cos20°

11.简单的三角恒等变换

1/5

简单的三角恒等变换

【学习目标】

1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式以

及二倍角的正弦、余弦和正切公式进行简单的恒等

变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，

但对这三组公式不要求记忆)．

【预习案】

1.半角公式

sin

α

2

＝_____，cos

α

2

＝________，

tan

α

2

＝_____，tan

α

2

＝

sinα

1＋cosα

＝

1－cosα

sinα

.

2．求值题常见类型

(1)“给角求值”：所给出的角常常是非特殊角，

从表面来看较难，但仔细观察非特殊角与特殊角总

有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结

合和、差、倍、半角公式、和差化积、积化和差公

式消去非特殊角转化为特殊角的三角函数而得解．

(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，

求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变

角”，使其角相同或具有某种关系．

(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，

关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，

由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．

3．三角函数的最值问题

(1)用三角方法求三角函数的最值常见的函数

形式

①y＝asinx＋bcosx＝a2＋b2sin(x＋φ)，其中

cosφ＝

a

a2＋b2

，sinφ＝

b

a2＋b2

.

②y＝asin2x＋bsinxcosx＋ccos2x可先降次，整

理转化为上一种形式．

③y＝

asinx＋b

csinx＋d

















或y＝

acosx＋b

ccosx＋d

可转化为只有

分母含sinx(或cosx)的函数式或sinx＝f(y)(cosx＝

f(y))的形式，由正、余弦函数的有界性求解．

(2)用代数方法求三角函数的最值常见的函数

形式

①y＝asin2x＋bcosx＋c可转化为cosx的二次

函数式．

②y＝asinx＋

c

bsinx

(a，b，c>0)，令sinx＝t，则

转化为求y＝at＋

c

bt

(－1≤t≤1)的最值，一般可用

基本不等式或单调性求解．

【预习自测】

1．(2014·安徽宿州质检)设向量a＝(sinα，

2

2

)

的模为

3

2

，则cos2α＝()

A．

3

2

B．

1

2

C．－

1

2

D．－

1

4

[答案]B

[解析]因为向量a＝(sinα，

2

2

)的模为

|a|＝sin2α＋

2

2

2＝sin2α＋

1

2

，

所以可得sin2α＋

1

2

＝

3

2

，解得sin2α＝

1

4

.

cos2α＝1－2sin2α＝1－2×

1

4

＝

1

2

.

2．(2013·洛阳统考)函数f(x)＝2sin2(

π

4

＋x)－3

cos2x(

π

4

≤x≤

π

2

)的最大值为()

A．2B．3

C．2＋3D．2－3

[答案]B

[解析]依题意，f(x)＝1－cos2(

π

4

＋x)－3

cos2x＝sin2x－3cos2x＋1＝2sin(2x－

π

3

)＋1，当

π

4

≤x≤

π

2

时，

π

6

≤2x－

π

3

≤

2π

3

，

1

2

≤sin(2x－

π

3

)≤1，此

时f(x)的最大值是3，选B．

3．(2013·呼和浩特第二次统考)若cosα＝

4

5

，α

11.简单的三角恒等变换

2/5

∈(0，

π

2

)，则

1＋tan

α

2

1－tan

α

2

＝()

A．－

1

2

B．

1

2

C．2D．－2

[答案]C

[解析]据已知得tanα＝

sinα

cosα

＝

3

5

4

5

＝

3

4

，

由二倍角公式得tanα＝

2tan

α

2

1－tan2

α

2

＝

3

4

，且

tan

α

2

>0，解得tan

α

2

＝

1

3

，故

tan

α

2

＋1

1－tan

α

2

＝2.

