昆塔 盒子总动员

最短路径问题专题演习

1.如图,长方体中,,,,一蚂蚁从点动身,

沿长方体概况爬到点处觅食,则蚂蚁所行旅程的最小值为

A.B.C.D.

2.如图是一个三级台阶,它的每一级的长.宽和高分离是

,,,和是这个台阶的两个相对的端点,点有一只壁虎,

它想到点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从点动身,沿着台

阶面爬到点,至少需爬

A.B.C.D.

3.如图,个边长为的小正方形及其部分对角线所组成的图形中,假如从

点到点只能沿图中的线段走,那么从点到点的最短距离的走法共

有

A.种B.种C.种D.种

4.如图所示,圆柱的底面周长为,是底面圆的直径,高,点

是母线上一点且．一只蚂蚁从点动身沿着圆柱体的概况爬

行到点的最短距离是

A.B.C.D.

5.如图,是一个三级台阶,它的每一级的长.宽.高分离为

,,,和是这个台阶两个相对的端点,点有一只蚂蚁,想到

点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短旅程是

．

A.B.C.D.

6.如图,已知,,,要在长方体上系一根绳索衔接,绳索

与交于点,当所用绳索最短时,绳索的长为

A.B.C.D.

7.已知蚂蚁从长.宽都是,高是的长方形纸箱的点沿纸箱爬到点,那

么它所行的最短路线的长是

A.B.C.D.

8.如图所示,一圆柱高,底面半径长,一只蚂蚁从点爬到点处吃

食,要爬行的最短旅程（取）是

A.B.C.D.无法肯定

9.如图圆柱底面半径为cm,高为cm,点,分离是圆柱两底面圆周上

的点,且,在统一母线上,用一棉线从顶着圆柱正面绕圈到,则棉

线最短为

10.如图,点为正方体左正面的中间,点是正方体的一个极点,正方体

的棱长为,一蚂蚁从点沿其概况爬到点的最短旅程是

A.B.C.D.

11.如图所示是一棱长为的正方体,把它分成个小正方体,每个小

正方体的边长都是.假如一只蚂蚁从点爬到点,那么,间的最短

距离知足

A.B.C.D.或

12.如图所示,圆柱形玻璃杯的高为,底面周长为,在杯内离杯底

的点处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁离杯上沿与

蜂蜜相对的点处,则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为

A.B.C.D.

13.如图,点的正方体左正面的中间,点是正方体的一个极点,正方体

的棱长为,一蚂蚁从点沿其概况爬到点的最短旅程是

A.B.C.D.

14.我国古代有如许一道数学问题：“枯木一根直登时上,高二丈周三

尺,有葛藤自根围绕纠缠而上,五周而达其顶,问葛藤之长几何?”,题

意是如图所示,把枯木看作一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高

为尺,底面周长为尺,有葛藤自点处围绕纠缠而上,绕五周后其末

尾正好到达点处．QQ群450116225则问题中葛藤的最短长度

是尺．

15.如图,已知圆柱体底面的半径为,高为,,分离是两底面的直

径．若一只小虫从点动身,沿圆柱正面爬行到点,则小虫爬行的最

短路线长度是（成果保存根号）．

16.如图,圆柱形容器高,底面周长为,在杯内壁离杯底的点

处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿与蜂蜜相对

的点处,则蚂蚁从外壁处到达内壁处的最短距离

为.

17.如图所示的正方体木块的棱长为,沿其相邻三个面的对角线（图

中虚线）剪失落一角,得到如图②的几何体,一只蚂蚁沿着图②中的

几何体概况从极点爬行到极点的最短距离

为.QQ群450116225

18.如图,长方体的底面边长分离为和,高为．假如用一根细

线从点开端经由个正面围绕纠缠一圈到达点,那么所用细线最短

须要．

19.如图,长方体的长为,宽为,高为,点距离点,一只

蚂蚁假如要沿着长方体的概况从点爬到点,蚂蚁爬行的最短距离

是．

20.我国古代有如许一道数学问题：“枯木一根竖立在地上,高二丈,周

三尺,有葛藤自根围绕纠缠而上,五周而到其顶,问葛藤之长几何?”

