cosx的图像

双休日高一数学讲义

1

第七讲：正弦函数y=sinx和余弦y=cosx的图象和性质

一、要点回顾：

（一）在给定的坐标系中作出y=sinx的图象，再根据图象写出（或说出）它的性质（定义域、

值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值、最小值）

答：定义域R、值域[-1,1]、奇偶性偶函数、最小正周期性π、

单调增区间22

22

kkkZ













，、单调减区间

3

22

22

kkkZ













，

、

当x=2

2

kkZ



，y=sinx取最大值1、当x=2

2

kkZ



，y=sinx取最小值-1。

（二）在给定的坐标系中作出y=cosx的图象，再根据图象写出（或说出）它的性质（定义域、

值域、奇偶性、周期性、单调性、最大值、最小值）

答：定义域R、值域[-1,1]、奇偶性奇函数、最小正周期性π、

单调增区间22kkkZ，、单调减区间22kkkZ，、

当x=2kkZ，y=cosx取最大值1、当x=2kkZ，y=cosx取最小值-1

二、例题分析：

例1．求下列函数的定义域：

(1)lg2sin1;yx(2)2sinlg16;yxx



1

1sin,

2

7

22

66

x

xkxkkZ















解：

，；







2

sin0

22

2,,

160

44

40

x

kxkkZ

x

x





















，，。

例2．已知函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x。

(1)把函数化为sin0,0yAxBA的形式；

(2)求这个函数的最大值和最小值及相应的x的值；

(3)求这个函数的单调递增区间和单调减区间。

2

x

y

O

3

4

2



3

2



5

2



7

2



2





3

2



2

1y

sinyx

-1

1

1y

2

3

4

2



3

2



5

2



7

2



2





3

2



2

cosyx

-1

1

x

y

1y

O

双休日高一数学讲义

2

解：（1）∵2sinxcosx=sin2x,sin2x+cos2x=1,cos2x=

1cos2

2

x

∴y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x=(sin2x+cos2x)+2sinxcosx+2cos2x=1+sin2x+2·

2

cos2x1

=sin2x+cos2x+2=2(sin2x·cos

4



+cos2x·sin

4



)+2=2sin(2x+

4



)+2

（2）当2x+

4



=

2



+2kπ时,y

max

=2+2即x=

8



+kπ(k∈Z)，y的最大值为2+2，

当2x+

4



=-

2



+2kπ时,y

min

=2-2，即x=

3

8



+kπ(k∈Z)，y的最小值为2-2，







3

3222,,

24288

3

88

35

222,,

24288

5

88

kxkkxkkZ

kkkZ

kxkkxkkZ

kkkZ





































由，

得单调递增区间，；

由，

得单调递减区间，；

例3．设sin2x＞cos2x，则x的取值范围是(D).

A.｛x｜2kπ-

4

3

＜x＜2kπ+

4



,k∈Z｝

B.｛x｜2kπ+

4



＜x＜2kπ+

4

5

,k∈Z｝

C.｛x｜kπ-

4



＜x＜kπ+

4



,k∈Z｝

D.｛x｜kπ+

4



＜x＜kπ+

4

3

,k∈Z｝

解：sincosxx，由单位圆或sinyx和cosyx的图象得x的取值范围是

｛x｜kπ+

4



＜x＜kπ+

4

3

,k∈Z｝，应选D.

例4．设三角函数f(x)=3sin(

5

kx

+

3



)–1，其中k≠0.

