导数的几何意义

《导数的几何意义》课例及点评

摘自：《苏州市网上教师学校》

课例：广州大学附属中学施永红

【教学目标】

知识与技能目标：

（1）使学生掌握函数f(x)在x=x0处的导数f´(x0)的几何意义就是函数f(x)的图像在x=x0处的切线的斜率。（数

形结合），即：

＝切线的斜率

(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法。

过程与方法目标：通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、讨论、总结，发现问题，解决问题，从而达到

培养学生的学习能力，思维能力，应用能力和创新能力的目的。

【教学手段】采用计算机（Flash,PowerPoint），实物投影等多媒体手段，增大教学容量与直观性，有效提高

教学效率和教学质量。

【教学重点与难点】

重点：导数的几何意义及“数形结合，以直代曲”的思想方法。

难点：发现、理解及应用导数的几何意义

【教学过程】

（一）作业点评，承上启下：

问题：在高台跳水运动中，t秒(s)时运动员相对于水面的高度是（单位：m），求运

动员在t=1s时的瞬时速度，并解释此时的运动状态；在t=0.5s时呢？

教师点评作业的优点及不足；由学生甲解释t=1s，t=0.5s时运动员的运动状态。

（说明：实例引入，承上启下，有效铺垫，直接过渡）

（二）课题引入，类比探讨：

由导数的物理意义是瞬时速度，我们知道了导数的本质。

问（一）：导数的本质是什么？写出它的表达式。

学生活动：在“学生动手实践”中，学生写出：

导数f´(x0)的本质是函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率，即：

（说明：教师不能代替学生的思维活动，学生将大脑中已有的经验、认识转换成数学符号，有利于学生思维能

力的有效提高，为学生“发现”,感知导数的几何意义奠定基础）

问（二）：导数的本质仅是从代数（数）的角度来诠释导数，若从图形（形）的角度来探究导数的几何意义，

应从哪儿入手呢？

教师引导学生：数形结合是重要的思想方法。要研究“形”，自然要结合“数”：

即：导数的代数表达式，并回忆求导数f´(x0)的步骤。

问（三）求导数f´(x0)的步骤有哪几步?

教师引导学生回答：

第一步：求平均变化率；

第二步：当△x趋近于0时，平均变化率无限趋近于的常数就是f´(x0)。（回归本质，数

形结合）

教师进一步引导学生：这是从“数”的角度来求导数，若从“形”的角度探索导数的几何意义，类比地，也可以分

两个步骤：

问（四）：第一步：平均变化率的几何意义是什么？

请在函数图像中画出来；

学生动手活动：见“学生动手实践”。

由学生乙回答：平均变化率的几何意义是割线AB的斜率。

。教师提醒学生A、B两点的坐标必须写清楚。

问（五）：第二步：△x→0时，割线AB有什么变化？请画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生观察：类比数的变化：