题意是：如图,把枯木看做一个圆柱体,因一丈是十尺,则该圆柱的高

是尺,底面周长为尺,有葛藤自点处围绕纠缠而上,绕五周后其末

尾正好到达点处,则问题中的葛藤的最短的长度

是尺．

21.如图,长方体的底面边长分离为和,高为,若一只蚂蚁从

点开端经由个正面爬行一圈到达点,则蚂蚁爬行的最短路径长

为.

22.一只蚂蚁从长.宽都是,高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到点,那

么它爬行的最短路线的长是．

23.如图所示是一段三级台阶,它的每一级的长.宽和高分离为

,,,和是这段台阶两个相对的端点.点有一只蚂蚁,想

到点去吃可口的食物,设蚂蚁沿着台阶面爬到点的最短旅程为,则

认为边长的正方形的面积为.QQ群

450116225

24.如图,长方体的底面边长分离为和,高为．假如用一根细

线从点开端经由个正面围绕纠缠一圈到达点,那么所用细线最短

须要;假如从点开端经由个正面围绕纠缠圈

到达点,那么所用细线最短须要

25.在一个长为米,宽为米的矩形草地上,如图堆放着一根长方体的木

块,它的棱长和场地宽平行且大于,木块的正视图是边长为米

的正方形,一只蚂蚁从点处,到达处须要走的最短旅程

是米（准确到米）

26.如图为一圆柱体工艺品,其底面周长为,高为,从点动身绕

该工艺品正面一周镶嵌一根装潢线到点,则该装潢线最短长

为．

27.如图,一个没有上盖的圆柱盒高为,底面圆的周长为,点距

离下底面,一只位于圆柱盒外概况点处的蚂蚁想爬到盒内概况对

侧中点处吃器械,则蚂蚁需爬行的最短旅程的长

为．

28.图1所示的正方体木块棱长为,沿其相邻三个面的对角线（图

中虚线）剪失落一角,得到如图2的几何体,一只蚂蚁沿着图2的

几何体概况从极点爬行到极点的最短距离

为．

29.一只蚂蚁沿棱长为的正方体概况从极点爬到极点,则它走过的最

短旅程为．

30.如图,圆锥的主视图是等边三角形,圆锥的底面半径为,假若点

有一蚂蚁只能沿圆锥的概况爬行,它要想吃到母线的中点处的食

物,那么它爬行的最短旅程是．

31.如图,圆锥的母线长是,底面半径是,是底面圆周上一点,从点动

身绕正面一周,再回到点的最短的路线长是．QQ

群450116225

32.如图,一个正方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有裂缝）,有

一只蚂蚁从柜角处沿着木柜概况爬到柜角处．

（1）请你在正方体木柜的概况睁开图中画出蚂蚁可以或许最快达到

目标地的可能路径;

（2）当正方体木柜的棱长为时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．

33.葛藤是一栽种物,它本身腰杆不硬,为了争取雨露阳光,经常绕着树

干回旋而上,它还有一个绝招,就是它绕树盘升的路线,老是沿最短路

线螺旋进步的．

（1）假如树的周长为,绕一圈升高,则它爬行旅程是若干?

（2）假如树的周长为,绕一圈爬行,则爬行一圈升高若干?假

如爬行圈到达树顶,则树干多高?

34.如图所示,长方体的长为,宽为,高为,点与点之间相

距,

一只蚂蚁假如要沿着长方体的概况从点爬到点,须要爬行的最短距离

是若干?

35.图①,图②为统一长方体房间的示意图,图③为该长方体的概况睁开

图．

（1）已知蜘蛛在极点处;

①苍蝇在极点处时,试在图①中画出蜘蛛为抓住苍蝇,沿墙面爬行的

比来路线;

②苍蝇在极点处时,图②中画出了蜘蛛抓住苍蝇的两条路线,往天花

板爬行的比来路线和往墙面爬行的比来路线,试

经由过程盘算断定哪条路线更近;

（2）在图③中,半径为的与相切,圆心到边的距离为

,蜘蛛在线段上,苍蝇在的圆周上,线段为蜘蛛爬行

路线．若与相切,试求的长度的规模．QQ群450116225

36.如图,直四棱柱侧棱长为,底面是长为,宽为的长方形．一

只蚂蚁从极点动身沿棱柱的概况爬到极点．求：

（1）蚂蚁经由的最短旅程;

（2）蚂蚁沿着棱爬行（不克不及反复爬行统一条棱）的最长旅程．

37.如图,不雅察图形解答下面的问题：

（1）此图形的名称为．

（2）请你与错误一路做一个如许的物体,并把它沿剪开,铺在桌面

上,则它的正面睁开图是一个．

（3）假如点是的中点,在处有一只蜗牛,在处正好有蜗牛想吃的

食物,但它又不克不及直接沿爬到处,只能沿此立体图形的概况

爬行．你能在正面睁开图中画出蜗牛爬行的最短路线吗?

