抽象函数

常见抽象函数的题型

常见的特殊模型:

特殊模型抽象函数

正比例函数f(x)=kx(k≠0)

f(x+y)=f(x)+f(y)

幂函数f(x)=xnf(xy)=f(x)f(y)[或

)y(f

)x(f

)

y

x

(f

]

指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1)

f(x+y)=f(x)f(y)[

)y(f

)x(f

)yx(f或

对数函数f(x)=logax(a>0且a≠1)

f(xy)=f(x)+f(y)

[

)]()()(yfxf

y

x

f或

正、余弦函数f(x)=sinxf(x)=cosx

f(x+T)=f(x)

正切函数f(x)=tanx

)y(f)x(f1

)y(f)x(f

)yx(f







二．若

()()fxafxb

，则

()fx

具有周期性；

若()()faxfbx，则()fx具有对称性：

“内同表示周期性，内反表示对称性”。

三．周期的一些结论：

1、()()fxTfx(

0T

)

)(xfy

的周期为T，

kT

(

kZ

)也是函数的周

期

2、

()()fxafxb)(xfy

的周期为abT

3、

)()(xfaxf)(xfy

的周期为aT2

4、

)(

1

)(

xf

axf)(xfy

的周期为aT2

5、

)(

1

)(

xf

axf)(xfy

的周期为aT2

四关于对称的结论

1若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝f(a－x)

（2）f(2a－x)＝f(x)

（3）f(2a＋x)＝f(－x)

2若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：

（1）f(a＋x)＝－f(a－x)

（2）f(2a－x)＝－f(x)

（3）f(2a＋x)＝－f(－x)

易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。

五．两个对称推出周期

1、

)(xfy

有两条对称轴ax和

bx()ba

)(xfy

周期

)(2abT

推论：偶函数

)(xfy

满足

)()(xafxaf)(xfy

周期

aT2

2、

)(xfy

有两个对称中心

)0,(a

和

)0,(b()ba)(xfy

周期

)(2abT

推论：奇函数

)(xfy

满足

)()(xafxaf)(xfy

周期

aT4

3、

)(xfy

有一条对称轴ax和一个对称中心

)0,(b()ba

()fx

的

)(4abT

题型总结

一．求

)(xf

的解析式.

例．设

)(xf

是定义在

),(

上以2为周期的周期函数，且

)(xf

是偶函数，

在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf，

（1）求f（1.5）的值

（2）求2,1x时

)(xf

的解析式.

解：（1）

（2）当2,3x，即3,2x，

4)3(24)3(2)()(22xxxfxf

又)(xf是以2为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，

).21(4)1(243)4(2)(

)4()(

2

2



xxxxf

xfxf有

).21(4)1(2)(2xxxf

二、求值问题-----抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法

使问题得以解决。怎样赋值?需要明确目标,细心研究,反复试验;

二、求值问题

例3.已知定义域为R的函数f（x），同时满足下列条件：①

5

1

)6(1)2(ff，

；②

)()()(yfxfyxf

，求f（3），f（9）的值。

解：取

32yx，

，得

)3()2()6(fff

因为

5

1

)6(1)2(ff，

，所以

5

4

)3(f

又取

3yx

得

5

8

)3()3()9(fff

评析：通过观察已知与未知的联系，巧妙地赋值，取

32yx，

，这样便把

已知条件

5

1

)6(1)2(ff，

与欲求的f（3）沟通了起来。赋值法是解此类问题的

常用技巧。

练习：1.f(x)的定义域为

(0,)

，对任意正实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y)且

f(4)=2，则(2)f（

1

2

）

2.的值是则且如果

)2001(f

)2000(f

)5(f

)6(f

)3(f

)4(f

)1(f

)2(f

,2)1(f),y(f)x(f)yx(f。2000

2(1)(2)

(1)

ff

f





222(2)(4)(3)(6)(4)(8)

(3)(5)(7)

ffffff

fff





.

(()2nfn,原式=16)

3、对任意整数yx,函数

)(xfy

满足：

1)()()(xyyfxfyxf

，若

1)1(f

，

则

)8(f

C

A.-1B.1C.19D.43

4.（1996年高考题）设

)(xf

是

),(

上的奇函数，

),()2(xfxf

当10x

时，

xxf)(

，则

)5.7(f

等于（-0.5）

（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D）-1.5.

三、奇偶性问题

例7.已知函数

)0)((xRxxf，

对任意不等于零的实数

21

xx、都有

)()()(

2121

xfxfxxf，试判断函数f（x）的奇偶性。

解：取11

21

xx，得：)1()1()1(fff，所以

0)1(f

又取1

21

xx得：)1()1()1(fff，所以0)1(f

再取1

21

xxx，则)()1()(xffxf，即)()(xfxf

因为

)(xf

为非零函数，所以

)(xf

为偶函数。

例6.已知

)(xf

的周期为4，且等式

)2()2(xfxf

对任意

Rx

均成立，

判断函数

)(xf

的奇偶性.

解：由

)(xf

的周期为4，得

)4()(xfxf

，由

)2()2(xfxf

得

)4()(xfxf

，

),()(xfxf

故

)(xf

为偶函数.

练习判断函数

)(xf

的奇偶性.

.

