广东高考试卷

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绝密★启用前

2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

文科数学

本试卷共21题，共150分。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。

2．答题时请按要求用笔。

3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。

5．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）

1．（5分）（2015•广东）若集合M={﹣1，1}，N={﹣2，1，0}则M∩N=（）

A．{0．﹣1}B．{0}C．{1}D．{﹣1，1}

2．（5分）（2015•广东）已知i是虚数单位，则复数（1+i）2=（）

A．2iB．﹣2iC．2D．﹣2

3．（5分）（2015•广东）下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

A．y=x+sin2xB．y=x2

﹣cosxC．y=2

x+D．y=x2+sinx

4．（5分）（2015•广东）若变量x，y满足约束条件，则z=2x+3y的最大值为（）

A．2B．5C．8D．10

5．（5分）（2015•广东）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=2，c=2，cosA=．且b＜

c，则b=（）

A．3B．2C．2D．

6．（5分）（2015•广东）若直线l

1

和l

2

是异面直线，l

1

在平面α内，l

2

在平面β内，l是平面α与平面β的交

线，则下列命题正确的是（）

A．l与l

1

，l

2

都不相交B．l与l

1

，l

2

都相交

C．l至多与l

1

，l

2

中的一条相交D．l至少与l

1

，l

2

中的一条相交

7．（5分）（2015•广东）已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品

的概率为（）

A．0.4B．0.6C．0.8D．1

8．（5分）（2015•广东）已知椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F

1

（﹣4，0），则m=（）

A．2B．3C．4D．9

9．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，=（1，﹣2），=

（2，1）则•=（）

A．5B．4C．3D．2

10．（5分）（2015•广东）若集合E={（p，q，r，s）|0≤p＜s≤4，0≤q＜s≤4，0≤r＜s≤4且p，q，r，s∈N}，F={（t，

u，v，w）|0≤t＜u≤4，0≤v＜w≤4且t，u，v，w∈N}，用card（X）表示集合X中的元素个数，则card（E）+card

（F）=（）

A．200B．150C．100D．50

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二、填空题（共3小题，考生作答4小题，每小题5分，满分15分）（一）必做题（11～13题）

11．（5分）（2015•广东）不等式﹣x2

﹣3x+4＞0的解集为．（用区间表示）

12．（5分）（2015•广东）已知样本数据x

1

，x

2

，…，x

n

的均值=5，则样本数据2x

1

+1，2x

2

+1，…，2x

n

+1的均

值为．

13．（5分）（2015•广东）若三个正数a，b，c成等比数列，其中a=5+2，c=5﹣2，则b=．

坐标系与参数方程选做题

14．（5分）（2015•广东）在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线

C

1

的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，曲线C

2

的参数方程为（t为参数），则C

1

与C

2

交点的直角坐

标为．

几何证明选讲选做题

15．（2015•广东）如图，AB为圆O的直径，E为AB的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作

直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则AD=．

三、解答题（共6小题，满分80分）

16．（12分）（2015•广东）已知tanα=2．

（1）求tan（α+）的值；

（2）求的值．

17．（12分）（2015•广东）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200，

220），[220.240），[240，260），[260，280），[280，300）分组的频率分布直方图如图．

（1）求直方图中x的值；

（2）求月平均用电量的众数和中位数；

（3）在月平均用电量为，[220，240），[240，260），[260，280），[280，300）的四组用户中，用分层抽样的方法

抽取11户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？

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18．（14分）（2015•广东）如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD=PC=4，AB=6，

BC=3．

（1）证明：BC∥平面PDA；

（2）证明：BC⊥PD；

（3）求点C到平面PDA的距离．

19．（14分）（2015•广东）设数列{a

n

}的前n项和为S

n

，n∈N*

．已知a

1

=1，a

2

=，a

3

=，且当n≥2时，

4S

n+2

+5S

n

=8S

n+1

+S

n﹣1

．

（1）求a

4

的值；

（2）证明：{a

n+1

﹣a

n

}为等比数列；

（3）求数列{a

n

}的通项公式．

20．（14分）（2015•广东）已知过原点的动直线l与圆C

1

：x2+y2

﹣6x+5=0相交于不同的两点A，B．

（1）求圆C

1

的圆心坐标；

（2）求线段AB的中点M的轨迹C的方程；

（3）是否存在实数k，使得直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点？若存在，求出k的取值范围；若不存

在，说明理由．

21．（14分）（2015•广东）设a为实数，函数f（x）=（x﹣a）2+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．

（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；

（2）讨论f（x）的单调性；

（3）当a≥2时，讨论f（x）+在区间（0，+∞）内的零点个数．

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2015年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