（4）的长为,正面睁开图的圆心角为,请你求出蜗牛爬行的最

短旅程．

38.如图,一只虫子从圆柱上点处绕圆柱爬一圈到点处,圆柱的高为

,圆柱底面圆的周长为,求虫子爬行的最短旅程．

39.如图,一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有裂

缝）,有一只蚂蚁从柜角处沿着木柜概况爬到柜角处.

（1）请你画出蚂蚁可以或许最快到达目标地的可能路径;

（2）当,,时,求蚂蚁爬过的最短路径的长;

40.如图一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有裂缝）,

有一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜概况爬到柜角处．当

,,时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．

41.一只蚂蚁从长.宽都是,高是的长方体纸箱的点沿纸箱爬到

点,如图,求它爬行的最短路线的长．

42.如图所示是一段楼梯,已知,,楼梯宽.一只蚂

蚁要从点爬到

43.如图,一个长方体木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有裂缝）,有

一只蚂蚁从柜角A处沿着木柜概况爬到柜角处．

（1）请你画出蚂蚁可以或许最快到达目标地的可能路径．

（2）当,,时,求蚂蚁爬过的最短路径的长．

（3）求点到最短路径的距离．

44.已知圆锥的底面半径为,高,如今有一只蚂蚁从底

边上一点动身．在正面上爬行一周又回到点,求蚂蚁爬行的最短距

离．

45.如图,是一个长方体盒子,长,宽,高．

（1）一只蚂蚁从盒子下底面的点沿盒子概况爬到点,求它所行走的

最短路线的长．

（2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒的长度为若干?

46.图1.图2为统一长方体房间的示意图,图3为该长方体的概况睁开

图．

（1）蜘蛛在极点处．

①苍蝇在极点处时,试在图1中画出蜘蛛为抓住苍蝇,沿墙面爬行的

比来路线．

②苍蝇在极点处时,图2中画出了蜘蛛抓住苍蝇的两条路线,往天花

板爬行的比来路线和往墙面爬行的比来路线,试

经由过程盘算断定哪条路线更近．

（2）在图中,半径为的与相切,圆心到边的距离为,

蜘蛛在线段上,苍蝇在的圆周上,线段为蜘蛛爬行路线,

若与相切,试求长度的规模．

47.如图,长方体中,,,一只蚂蚁从点动身,

沿长方体概况爬到点,求蚂蚁如何走最短,最短旅程是若干?

48.如图,平行四边形中,,,,将平行四边形

沿过点的直线折叠,使点落到边上的点处,折痕交边于点．

（1）求证：四边形是菱形;

（2）若点时直线上的一个动点,请盘算的最小值．

49.实践操纵

在矩形中,,,现将纸片折叠,点的对应点记为点,折痕为

（点,是折痕与矩形的边的交点）,再将纸片还原．QQ群

450116225

（1）初步思虑

若点落在矩形的边上（如图①）．

①当点与点重应时,,当点与点重应

时,;

②当点在上,点在上时（如图②）,求证：四边形为菱形,

并直接写出当时菱形的边长．

（2）深刻探讨

若点落在矩形的内部（如图③）,且点,分离在,边上,请

直接写出的最小值．

（3）拓展延长

若点与点重合,点在上,射线与射线交于点（如图④）．在

各类不合的折叠地位中,是否消失某一种情形,使得线段与线段

的长度相等?若消失,请直接写出线段的长度;若不消失,请解

释来由．

答案

1.B2.C【解析】将台阶面睁开,衔接,如图,

线段即为壁虎所爬的最短路线．

因为,,

在中,依据勾股定理,得,

所以．

所以壁虎至少爬行．

3.C【解析】

4.B5.D

6.A【解析】.