4．(2014·九龙坡区质检)若0<α<

π

2

，－

π

2

<β<0，

cos(

π

4

＋α)＝

1

3

，cos(

π

4

－

β

2

)＝

3

3

，则cos(α＋

β

2

)＝()

A．

3

3

B．－

3

3

C．

53

9

D．－

6

9

[答案]C

[解析]本题主要考查三角函数的两角和、差

公式的运用．

∵0<α<

π

2

，－

π

2

<β<0，

∴

π

4

＋α∈(

π

4

，

3π

4

)，

π

4

－

β

2

∈(

π

4

，

π

2

)，

∵cos(

π

4

＋α)＝

1

3

，cos(

π

4

－

β

2

)＝

3

3

，

∴sin(

π

4

＋α)＝

22

3

，sin(

π

4

－

β

2

)＝

6

3

，

∴cos(α＋

β

2

)＝cos[(

π

4

＋α)－(

π

4

－

β

2

)]

＝cos(

π

4

＋α)cos(

π

4

－

β

2

)＋cos(

π

4

＋α)sin(

π

4

－

β

2

)＝

1

3

×

3

3

＋

22

3

×

6

3

＝

53

9

.

5．已知π<α<2π，则cos

α

2

等于()

A．－

1－cosα

2

B．

1－cosα

2

C．－

1＋cosα

2

D．

1＋cosα

2

[答案]C

合作探究

题型一：三角函数的化简与求值

例1

3－sin70°

2－cos210°

＝()

A．

1

2

B．

2

2

C．2D．

3

2

[答案]C

原式＝

3－cos20°

2－cos210°

＝

3－2cos210°－1

2－cos210°

＝2

探究1.(2014·浙江杭州调研)已知tan(α＋

π

4

)

＝

1

2

，且－

π

2

<α<0，则

2sin2α＋sin2α

cosα－

π

4



＝()

A．－

25

5

B．－

35

10

C．－

310

10

D．

25

5

[答案]A

[解析]∵tan(α＋

π

4

)＝

1

2

，

∴

tanα＋1

1－tanα

＝

1

2

，∴tanα＝－

1

3

.

∵－

π

2

<α<0，∴sinα＝－

10

10

.

∴

2sin2α＋sin2α

cosα－

π

4



＝

2sin2α＋2sinαcosα

2

2

cosα＋sinα

＝22sinα＝－

25

5

.

题型二：三角函数的给值求值(角)问题

例2.已知0<α<

π

2

<β<π，tan

α

2

＝

1

2

，cos(β－α)

＝

2

10

.

(1)求sinα的值；

(2)求β的值．

11.简单的三角恒等变换

3/5

[解析](1)tanα＝

2tan

α

2

1－tan2

α

2

＝

4

3

，所以

sinα

cosα

＝

4

3

.

又因为sin2α＋cos2α＝1，解得sinα＝

4

5

.

(2)因为0<α<

π

2

<β<π，所以0<β－α<π.

因为cos(β－α)＝

2

10

，所以sin(β－α)＝

72

10

.

因为sinα＝

4

5

，所以cosα＝

3

5

.

所以sinβ＝sin[(β－α)＋α]

＝sin(β－α)cosα＋cos(β－α)sinα

＝

72

10

×

3

5

＋

2

10

×

4

5

＝

2

2

.

因为β∈(

π

2

，π)，所以β＝

3π

4

.

探究2(2014·山东嘉祥一中月考)已知α、β∈

(0，π)，且tan(α－β)＝

1

2

，tanβ＝－

1

7

，则2α－β的

值为________

[答案]－

3π

4

[解析]∵tanα＝tan[(α－β)＋β]

＝

tanα－β＋tanβ

1－tanα－βtanβ

＝

1

2

－

1

7

1＋

1

2

×

1

7

＝

1

3

>0，

∴0<α<

π

2

，又∵tan2α＝

2tanα

1－tan2α

＝

2×

1

3

1－

1

3

2

＝

3

4

>0，

∴0<2α<

π

2

，∴tan(2α－β)＝

tan2α－tanβ

1＋tan2αtanβ

＝

3

4

＋

1

7

1－

3

4

×

1

7

＝1.∵tanβ＝－

1

7

<0，

∴

π

2

<β<π，－π<2α－β<0，∴2α－β＝－

3π

4

.