(1)写出f(x)的最大值M，最小值m，最小正周期T。

(2)试求最小的正整数k，使得当自变量x在任意两个整数间(包括整数本身)变化时，函数f(x)至

少有一个值是M与一个值m，

解：(1)M=3–1=2,m=-3–1=-4，

210

5

T

kk



；

(2)由

10

1T

k



，k为正整数得，1031.4,kk最小=32。

三、巩固练习

1.方程sinx=lgx的实根个数是(C)

(A)1(B)2(C)3(D)以上都错

双休日高一数学讲义

3

2.函数cosyx的单调递减区间是（D）

2,2AkkkZ2,2BkkkZ

2,2

2

CkkkZ













2,2

2

DkkkZ













3.函数y=cosxcos3x–sinxsin3x是(B)

(A)周期为

2



的奇函数(B)周期为

2



的偶函数

(C)周期为π的奇函数(D)周期为π的偶函数

4.函数y=log

sinx

(2cosx+1)的定义域是__

｛x｜2kπ＜x＜2kπ+

3

2

，且x≠2kπ+

2



，k∈Z｝

5.函数f(x)=sinx-sin｜x｜的值域是____________［-2，2］

6.若函数y=sin(x+)+cos(x+)是偶函数，则的值是____=kπ+

4



(k∈z)

7.函数y=cosx–1(0≤x≤2π)的图像与x轴所围成图形的面积是____2π

8.若y=acosx+b的最大值是1，最小值是-7，求acosx+bsinx的最大值。

解：22

1

4

,,cossinsin,

7

3

ab

a

axbxabx

ab

b























最大值

225ab。

9.求y=

2-sin

2-cos

x

x

的最值。





2

2

22

2

minmax

2cos2sin,sincos22,1sin22,

22

22

sin,sin1,221,

11

47474747

3830,,,.

3333

yyxxxyxyyxy

y

y

xxyy

yy

yyyyy



















解：

10.求f(x)=

sincos

1sincos

xx

xx

的值域。





21

sincos1

sincos

21

sincos1

1sincos1sincos2

xx

xx

yxx

xxxx











解：，

sincos1xx其中，设

sincos2sin2112

4

xxttx









，则，，，

2121

1

111

222

yt













，，，值域为

2121

11

22













，，。

双休日高一数学讲义

4

10.设函数y=-2sin2x–2acosx–2a+1的最小值是f(a)，

（1）写出f(a)的表达式；（2）求关于a的方程f(a)=

2

1

的解集。













22

22

22

min

2

min

121cos2cos212cos2cos21

2cos21,cos11221,

2222

1,2cos122211

2

1122cos21

222

1,2

2

yxaxaxaxa

aaaa

xaxttyta

a

atxfayaa

aaa

atxfaya

a

a











解：

设，则，，

当时，取，；

当，，取，；

当

①

②

③

min

cos1222114,txfayaaa时，取，











2

2

2

12

2122.

2

142

22

2

2

22

211

1

1

1

14

430

21

8

2

22

a

a

faaa

aa

a

a

a

a

aa

a

a

a

aa

a





























































由，，，由，，无解。所以。

12.半圆O的直径为2，A为直径延长线上的一点，OA=2，B为半圆周长的动点，以AB为边，

向形外作等边△ABC，问B点在什么位置时，四边形OACB的面积最大?并求出这个最大值。

解：设∠AOB=α(0°＜α＜180°)，









22222

2

max

2cos12212cos54cos,

3

1

sin

24

353

1

12sin54cossin3cos

244

53

2sin

34

53

25

0

3333264

OABABC

OACB

ABOBOAOBOAAOB

SSSOAOBAOBAB

AOBS































四边形

，

，，，，当，时，。

13．已知函数2()2sin23sincos,0,

2

fxaxaxxabx











，值域为5,1，求,ab的值。

解：()(1cos2)23sincosfxaxaxxab(3sin2cos2)2axxab

=-2sin(2)2

6

axab



，∵0≤

x

≤

2



,∴0≤2

x

≤，

6



≤

2

6

x





≤

7

6



，

1

sin(2)

26

x



≤1

①a>0时，-2a＜0,

a

≥-2

a

sin(2

6

x



)≥-2

a

,3a+b≥

()fx

≥b,

5

31

b

ab











,

5

2

b

a











②

02a-a0时,

,

a

≤-2

a

sin（2

x

+

6



）≤-2

a

,

3()abfxb

,

35

1

ab

b











,

2

1

a

b











.

由①②，

2

5

a

b











或

2

1

a

b











。

C

O

A

B