文科数学(参考答案)

一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（文

科）

1．

【解答】解：M∩N={﹣1，1}∩{﹣2，1，0}={1}．

故选：C．

2．

【解答】解：（1+i）

2=12+2i+i2=1+2i﹣1=2i；

故选：A．

3．

【解答】解：四个选项中，函数的定义域都是R，

对于A，﹣x+sin（﹣2x）=﹣（x+sin2x）；是奇函数；

对于B，（﹣x）

2

﹣cos（﹣x）=x

2

﹣cosx；是偶函数；

对于C，，是偶函数；

对于D，（﹣x）

2+sin（﹣x）=x2

﹣sinx≠x

2+sinx，x2

﹣sinx≠﹣（x

2+sinx）；所以是非奇非偶的函数；

故选：D．

4．

【解答】解：作出不等式对应的平面区域（阴影部分），

由z=2x+3y，得y=，

平移直线y=，由图象可知当直线y=经过点B时，直线y=的截距最大，此时z最大．

由，解得，

即B（4，﹣1）．

此时z的最大值为z=2×4+3×（﹣1）=8﹣3=5，

故选：B．

5．

【解答】解：a=2，c=2，cosA=．且b＜c，

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由余弦定理可得，

a2=b2+c2

﹣2bccosA，

即有4=b

2+12﹣4×b，

解得b=2或4，

由b＜c，可得b=2．

故选：C．

6．

【解答】解：A．l与l

1

，l

2

可以相交，如图：

∴该选项错误；

B．l可以和l

1

，l

2

中的一个平行，如上图，∴该选项错误；

C．l可以和l

1

，l

2

都相交，如下图：

，∴该选项错误；

D．“l至少与l

1

，l

2

中的一条相交”正确，假如l和l

1

，l

2

都不相交；

∵l和l

1

，l

2

都共面；

∴l和l

1

，l

2

都平行；

∴l

1

∥l

2

，l

1

和l

2

共面，这样便不符合已知的l

1

和l

2

异面；

∴该选项正确．

故选D．

7．

【解答】解：这是一个古典概型，从5件产品中任取2件的取法为；

∴基本事件总数为10；

设“选的2件产品中恰有一件次品”为事件A，则A包含的基本事件个数为=6；

∴P（A）==0.6．

故选：B．

8．

【解答】解：∵椭圆+=1（m＞0）的左焦点为F

1

（﹣4，0），

∴25﹣m2=16，

∵m＞0，

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∴m=3，

故选：B．

【点评】本题考查椭圆的性质，考查学生的计算能力，比较基础．

9．

【解答】解：由向量加法的平行四边形法则可得，==（3，﹣1）．

∴=3×2+（﹣1）×1=5．

故选：A．

10．

【解答】解：（1）s=4时，p，q，r的取值的排列情况有4×4×4=64种；

s=3时，p，q，r的取值的排列情况有3×3×3=27种；

s=2时，有2×2×2=8种；

s=1时，有1×1×1=1种；

∴card（E）=64+27+8+1=100；

（2）u=4时：若w=4，t，v的取值的排列情况有4×4=16种；

若w=3，t，v的取值的排列情况有4×3=12种；

若w=2，有4×2=8种；

若w=1，有4×1=4种；

u=3时：若w=4，t，v的取值的排列情况有3×4=12种；

若w=3，t，v的取值的排列情况有3×3=9种；

若w=2，有3×2=6种；

若w=1，有3×1=3种；

u=2时：若w=4，t，v的取值的排列情况有2×4=8种；

若w=3，有2×3=6种；

若w=2，有2×2=4种；

若w=1，有2×1=2种；

u=1时：若w=4，t，v的取值的排列情况有1×4=4种；

若w=3，有1×3=3种；

若w=2，有1×2=2种；

若w=1，有1×1=1种；

∴card（F）=100；

∴card（E）+card（F）=200．

故选A．

11．

【解答】解：原不等式等价于x

2+3x﹣4＜0，所以（x+4）（x﹣1）＜0，所以﹣4＜x＜1；

所以不等式的解集为（﹣4，1）；

故答案为：（﹣4，1）．

12．

【解答】解：∵数据x

1

，x

2

，…，x

n

的平均数为均值=5，

则样本数据2x

1

+1，2x

2

+1，…，2x

n

+1的均值为：=5×2+1=11；

故答案为：11．

【点评】本题考查数据的平均数的求法，是基础题．

13．

【解答】解：∵三个正数a，b，c成等比数列，

∴b2=ac，

∵a=5+2，c=5﹣2，

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∴=1，

故答案为：1．

14．

【解答】解：曲线C

1

的极坐标方程为ρ（cosθ+sinθ）=﹣2，化为直角坐标方程：x+y+2=0．

曲线C

2

的参数方程为（t为参数），化为普通方程：y2=8x．

联立，解得，

则C

1

与C

2

交点的直角坐标为（2，﹣4）．

故答案为：（2，﹣4）．

15．

【解答】解：连接OC，则OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴

由切割线定理可得CE

2=BE•AE，

∴12=BE•（BE+4），

∴BE=2，

∴OE=4，

∴，

∴AD=3

故答案为：3．

16．

【解答】解：tanα=2．

（1）tan（α+）===﹣3；

（2）===

=1．

17．

【解答】解：（1）由直方图的性质可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，

解方程可得x=0.0075，∴直方图中x的值为0.0075；

（2）月平均用电量的众数是=230，

∵（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，

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∴月平均用电量的中位数在[220，240）内，

设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5可得a=224，

