1
平行线分线段成比例定理
【知识要点】
本节的主要内容是平行线分线段成比例定理与三角形一边的平行线的性质和判定.
1.平行线分线段成比例定理及其推论
定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边或(两边的延长线),所得的对应线段成比例。
如图l
1
∥l
2
∥l
3
,有如下比例:
DF
EF
AC
BC
DF
DE
AC
AB
EF
DE
BC
AB
,,
注意:(1)平行线截得的线段注意三类对应关系:
全
下
全
下
全
上
全
上
下
上
下
上
,,(均为同一直线上两线段之比)
(2)根据比例的性质:l1∥l2∥l3
DF
AC
EF
BC
DE
AB
(此为两直线上对应线段之比,即左比右等左比右)
2.截三角形两边或其延长线的直线平行于第三边的判定
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角
形的第三边。如图:
∵DE∥BC
∴
EC
AC
BD
AB
EC
AE
DB
AD
AC
AE
AB
AD
,,
3.平行于三角形一边,并且和两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三
角形的三边对应成比例。
A
B
C
D
E
F
l
1
l
2
l
3
A
D
E
C
B
A
D
E
B
C
A
B
C
E
D
2
4.平行线的判定:如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对
应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边。
∵
EC
AE
DB
AD
∵
AC
AE
AB
AD
∵
EC
AC
BD
AD
∴DE∥BC∴DE∥BC∴DE∥BC
典型例题
例1如图,AD是△ABC的中线,E是AD上一点,AE∶ED=1∶3,BE的延长线交AC于F.求AF∶FC.
A
D
E
C
B
B
C
E
D
A
A
E
D
B
C
3
A
B
C
D
E
F
例2如图,D为△ABC的AC边上一点,E为CB延长线上一点,且=,求证:AD=EB.
例3如图,已知AD为△ABC中∠BAC的平分线,求证:=.
例4已知,如图,D为BC三等分点,且DC
AF
AB
的值.
4
平行线分线段成比例定理练习
1.在△ABC中,DE∥BC交AB于D,交AC于E,DE:BC=2:3,则AD:BD=__________。
2.在△ABC中,DE∥BC交AB于D,交AC于E,下列各式正确的是()
A.
ADDE
BCBC
B.
ADDE
BDBCDE
C.
AEDB
ECAD
D.
AEBC
ECBCDE
3.如图1,E为ABCD中BC边上的点,AE交BD于F,若
4
5
BE
EC
,则BF:FD为()
A.
4
5
B.
5
9
C.
2
5
D.
4
9
4.在△ABC中,DE∥BC交AB于D,交AC于E,若AB=2,BC=4,AD=
1
2
,则线段DE=()
A.1B.2C.3D.2.5
5.如图,已知线段a、b、c,求作线段
bc
x
a
,下列作法中,正确的是()
6.如图2,在ABCD中,E在CD延长线上,AB=10cm,DE=5cm,
EF=8cm,则BF和BE的长分别为()
A.2,3B.16,24C.16,8D.24,16
7.在△ABC中,D、E、F分别在AB、AC、BC上,且ADFE为菱形,且AB=7,BC=6,AC=5,则BF=()
A.3B.
7
2
C.
25
12
D.
35
12
8.如图所示,AD是△ABC的中线,AE=EF=FC,则下列关系式:①
2
1
AD
AG
;
②
3
1
BE
GE
;③
4
3
BE
BG
,其中正确的是()
A.①②B.①③
C.②③D.①②③
9.在直角三角形ABC中,∠C=90°,AD是△ABC的角平分线,E在AB上,DE∥AC,(1)求证:DE=AE;
(2)如果CD=12,BD=15,求AE、EB的长.
a
x
b
c
A
a
b
x
c
B
a
b
c
C
x
c
b
a
D
x
A
B
C
D
E
F
图2
A
B
C
D
O
图1
A
B
C
D
F
E
G
第8题图
5
10.如图,在△ABC中,DE∥AC,DF∥AE,BD∶DA=3∶2,BF=6cm,求EF及EC的长.
11.如图,若DE∥AB,FD∥BC,
AD
AC
=
2
3
,AB=9cm,BC=6cm,求BEDF的周长.
12如图,M为ABCD一边AD的中点,BM交AC于点P,若AC=6cm,求PC的值.
A
BC
E
D
F
A
B
C
D
M
P
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