菱形判定

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菱形的性质

及判定

知识点A要求B要求Ｃ要求

菱形会识别菱形掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的性质和

判定解决简单问题

会用菱形的知识解决有关

问题

1．菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．

2．菱形的性质

菱形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质：

①边的性质：对边平行且四边相等．

②角的性质：邻角互补，对角相等．

③对角线性质：对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角．

④对称性：菱形是中心对称图形，也是轴对称图形．

菱形的面积等于底乘以高，等于对角线乘积的一半．

点评：其实只要四边形的对角线互相垂直，其面积就等于对角线乘积的一半．

3．菱形的判定

判定①：一组邻边相等的平行四边形是菱形．

判定②：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

判定③：四边相等的四边形是菱形．

知识点睛

中考要求

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重点是菱形的性质和判定定理。菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先她是平行四边形，但它

是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等〞，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四

边形的判定方法。菱形的这些性质和判定定理即是平行四边形性质与判定的延续，又是以后要学习的正方

形的根底。

难点是菱形性质的灵活应用。由于菱形是特殊的平行四边形，所以它不但具有平行四边形的性质，

同时还具有自己独特的性质。如果得到一个平行四边形是菱形，就可以得到许多关于边、角、对角线的条

件，在实际解题中，应该应用哪些条件，怎样应用这些条件，常常让许多学生手足无措，教师在教学过程中

应给予足够重视。

板块一、菱形的性质

【例1】☆⑴菱形的两条对角线将菱形分成全等三角形的对数为

⑵在平面上，一个菱形绕它的中心旋转，使它和原来的菱形重合，那么旋转的角度至少是

【例2】⑴如图2，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm假设墙上钉子间的距离16cmABBC，

那么

1度．

图2

1

C

BA

⑵如图，在菱形ABCD中，60A，E、F分别是AB、AD的中点，假设2EF，那么菱形ABCD

的边长是______．

【例3】如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，

证明：AB与EF互相平分．

E

F

D

B

C

A

例题精讲

重、难点

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P

H

F

E

D

C

B

A

【例4】☆如图1所示，菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的

周长为24，那么OH的长等于．

图1

H

O

D

C

B

A

【巩固】☆如图，菱形ABCD的对角线8cm4cmACBDDEBC，，于点E，那么DE的长为

【例5】☆菱形的周长为20cm，两邻角度数之比为2:1，那么菱形较短的对角线的长度为

【巩固】如图2，在菱形ABCD中，6AC，8BD，那么菱形的边长为〔〕

A．5B．10C．6D．8

图2

D

CB

A

【巩固】如图3，在菱形ABCD中，110A，E、F分别是边AB和BC的中点，EPCD于点P，那

么FPC〔〕

A．35B．45C．50D．55

图3

E

D

P

C

F

B

A

【例6】☆如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60的菱形，剪

口与折痕所成的角的度数应为〔〕

A．15或30B．30或45C．45或60D．30或60

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【巩固】菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，且AEBC，AFCD，那么EAF等于．

【巩固】如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线〔虚

线〕剪下，再翻开，得到的菱形的面积为〔〕

A．210cmB．220cmC．240cmD．280cm

图1

D

C

B

A

【例7】☆菱形ABCD的两条对角线ACBD，的乘积等于菱形的一条边长的平方，那么菱形的一个钝角的

大小是

【例8】如图，菱形花坛ABCD的周长为20m，60ABC，沿着菱形的对角线修建了两条小路AC和

BD，求两条小路的长和花坛的面积．

图2

O

D

C

B

A

【例9】，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，假设AEAFEFAB，求C的度数．

FE

D

C

B

A

板块二、菱形的判定

【例10】如图，如果要使平行四边形ABCD成为一个菱形，需要添加一个条件，那么你添加的条件是．

D

C

A

B

【例11】☆如图，在ABC中，BD平分ABC，BD的中垂线交AB于点E，交BC于点F，求证：四边

形BEDF是菱形

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F

E

D

C

B

A

【巩固】：如图，平行四边形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别相交于E、F.求证：

四边形AFCE是菱形.

O

D

E

F

C

A

B

【例12】如图，在梯形纸片ABCD中，//ADBC，ADCD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD

上的点C处，折痕DE交BC于点E，连结CE

.求证：四边形CDCE

是菱形．

C'D

C

B

A

E

【例13】☆如图，E是菱形ABCD的边AD的中点，EFAC于H，交CB的延长线于F，交AB于P，

证明：AB与EF互相平分

A

BC

D

E

F

PP

F

E

D

CB

A

【巩固】☆：如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将ABE沿BC方向平移，使点E与点

C重合，得GFC．假设60B，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？

证明你的结论．

G

FE

D

C

B

A

【例14】如图，在ABC中，ABAC，M是BC的中点．分别作MDAB于D，MEAC于E，DFAC

于F，EGAB于G．DFEG、相交于点P．求证：四边形DMEP是菱形．

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P

M

F

E

D

G

C

B

A

【例15】如图，ABC中，90ACB，AD是BAC的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD

于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．

H

F

D

E

C

B

A

【巩固】☆如图，M是矩形ABCD内的任意一点，将MAB沿AD方向平移，使AB与DC重合，点M移

动到点'M的位置

⑴画出平移后的三角形；

⑵连结'MDMCMM，，，试说明四边形'MDMC的对角线互相垂直，且长度分别等于ABAD，的

长；

⑶当M在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形'MDMC是菱形？为什么？

M'

M

D

C

B

A

三、与菱形相关的几何综合题

【例16】等腰ABC△中，ABAC，AD平分BAC交BC于D点，在线段AD上任取一点P〔A点除外〕，

过P点作EFAB∥，分别交AC、BC于E、F点，作PMAC∥，交AB于M点，连结ME.

⑴求证四边形AEPM为菱形

⑵当P点在何处时，菱形AEPM的面积为四边形EFBM面积的一半？

M

P

F

A

B

C

D

E

1.菱形周长为52cm，一条对角线长为10cm，那么其面积为．

课后练习

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2.如图，在菱形ABCD中，4ABaE，在BC上，2120BEaBADP，，点在BD上，那么

PEPC的最小值为

E

P

D

C

B

A

3.菱形的一个内角为60，一条对角线的长为23，那么另一条对角线的长为________．

4.，菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且60BEAF，18BAE．求：CEF

的度数．

F

E

D

C

B

A

5.如图，在ABC中，ABAC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，

CE．当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．

E

D

C

B

A

6.如图，ACD、ABE、BCF均为直线BC同侧的等边三角形．ABAC．

⑴顺次连结A、D、F、E四点所构成的图形有哪几类？直接写出构成图形的类型和相应

的条件．

⑵当BAC为度时，四边形ADFE为正方形．

F

E

D

C

B

A

7.如图，BE、CF分别为ABC中B、C的平分线，AMBE于M，ANCF于N，求证：

MNBC∥．

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N

M

E

F

C

B

A