7.B8.B9.B10.C

11.B12.A13.C【解析】将正方体的左正面与前面睁开,组

成一个长方形,用勾股定理求出距离即可．

如图,．

14.

15.

【解析】将圆柱的正面沿剪开并摊平得长方形,衔接,如图．

线段就是小虫爬行的最短路线．

依据题意得．

在中,由勾股定理,得,

．

所以．

16.

17.

18.

19.

【解析】只要把长方体的右侧概况剪开与前面这个正面地点的平面形成一

个长方形,如图1：

长方体的宽为,高为,点离点的距离是,

,,

在直角三角形中,依据勾股定理得：

;

只要把长方体的右侧概况剪开与上面这个正面地点的平面形成一个长方形,

如图2：

长方体的宽为,高为,点离点的距离是,

,,

在直角三角形中,依据勾股定理得：

;

只要把长方体的上概况剪开与后面这个正面地点的平面形成一个长方形,

如图3：

长方体的宽为,高为,点离点的距离是,

,

在直角三角形中,依据勾股定理得：

;

,

蚂蚁爬行的最短距离是．

20.

21.

【解析】请求长方体中两点之间的最短路径,最直接的做法就是将长方体

睁开,然后应用两点之间线段最短解答.

如图

,,,

22.

23.

24.,

【解析】

如图,依题意,得从点开端经由个正面围绕纠缠一圈到达点时,最短距离

为,

此时,由勾股定理,得,即所用细线最短为．

若从点开端经由个正面围绕纠缠圈到达点,

则长方体的正面睁开图的一边长由变成,即,

由勾股定理,得,

即所用细线最短为,或．

25.

【解析】

由题意可知,将木块睁开,

相当于是个正方形的宽,

长为米;宽为米．

于是最短路径为：米．

26.

【解析】沿剪开可得矩形.

圆柱的高为,底面圆的周长为,

,,

在中,.

即装潢线的最短路线长是．

27.

28.

29.

30.

【解析】圆锥的底面周长是,则,

即圆锥正面睁开图的圆心角是,

在圆锥正面睁开图中,,,

在圆锥正面睁开图中,

这只蚂蚁爬行的最短距离是．

31.

【解析】图中扇形的弧长是,依据弧长公式得到,

,即扇形的圆心角是,

,

.

32.（1）蚂蚁可以或许最快到达目标地的可能路径有如图的和．

（2）如图,

．

．

所以蚂蚁爬过的最短路径的长是．

33.（1）

（2）;

34.．

35.（1）①如图①,衔接,线段就是所求作的比来路线．

②两种爬行路线如图②所示,

由题意可得：

在中,;

在中,．

,

路线更近．

（2）如图③中,衔接,

为的切线,点为切点,

．

在中,有,

当时,最短,取得最小值,此时,

．

当点与点重应时,最长,取得最大值,如图④,过点作,垂足为

,

由题意可得,,

在中,．

在中,．

综上所示,长度的取值规模是．

36.（1）若蚂蚁沿正面爬行,则经由的旅程为;

若蚂蚁沿正面和底面爬行,则经由的旅程为或

．

所以蚂蚁经由的最短旅程是．

（2）蚂蚁爬过的棱长依次为,,,,,,

时,其旅程为最长,最长旅程是．

37.（1）圆锥

（2）扇形

（3）把此立体图形的正面睁开,如图所示,

为蜗牛爬行的最短路线．

（4）在中,由勾股定理,得,

所以．

故蜗牛爬行的最短旅程为．

38.如图,是圆柱的睁开图,衔接．

由题意可知虫子爬行的最短路径为.

此时．

答：虫子爬行的最短旅程为．

39.（1）如图,木柜的概况睁开图是两个矩形和.故蚂蚁可以

或许最快到达目标地的可能路径为图中的和.

（2）蚂蚁沿着木柜概况经线段到,爬过的最短路径的长

是.

蚂蚁沿着木柜概况经线段到,爬过的最短路径的长是

.

因为,所以蚂蚁爬过的最短路径的长为.

40.如图所示,木柜的部分概况睁开图示两个矩形或矩形．

蚂蚁可以或许最快到达目标地的可能路径是如图的或．

若爬过的路径的长是,则;

若爬过的路径的长是,

则.