当△x→0，割线AB有一个无限趋近的确定位置，这个确定位置上的直线叫做曲线在x=x0处的切线，请把它

画出来。

学生动手活动：见“学生动手实践”。

教师展示学生作品，引导学生发现，并说出：

（形）△x→0，割线AB→切线AD，

则割线AB的斜率→切线AD的斜率

由数形结合，得＝切线AD的斜率

所以，函数f(x)在x=x0处的导数f´(x0)的几何意义就是函数f(z)的图像在x=x0处的切线AD的斜率。（数形结

合）。

（说明：动手实践，探索发现。使学生经历探究“导数的几何意义”的过程以获得理智和情感体验，建构“导数

及其几何意义”的知识结构，准确理解“导数的几何意义”，掌握“数形结合，类比探讨”的数学思想方法。）

（三）动画演示，总结归纳

1.演示Flash动画，将同学们画图、思考、数形结合的过程展示出来。

2.教师提问：此处切线定义与以前学过的切线定义有什么不同？展示PowerPoint动画。

3.根据导数的几何意义，在点P附近，曲线f(x)可以用在点P处的切线

近似代替，这是微积分中重要的思想方法----以直代曲（以简单的对象刻画复杂的对象）。（动画演示：通过

信息技术将函数曲线某一点附近的图象放大得到一个近景图，图象放得越大，这一小段曲线看起来就越象直线；大

多数函数曲线就一小范围来看，大致可看作直线，所以，某点附近的曲线可以用过此点的切线近似代替，即“以直

代曲”）

教师引导学生看书，理解，在课堂教学中紧密结合教材。

（说明：适时、有效地采用计算机等多媒体辅助教学，可以不仅加强学生对“导数的几何意义”形象、直观地理

解，还能将学生的动手实践（感知体验）与抽象思维（深层内化）有效结合，增强学生的思维能力训练，提高教学

效率和教学质量。）

（四）训练巩固、加强理解：

1.在函数的图像上，（1）用图形来体现导数k´(1)=-3.3，k´(0.5)=-1.6的几何意义，并

用数学语言表述出来。（2）请描述、比较曲线k(t)在t0,t1,t2附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近

呢？

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（讨论、描述运动员的运动状态），体会利用导数的

几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

2.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，

估计t=0.2,0.4,0.6,0.8（min）时，血管中药物浓度的瞬时变化率，把数据用表格的形式列出。(精确到0.1)

0.20.40.60.8

药物浓度的

瞬时变化率

（说明：要求学生动脑（审题），动手（画切线），动口（说出如何估计切线斜率），进一步体会利用导数的

几何意义解释实际问题，渗透“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。）

（五）抽象概括，归纳小结：

1.抽象概括：由练习2抽象概括出导函数（简称导数）的概念：

f´(x0)是确定的数（静态），f´(x)是x的函数（动态）

由（特殊----一般）

→（静态----动态）

（说明：体验从静态到动态的变化过程，领会从特殊到一般的辩证思想

2.归纳小结：

由学生进行开放式小结：

（1）函数f(x)在x=x0处的导数f´(x0)的几何意义就是函数f(x)的图像在x=x0处的切线AD的斜率。（数形结

合），即：

＝切线AD的斜率

（2）利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的思想方法。

（3）导函数（简称“导数”）的概念。

（六）作业布置，分层要求：

1.习题P10A5,6.B2,3.

2.如图（函数图像参见“学生动手实践”，此略）是利用信息技术画出的函数的图像，

请根据图像，估计V=0.612时，气球的瞬时膨胀率。有什么发现？

3.请给出求函数y=f(x)在x=x0处的切线方程的一个算法，并小组自编四个求切线的题目。

（探索：若把3.“在点(x0,f(x0))处”改为“过点(x0,f(x0))”，算法有何不同？并小组自编四个求切线的题目。）

学生动手实践

提问：1.导数f´(x0)的本质是什么？请写数学表达式。

导数的本质是函数f(x)在处的

即：

２.函数f(x)平均变化率的几何意义是什么，请在函数图像中画

出来。

3.导数f´(x0)的几何意义是什么？

导数f´(x0)的几何意义是

练习1.在函数的图像上，（1）说说k´(1)=-3.3，k´(0.5)=1.6的几何意义。（2）请描

述、比较曲线k(t)在t0,t1,t2,附近增（减）以及增（减）快慢的情况。在t3,t4附近呢？

2.如图表示人体血管中的药物浓度c=f(t)（单位：mg/ml）随时间t（单位：min）变化的函数图像，根据图像，

估计t=0.2,0.4,0.6,0.8(min)时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1)，把数据用表格的形式列出。