∴月平均用电量的中位数为224；

（3）月平均用电量为[220，240）的用户有0.0125×20×100=25，

月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15，

月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10，

月平均用电量为[280，300）的用户有0.0025×20×100=5，

∴抽取比例为=，

∴月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户

18．

【解答】（1）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC∥AD，

因为BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，所以BC∥平面PDA；

（2）证明：因为四边形ABCD是长方形，所以BC⊥CD，

因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，BC⊂面ABCD，

所以BC⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，

所以BC⊥PD；

（3）解：取CD的中点E，连接AE和PE，

因为PD=PC，所以PE⊥CD，

在Rt△PED中，PE===．

因为平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD=CD，PE⊂平面PDC，

所以PE⊥平面ABCD．

由（2）知：BC⊥平面PDC，

由（1）知：BC∥AD，

所以AD⊥平面PDC，

因为PD⊂平面PDC，所以AD⊥PD．

设点C到平面PDA的距离为h．

因为V

C﹣PDA

=V

P﹣ACD

，

所以，

所以h==，

所以点C到平面PDA的距离是．

19．

【解答】（1）解：当n=2时，4S

4

+5S

2

=8S

3

+S

1

，即，

解得：；

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（2）证明：∵4S

n+2

+5S

n

=8S

n+1

+S

n﹣1

（n≥2），∴4S

n+2

﹣4S

n+1

+S

n

﹣S

n﹣1

=4S

n+1

﹣4S

n

（n≥2），

即4a

n+2

+a

n

=4a

n+1

（n≥2），

∵，∴4a

n+2

+a

n

=4a

n+1

．

∵=．

∴数列{}是以=1为首项，公比为的等比数列；

（3）解：由（2）知，{}是以为首项，公比为的等比数列，

∴．即，

∴{}是以为首项，4为公差的等差数列，

∴，即，

∴数列{a

n

}的通项公式是．

20．

【解答】解：（1）∵圆C

1

：x2+y2

﹣6x+5=0，

整理，得其标准方程为：（x﹣3）

2+y2=4，

∴圆C

1

的圆心坐标为（3，0）；

（2）设当直线l的方程为y=kx、A（x

1

，y

1

）、B（x

2

，y

2

），联立方程组，

消去y可得：（1+k

2

）x

2

﹣6x+5=0，由△=36﹣4（1+k

2

）×5＞0，可得k

2

＜

由韦达定理，可得x

1

+x

2

=，

∴线段AB的中点M的轨迹C的参数方程为，其中﹣＜k＜，

∴线段AB的中点M的轨迹C的方程为：（x﹣）2+y2=，其中＜x≤3；

（3）结论：当k∈（﹣，）∪{﹣，}时，直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点．

理由如下：联立方程组，

消去y，可得：（1+k

2

）x

2

﹣（3+8k

2

）x+16k

2=0，令△=（3+8k2

）

2

﹣4（1+k

2

）•16k

2=0，解得k=±，

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又∵轨迹C的端点（，±）与点（4，0）决定的直线斜率为±，

∴当直线L：y=k（x﹣4）与曲线C只有一个交点时，k的取值范围为（﹣，）∪{﹣，}．

21．

【解答】解：（1）若f（0）≤1，即：a

2+|a|﹣a（a﹣1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，

当a≥0时，a，可得a∈[0，]．当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．综上a．

∴a的取值范围：；

（2）函数f（x）==，

当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x==a+＞a，

y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x==a﹣＜a，

y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，

（3）F（x）=f（x）+=，

，

当x＜a时，=，

所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．

当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=═，

所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．

F（a）=a﹣a2+．当a=2时，F（2）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣a2+，

F′（a）=1﹣2a==．

所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，所以F（a）＜，即F（a）＜0，

当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．

综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．