F,且
AO=AB,求直线B
1
E与平面A
1
AMN所成角的正弦值.
21.(12分)
已知函数2()sinsin2fxxx
.
(1)讨论f(x)在区间(0,π)的单调性;
(2)证明:
33
()
8
fx
;
(3)设*nN,证明:2222sinsin2sin4sin2
3
4
n
n
nxxxx
.
(二)选考题:共
10
分.请考生在第
22
、
23
题中任选一题作答。并用
2B
铅笔将所选题号
涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分.如果多做,则按所做的第一题计分.
22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)
已知曲线C
1
,C
2
的参数方程分别为
C
1
:
2
2
4cos
4sin
x
y
,
(θ为参数),C
2
:
1
,
1
xt
t
yt
t
(t为参数).
(1)将C
1
,C
2
的参数方程化为普通方程;
(2)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.设C
1
,C
2
的交点为P,求圆
心在极轴上,且经过极点和P的圆的极坐标方程.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)
已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;
(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.
理科数学试题第6页(共5页)
绝密★启用前
2020年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学参考答案
一、选择题
1.A2.D3.B4.C5.B6.C
7.A8.B9.D10.C11.A12.C
二、填空题
13.
2
2
14.3615.
23
16.①③④
二、解答题
17
.解:
(
1
)由正弦定理和已知条件得222BCACABACAB
,①
由余弦定理得2222cosBCACABACABA
,②
由①,②得
1
cos
2
A
.
因为0πA,所以
2π
3
A
.
(
2
)由正弦定理及(
1
)得
23
sinsinsin
ACABBC
BCA
,从而
23sinACB
,
23sin(π)3cos3sinABABBB
.
故
π
33sin3cos323sin()
3
BCACABBBB
.
又
π
0
3
B
,所以当
π
6
B
时,ABC△周长取得最大值
323
.
18.解:
(1)由已知得样本平均数
20
1
60
1
20
i
i
yy
,从而该地区这种野生动物数量的估计值为60
×200=12000.
(2)样本(,)
ii
xy(1,2,,20)i的相关系数
理科数学试题第7页(共5页)
20
1
2020
22
11
)()
80022
0.94
3
80900
(
0
))
(
(
i
i
i
i
ii
i
xyy
x
x
r
xyy
.
(3)分层抽样:根据植物覆盖面积的大小对地块分层,再对200个地块进行分层抽样.
理由如下:由(2)知各样区的这种野生动物数量与植物覆盖面积有很强的正相关.由于
各地块间植物覆盖面积差异很大,从而各地块间这种野生动物数量差异也很大,采用分层抽
样的方法较好地保持了样本结构与总体结构的一致性,提高了样本的代表性,从而可以获得
该地区这种野生动物数量更准确的估计.
19
.解:
(
1
)由已知可设
2
C
的方程为24ycx
,其中22cab
.
不妨设
,AC
在第一象限,由题设得
,AB
的纵坐标分别为
2b
a
,
2b
a
;
,CD
的纵坐标分别为
2c,2c,故
22
||
b
AB
a
,
||4CDc
.
由
4
||||
3
CDAB
得
28
4
3
b
c
a
,即2322()
cc
aa
,解得
2
c
a
(舍去),
1
2
c
a
.
所以
1
C
的离心率为
1
2
.
(
2
)由(
1
)知2ac,
3bc
,故
22
1
22
:1
43
xy
C
cc
,
设
00
(,)Mxy
,则
22
00
22
1
43
xy
cc
,2
00
4ycx
,故
2
00
2
4
1
43
xx
cc
.
①
由于
2
C
的准线为
xc
,所以
0
||MFxc
,而
||5MF
,故
0
5xc
,代入①得
2
2
(5)4(5)
1
43
cc
cc
,即2230cc
,解得1c(舍去),3c.
所以
1
C
的标准方程为
22
1
3627
xy
,
2
C
的标准方程为212yx.
理科数学试题第8页(共5页)
20.解:
(1)因为M,N分别为BC,B
1
C
1
的中点,所以
1
MNCC∥
.又由已知得AA
1
∥CC
1
,
故AA
1
∥MN.
因为△A
1
B
1
C
1
是正三角形,所以B
1
C
1
⊥A
1
N.又B
1
C
1
⊥MN,
故B
1
C
1
⊥平面A
1
AMN.所以平面A
1
AMN⊥平面
11
EBCF
.
(2)由已知得AM⊥BC.以M为坐标原点,
MA
的方向为x轴正方向,MB为单位长,建
立如图所示的空间直角坐标系M-xyz,则AB=2,AM=3.
连接
NP
,则四边形
AONP
为平行四边形,
故
23231
,(,,0)
333
PME.
由(
1
)知平面
A
1
AMN
⊥平面
ABC
,作
NQ
⊥
AM
,垂足为
Q
,
则
NQ
⊥平面
ABC
.
设
(,0,0)Qa
,则22
1
2323
4(),(,1,4())
33
NQaBaa
,
故2
11
23223210
(,,4()),||
3333
BEaaBE
.
又
(0,1,0)n
是平面
A
1
AMN
的法向量,故1
11
1
π10
sin(,)cos,
210
||
BE
BEBE
BE
n
nn
|n|
.
所以直线
B
1
E
与平面
A
1
AMN
所成角的正弦值为
10
10
.
21
.解:
(
1
)
()cos(sinsin2)sin(sinsin2)fxxxxxxx'
22sincossin22sincos2xxxxx
2sinsin3xx.
当
(0,)(,)
33
x
时,()0fx
;当
(,)
33
x
时,()0fx
.
所以
()fx
在区间
(0,),(,)
33
单调递增,在区间(,)
33
单调递减.
(
2
)因为
(0)()0ff
,由(
1
)知,
()fx
在区间
[0,]
的最大值为
33
()
38
f
,
最小值为
33
()
38
f
.而()fx
是周期为
的周期函数,故
33
|()|
8
fx.
理科数学试题第9页(共5页)
(
3
)由于3
222
2(sinsin2sin2)nxxx
333|sinsin2sin2|nxxx
23312|sin||sinsin2sin2sin2||sin2|nnnxxxxxx
12|sin||()(2)(2)||sin2|nnxfxfxfxx
1|()(2)(2)|nfxfxfx,
所以
2
222
3
333
sinsin2sin2()
84
n
n
n
n
xxx.
22
.解:
(
1
)
1
C的普通方程为
4(04)xyx
.
由
2
C的参数方程得22
2
1
2xt
t
,22
2
1
2yt
t
,所以224xy.
故
2
C的普通方程为224xy.
(
2
)由
22
4,
4
xy
xy
得
5
,
2
3
,
2
x
y
所以
P
的直角坐标为
53
(,)
22
.
设所求圆的圆心的直角坐标为
0
(,0)x,由题意得22
00
59
()
24
xx,
解得
0
17
10
x.
因此,所求圆的极坐标方程为
17
cos
5
.
23
.解:
(
1
)当2a时,
72,3,
()1,34,
27,4,
xx
fxx
xx
因此,不等式
()4fx
的解集为
311
{|}
22
xxx或.
(
2
)因为222()|||21||21|(1)fxxaxaaaa,故当2(1)4a,即|1|2a
时,
()4fx
.所以当
a≥3
或
a≤
-
1
时,
()4fx
.
当-
时,222()|21|(1)4faaaa,
所以
a
的取值范围是
(,1][3,)
.
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