题型三:给角求值

例3.求值：2sin20°＋cos10°＋tan20°sin10°.

[解析]原式＝

2sin20°cos20°＋cos10°cos20°＋sin10°sin20°

cos20°

＝

sin40°＋cos10°

cos20°

＝

sin60°－20°＋cos30°－20°

cos20°

＝



3

2

cos20°－

1

2

sin20°＋

3

2

cos20°＋

1

2

sin20°

cos20°

＝3.

探究3.(1)

sin110°sin20°

cos2155°－sin2155°

的值为()

A．－

1

2

B．

1

2

C．

3

2

D．－

3

2

(2)求值tan20°＋4sin20°＝________.

[答案](1)B(2)3

[解析](1)

sin110°sin20°

cos2155°－sin2155°

＝

sin70°sin20°

cos310°

＝

cos20°sin20°

cos50°

＝

1

2

sin40°

sin40°

＝

1

2

.

(2)tan20°＋4sin20°＝

sin20°＋4sin20°cos20°

cos20°

＝

sin20°＋2sin40°

cos20°

＝

2sin30°cos－10°＋sin40°

cos20°

＝

sin80°＋sin40°

cos20°

＝

3cos20°

cos20°

＝3.

题型四：综合应用

例4化简：sin2αsin2β＋cos2αcos2β－

1

2

cos2αcos2β.

[解析]解法1：(从“角”入手，复角化单角)

原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－

1

2

·(2cos2α－

1)(2cos2β－1)

11.简单的三角恒等变换

4/5

＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－

1

2

·(4cos2α·cos2β－

2cos2α－2cos2β＋1)

＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－

1

2

＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－

1

2

＝sin2β＋cos2β－

1

2

＝1－

1

2

＝

1

2

.

解法2：(从“名”入手，异名化同名)

原式＝sin2α·sin2β＋(1－sin2α)·cos2β－

1

2

cos2α·cos2β＝cos2β－sin2α(cos2β－sin2β)－

1

2

cos2α·cos2β

＝cos2β－cos2β·













sin2α＋

1

2

cos2α

＝

1＋cos2β

2

－cos2β













sin2α＋

1

2

1－2sin2α

＝

1＋cos2β

2

－

1

2

cos2β＝

1

2

.

解法3：(从“幂”入手，利用降幂公式先降

次)

原式＝

1－cos2α

2

·

1－cos2β

2

＋

1＋cos2α

2

·

1＋cos2β

2

－

1

2

cos2α·cos2β

＝

1

4

(1＋cos2α·cos2β－cos2α－cos2β)＋

1

4

(1＋

cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β)－

1

2

·cos2α·cos2β

＝

1

4

＋

1

4

＝

1

2

.

解法4：(从“形”入手，利用配方法，先对

二次项配方)

原式＝(sinα·sinβ－cosα·cosβ)2＋

2sinα·sinβ·cosα·cosβ－

1

2

cos2α·cos2β

＝cos2(α＋β)＋

1

2

sin2α·sin2β－

1

2

cos2α·cos2β

＝cos2(α＋β)－

1

2

cos(2α＋2β)

＝cos2(α＋β)－

1

2

·[2cos2(α＋β)－1]＝

1

2

.

探究4(2014·无锡模拟)已知α，β为三角形的

两个内角，cosα＝

1

7

，sin(α＋β)＝

53

14

，则β＝

________.

[答案]

π

3

[解析]因为0<α<π，cosα＝

1

7

，

所以sinα＝1－cos2α＝

43

7

，故

π

3

<α<

π

2

，

又因为0<α＋β<π，sin(α＋β)＝

53

14

<

3

2

，

所以0<α＋β<

π

3

，或

2π

3

<α＋β<π，

由

π

3

<α<

π

2

知

2π

3

<α＋β<π，

所以cos(α＋β)＝－1－sin2α＋β＝－

11

14

，

所以cosβ＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα

＝(－

11

14

)×

1

7

＋

53

14

×

43

7

＝

1

2

，

又因为0<β<π，所以β＝

π

3

.