t0.20.40.60.8

药物浓度的瞬

时变化率

抽象概括：

归纳小结：

点评：广州市教育局教学研究室/许世红

本节内容是在学习了“变化率问题、导数的概念”等知识的基础上，研究导数的几何意义。它能过直观具体的形

象帮助学生消除对极限的神秘感，深刻理解导数的内涵和意义，形成对于变量与常量之间相互联系与转化的认识，

感受和体验辩证思维活动的过程，它对于学生深化数形结合认识，了解辩证思维的方式具有十分典型和重要的功能。

本课的设计和教学较好地反映了以上意图，较好地体现出高中数学课程标准所倡导的教学理念，主要特色如下：

教学思路清晰，学习重点突出

本节课围绕着“利用函数图象直观理解导数的几何意义”和“利用导数的几何意义解释实际问题”两个教学重心

展开。

首先，教师从点评简单的作业“求高台跳水运动中某时刻的瞬时速度并描述该时刻的运动状态”入手，复习导数

的实际意义、数值意义，由数到形，自然引出从图形的角度研究导数的几何意义；然后，类比“平均变化率----瞬时

变化率”的研究思路，运用逼近的思想定义了曲线上某点的切线，再引导学生从数形结合的角度思考，获得导数的

几何意义----“导数是曲线上某点处切线的斜率”。

完成本节课第一阶段的内容学习后，教师点明，利用导数的几何意义，在研究实际问题时，某点附近的曲线可

以用过此点的切线近似代替，即“以直代曲”，从而达到“以简单的对象刻画复杂对象”的目的，并通过两个例题的研

究，让学生从不同的角度完整地体验导数与切线斜率的关系，并感受导数应用的广泛性。

整节课的教学思路清晰，突出了对主干知识的深入研讨。虽然活动的每一个环节和片断基本上以教材内容为主

线展开，但每一个知识、每一个发现，教师总是设法由学生自己得出，教师只是在关键处加以引导，尤其是，课堂

上给予学生充足的思考时间和空间，让学生在动手操作、动笔演算等活动后，再组织讨论，充分体现出学生才是学

习的主角这一新课程理念。

设问合乎情理，探究活动自然

著名哲学家波普尔说“问题构成了一切科学探索活动(包括数学活动)的实际出发点”。在课堂上，只有通过适当

的设问，才能在教学中真正实现“人人开动脑筋,积极思考”。本节课，教师十分注意提问的艺术，设计的问题围绕“怎

样想到导数的几何意义就是切线的斜率”而进行，引导学生充分经历“提出问题（从数的角度研究了导数后，从形的

角度如何研究导数？）----寻求想法----实施想法----发现规律----给出定义----应用定义解释现象（如何估计切线的斜

率）”这一完整的探究活动，让学生感受到数学知识的产生是水到渠成的。

注重学法引导，揭示研究方法

无论是复习导数的实际意义、数值意义，还是研究导数的几何意义及其应用，教师都很注重对数学思考和解决

问题基本方法的教学，教师总是问：“你为什么这样做？”、“你是怎样想的？”、“还可以怎样做？”等问题，问思路、

问道理、问方法，及时组织学生交流思维过程，展现问题解决的途径，揭示研究问题的基本方法，借此引导学生学

会必要的思维策略。从学生对例2、例3的分析可以看出，学生分析问题时表述清楚，思维方向正确，显得很是自

信。

巧用信息技术，强化直观感知

由于研究导数的几何意义时应用了“逼近”的思想，在学生动手画出一系列特殊位置的割线后，教师恰当地应用

flash动画，让学生从直观上强烈感受到由割线逼近切线、产生切线的过程，再从理性的角度思考“切线产生”的深层

原因，较好地培养了学生的观察能力和分析能力。另外，在解释“以直代曲”思想时，利用几何画板将曲线某一点附

近的图象放大，让学生直观感受到“以直代曲”的合理性和有效性，加深了学生对这一重要思想的认识。

整合教材资源，突破理解难点

由于版面的限制，教材例3中的图1.1-4的网格较密，不利于学生展开对该问题的研究。教师在实际处理时，

直接将教材中的图形放大后印发给学生，让学生借助网格估计导数的近似值，有效地突破了研究难点，这种处理方

式反映了教师的教学机智；又如，本节教材的课后练习中要求学生“利用信息技术工具，画出函数

的图象，并根据其图象，估计V＝0.6、1.2时，气球的瞬时膨胀率”，由于大多数学生不具

备这样的学习条件，教师直接给出了函数图象，这样的处理更符合教学实际；再如，教师在布置课后分层作业时，

让学生研究“在某点处的切线”与“过某点的切线”的差异，较好地培养了学生思维的严谨性，也反映出教师对教学内

容的深入思考。

当然，本节课在教学过程中，也有不尽如人意的地方，这里不再赘述。

用导数研究函数的单调性

北京市三里屯一中郭玉晶

一、教学背景分析

１．教学内容及地位