)()(1

)()(

)()5(

;0)(

),()(2)()()4(

);()(x

),()()()3(

);()()()2(

);()()()1(

yfxf

yfxf

yxf

xf

yfxfyxfyxf

yfxfy

yfxfyxf

yfxfyxf

yfxfyxf



















并且

时，并且，当

.),1()1(),1()1(

,1)1()1()11(,1)0(),0()0()0(

),()()()3(

.),()(0)1(,0)1(

),()1()(),()()()2(

.,0)()(,0)0(

),()()0(),()()()1(

非奇非偶函数又

偶函数而

奇函数而















ffff

fffffff

yfxfyxf

xfxfff

xffxfyfxfyxf

xfxff

xfxffyfxfyxf









1

1

5

02

24

11

1

5

02

24

五、单调性问题

例11、已知偶函数f(x)的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意

x1

,x

2

都有

1212

()()()fxxfxfx，且当

1x

时

()0,(2)1fxf

，

（1）f(x)在(0,+∞)上是增函数；

（2）解不等式2(21)2fx

解：（1）设

21

0xx

，则2

2111

1

()()()()

x

fxfxfxfx

x

22

11

11

()()()()

xx

fxffxf

xx



∵

21

0xx，∴2

1

1

x

x

，∴2

1

()

x

f

x

0，即

21

()()0fxfx，∴

21

()()fxfx

∴

()fx

在

(0,)

上是增函数

（2）

(2)1f

，∴

(4)(2)(2)2fff

，

∵

()fx

是偶函数∴不等式2(21)2fx可化为2(|21|)(4)fxf，

又∵函数在(0,)上是增函数，

∴0≠2|21|4x，解得：10102

{|}

222

xxx且

例：设)(xf是定义在R上的偶函数，且在)0,(上是增函数，又

)123()12(22aafaaf。求实数a的取值范围。

.),()(

,

)()(1

)()(

)(,

)()(1

)()(

)(

,-y,-xt

,

)()(1

)()(

)()5(

.),()(1,f(0)

),()0(2)()(

),()(2)()()4(

奇函数

则设

偶函数而





























tftf

xfyf

xfyf

tf

yfxf

yfxf

tf

xyt

yfxf

yfxf

yxf

yfyf

yffyfyf

yfxfyxfyxf







解析：又偶函数的性质知道：

)(xf

在

),0(

上减，

而0122aa，01232aa，

所以由)123()12(22aafaaf得1231222aaaa，解得

30a

。

（设计理由：此类题源于变量与单调区间的分类讨论问题，所以本题弹性较大，

可以作一些条件变换如：)21()1()1()1(afaffaf或等；也可将定义域作

一些调整）

七、周期性与对称性问题

确定函数图象与x轴交点的个数

例7.设函数

)(xf

对任意实数x满足

)2()2(xfxf

，

)7(xf

,0)0()7(fxf且判断函数

)(xf

图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交

点.

解：由题设知函数

)(xf

图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得

)(xf是以10为周期的函数.在一个周期区间10,0上，

,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff

故)(xf图象与x轴至少有2个交点.

而区间30,30有6个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有13

个交

幂函数型抽象函数，即由幂函数抽象而得到的函数。

例8、已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）＝f（x）·f（y），且f

（－1）＝1，f（2）＝4，当时，。

（1）判断f（x）的奇偶性；

（2）判断f（x）在［0，＋∞）上的单调性，并给出证明；

（3）若，求a的取值范围。

分析：由题设可知f（x）是幂函数的抽象函数，从而可猜想f（x）是偶

函数，且在［0，＋∞）上是增函数。

解：（1）令y＝－1，则f（－x）＝f（x）·f（－1），∵f（－1）＝1，∴

f（－x）＝f（x），f（x）为偶函数。

（2）设，∴，，

∵时，，∴，∴f（x

1

）＜f（x

2

），故f（x）在0，

＋∞）上是增函数。

（3）∵f（27）＝9，又，

∴，∴，∵，∴，

∵，∴，又，故。

点.

练习

1：如果

()fx

=2axbxc对任意的t有

(2)2)ftft

,比较

(1)(2)(4)fff、、

的大小

2、函数f(x)为R上的偶函数，对

xR

都有

(6)()(3)fxfxf

成立，若

(1)2f

，则

(2005)f

=（）（B）

A.2005B.2C.1D.0

3.已知y=

()fx

为奇函数,当x>0时,

()lg(1)fxx

,求

()fx

4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足

，求：

（1）求证：)()()(yfxf

y

x

f

（2）f（1）；

（3）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

练习答案1：如果

()fx

=2axbxc对任意的t有

(2)2)ftft

,比较

(1)(2)(4)fff、、

的大小

解：对任意t有

(2)2)ftft

∴x=2为抛物线y=2axbxc的对称轴

又∵其开口向上∴

f

(2)最小，

f

(1)=

f

(3)∵在［2，＋∞)上，

()fx

为增

函数

∴

f

(3)<

f

(4),∴

f

(2)<

f

(1)<

f

(4)

3.已知y=

()fx

为奇函数,当x>0时,

()lg(1)fxx

,求

()fx

解:∵

()fx

为奇函数，∴

()fx

的定义域关于原点对称，故先求x<0时的表

达式。∵-x>0,∴

()lg(1)lg(1)fxxx

,

∵

()fx

为奇函数，∴

lg(1)()()xfxfx

∴当x<0时

()lg(1)fxx

∴

lg(1),0

()

lg(1),0

xx

fx

xx













4、设f（x）是定义在（0，＋∞）上的单调增函数，满足

，求：

（1）f（1）；

（2）若f（x）＋f（x－8）≤2，求x的取值范围。

分析：由题设可猜测f（x）是对数函数的抽象函数，f（1）＝0，f（9）

＝2。

解：（1）∵，∴f（1）＝0。

（2），从而有f（x）＋f（x－8）≤f（9），

即，∵f（x）是（0，＋∞）上的增函数，故

，解之得：8＜x≤9。