你能解决下列问题吗？

(1°)求sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°的值；

求cos273°＋cos247°＋cos47°cos73°的值；

(2°)求sin2α＋cos2(α＋30°)＋sinαcos(α＋30°)

的值；

求cos2α＋sin2(α＋30°)－cosαsin(α＋30°)的值；

(3°)求sin2α＋cos2(α＋60°)＋3sinαcos(α＋60°)

的值；

求cos2α＋sin2(α＋60°)－3cosαsin(α＋60°)的

值；

题型五：函数与方程的思想

11.简单的三角恒等变换

5/5

例5、已知sinx＋siny＝

1

3

，求sinx－cos2y的最

大、最小值．

[解析]由sinx＝

1

3

－siny及－1≤sinx≤1得，

－

2

3

≤siny≤1.

而sinx－cos2y＝sin2y－siny－

2

3

＝(siny－

1

2

)2－

11

12

，

所以当siny＝

1

2

时，最小值为－

11

12

，

当siny＝－

2

3

时，最大值为

4

9

.

探究5已知sinx－siny＝－

2

3

，cosx－cosy＝

2

3

，

且x、y为锐角，则sin(x＋y)的值是()

A．1B．－1

C．

1

3

D．

1

2

[答案]A

[解析]两式相加得sinx＋cosx＝siny＋cosy，

∴sin













x＋

π

4

＝sin













y＋

π

4

，

∵x、y为锐角，且sinx－siny<0，∴x

∴x＋

π

4

＝π－













y＋

π

4

，∴x＋y＝

π

2

，

∴sin(x＋y)＝1.

易错警示系列：不等价转化致误

若“∃x

0

∈[0，

π

2

]，sinx

0

＋3cosx

0

题，则实数m的取值范围是________

[错解]令f(x)＝sinx＋3cosx＝2sin(x＋

π

3

)，x

∈[0，

π

2

]，可知f(x)在[0，

π

6

]上为增函数，在(

π

6

，

π

2

]

上为减函数，由于f(0)＝3，f(

π

6

)＝2，f(

π

2

)＝1，所

以1≤f(x)≤2，*由于“∃x

0

∈[0，

π

2

]，sinx

0

＋3

cosx

0

π

2

]，sinx＋3

cosx2，故m的取值范围是(2，＋∞)．

[正解]上接原错解*处．

由于“∃x

0

∈[0，

π

2

]，sinx

0

＋3cosx

0

命题，则其否定“∀x∈[0，

π

2

]，sinx＋3cosx≥m”

为真命题，

所以m≤f(x)

min

＝1.

[方法总结]1.已知三角函数值求角的步骤

已知角α的三角函数值求角α，应注意所得

的解不一定是唯一的，可能有无数多个，其解法步

骤是：

(1)确定角α所在的象限；

(2)求对应的锐角α1.如函数值为正，求出对

应的锐角α1；如函数值为负，求出其绝对值对应

的锐角α1；

(3)求出满足条件的角．首先根据角α所在的

象限，得出0～2π间的角．如果适合已知条件的

角在第二象限，则它是π－α1；如果在第三或第

四象限，则它是π＋α1，或2π－α1.然后利用终

边相同的角的表达式写出适合条件的所有角的集

合．

2．给出某三角函数(式)的值，求某角的一般

解题步骤．

(1)求角的某一个三角函数值(尽量选取在角

的范围内单调的函数)；

(2)确定角的范围(根据条件中角的范围、值的

大小、正负确定，注意隐含条件发掘)；

(3)根据角的范围写出所求的角．

3．已知三角函数式的值，求其他三角函数式

值的一般思路

(1)先化简所求式子或所给条件；

(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从

三角函数名及角入手)；

(3)将已知条件代入所求式子，化简求值．