函数单调性是在高中阶段讨论函数“变化”的一个最基本的性质．学生在中学阶段对于

单调性的学习共分为三个阶段，第一阶段，在初中以具体函数为载体，从图形直观上感知单

调性；第二阶段，在高中数学第一册书中，用运算的性质研究单调性；第三阶段，就是在本

节课中，用导数的性质研究单调性．教材中2.4与2.5这两节是学习导数在函数中的应用，

其中教材将单调性与极值归到了一节，而我为什么将单调性单独拿出来研究，主要从两个方

面来考虑，一方面求极值和最值都是以单调性作为基础的，所以如果单调性研究透了求极值

和最值就不困难了；另一方面根据近两年高考中文科多是利用导数来研究三次函数，所以想

借助于本节课对三次函数的图象进行拓展．

本课时的地位和作用：可以说本节课起到了承上启下的作用，既是对之前所学的2.3节

多项式函数的导数的巩固理解，也是对之后将学习的函数的极值和最值的铺垫．

2．课程标准中对这部分内容的要求

要结合实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；能利用导数研究函

数的单调性，会求多项式函数的单调区间．

3．学情分析

学生在前面的学习中，已经系统的研究了一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、

对数函数和三角函数等基本函数，尤其是对二次函数较为熟悉，但是，还没有利用导数研究

一类函数的经验；本节课我们又拓展到了三次函数，由于它的图象性质情况较为复杂，学生

在研究过程中较难理出头绪．另外，理解函数与其导函数的关系，需要学生有较高的理性思

维能力，对于文科学生不可能一步到位．

针对上述问题的解决措施：利用学生熟悉的二次函数来研究三次函数，通过原函数和导

函数的图象来刻画和加深学生对函数与导函数关系的理解．

二、教学目标

围绕课标的要求和高考中对这部分内容的考查制定了如下的教学目标：

1．正确理解利用导数判断函数的单调性的原理，会利用导数判断函数单调性；

2．通过利用导数研究三次函数图象基本形状的过程，使学生进一步体会利用导数研究

函数单调性的基本思想和方法；

3．通过探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯；让学生经

历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程．

三、教学重、难点分析

根据课标的要求制定的教学重点是利用导数研究函数的单调性；根据学生的实际情况制

定的教学难点是理解函数的单调性与导数的关系．

四、教学方法和教学手段

1．教学方法：本节课我采用引导发现式的教学方法，通过教师在教学过程中的点拨，

启发学生通过主动观察、主动思考、动手操作、自主探究来达到对知识的发现和接受．

2．教学手段：多媒体课件，尤其是几何画板的使用让学生更加直观的体会到原函数和

导函数图象间的关系．

五、教学过程

复习导入：导数的定义及几何意义，多项式函数的求导法则.

新课讲解：

引例确定函数在哪个区间内是增函数？在哪个区间内是减函数？

通过本例中学生熟悉的二次函数回忆以前研究的通过观察图象的变化趋势和利用函数

单调性的定义求函数单调区间的方法；本例的使用与教材是有区别的，教材中这道例题是直

接运用求导的方法解决的，而我是用它起到一个启下的作用，下边的例题用这种方法解决不

了了从而引出导数的方法．

例1确定函数f(x)=2x3－6x2+7在哪个区间内是增函数？哪个区间内是减函数？

学生用前边的两种方法很难解决这个问题，教师用几何画板画出原函数图像与导函数图

象，通过观察函数图象引导学生去发现斜率的符号与单调性之间的关系，从而得出导函数的

正负与单调性之间的关系，实现突出重点和突破难点的目的．

运用此例画出导函数即学生熟悉的二次函数的图象，通过导函数和原函数图象的对比找

到两者之间的联系，从而得到做三次函数简图的方法．

课堂练习

1．确定下列函数的单调区间(1)y=x3－9x2+24x；(2)y=3x－x3．

通过此练习规范解题过程．

2．设是函数的导数,的图象如图所示,则的

图象最有可能是()

通过此练习巩固原函数和导函数图象间的关系，加深对三次函数图象的理解．

其它练习略．

六、小结归纳，拓展深化

在小结归纳中我将从学生的知识，方法和体验入手，带领学生从以下三个方面进行小结：

（1）通过本节课的学习，你学到了用什么方法解决三次函数单调性？

（2）通过本节课的学习，导函数与原函数之间有什么关系？

（3）你又掌握了什么数学方法？（数形结合）

通过小结对本节课所学知识的一个归纳和梳理．