,

最短路径的长是．

41.蚂蚁现实上是在长方体的半个正面内爬行,假如将这半个正面睁开

（如图所示）,得到矩形.

依据“两点之间,线段最短”,所求的最短旅程就是半个正面

睁开图矩形对角线之长．在中,

底面边长,

．

答：最短旅程约为．

42.如图①

;

如图②.如图③

.

蚂蚁爬行的最短旅程为.

43.（1）木柜的部分概况睁开图如图：

蚂蚁可以或许最快到达目标地的可能路径有和．

（2）蚂蚁沿着木柜概况经线段到,

爬过的路径长为．

蚂蚁沿着木柜概况经线段到,

爬过的路径长为．

,

最短路径为．

（3）过点作于点,衔接,

则．

点到最短路径的长为．

44.设扇形的圆心角为,圆锥的极点为,

,．

由勾股定理可得母线,

而圆锥正面睁开后的扇形的弧长为,

．

等于等腰直角三角形,

由勾股定理得：．

答：蚂蚁爬行的最短距离为．

45.（1）蚂蚁从点爬到点有三种可能,睁开成平面图形如图所示,

由勾股定理盘算出的值分离为,,,比较后得最小为,即最短路

线的长是．

（2）如图,

,即能容下的最长木棒的长度为．

46.（1）①如图所示线段为比来路线.

②将长方体睁开,使得长方形和长方形在统一平面内,如图.

在中,,,,

．

将长方体睁开,使得长方形和长方形在统一平面内,如图.

在中,,,,

.

,

往天花板爬行的比来路线更近.

（2）过点作于,衔接,,,.

半径为的与相切,圆心到边的距离为,,

,,.

依据勾股定理可得,

,

．

与相切于点,

,.

．

当时,;

当时,．

长度的规模是．

47.如图1所示：

由题意得：,,

在中,由勾股定理得,

如图2所示：

由题意得：,,

在中,由勾股定理得：,

．

第一种办法蚂蚁爬行的旅程最短,最短旅程是．

48.（1）将平行四边形沿过点的直线折叠,使点落到边上的点

处,

,,.

,

.

.

.

四边形是菱形.

,,

.

四边形是菱形.

（2）四边形是菱形,

与关于对称,

衔接交于,则的长即为的最小值,

过点作于.

,

,

,

,.

.

.

的最小值为．

49.（1）①;

②翻折的性质,

,,

四边形是矩形,

,

,

,

,

,

,

四边形是平行四边形,

,

平行四边形是菱形,

当时,菱形边长为．,,

（2）．

（3）消失,．

最短路径问题专题演习

1.如图,长方体中,,,,一蚂蚁从点动身,

沿长方体概况爬到点处觅食,则蚂蚁所行旅程的最小值为

A.B.C.D.

2.如图是一个三级台阶,它的每一级的长.宽和高分离是

,,,和是这个台阶的两个相对的端点,点有一只壁虎,

它想到点去吃可口的食物,请你想一想,这只壁虎从点动身,沿着台

阶面爬到点,至少需爬

A.B.C.D.

3.如图,个边长为的小正方形及其部分对角线所组成的图形中,假如从

点到点只能沿图中的线段走,那么从点到点的最短距离的走法共

有

A.种B.种C.种D.种

4.如图所示,圆柱的底面周长为,是底面圆的直径,高,点

是母线上一点且．一只蚂蚁从点动身沿着圆柱体的概况爬

行到点的最短距离是

A.B.C.D.

正方形专题演习

1.小明在进修了正方形之后,给同桌小文出了一道题,从下列四个前提：

①;②;③;④中选出两个作为填补前提,

使平行四边形为正方形（如图）．现有下列四种选法,你认为个

中错误的是

A.①②B.②③C.①③D.②④

2.,大正方形中有个小正方形,假如它们的面积分离是,,那么,的

大小关系是

A.B.

C.D.,的大小关系不肯定

3.如图,在正方形和正方形中,点在上,,将正方形绕

点顺时针扭转,得到正方形,此时点在上,衔接,则

A.B.C.D.

4五个边长都为的正方形按如图所示摆放,点,,,分离是四个正方

形的中间,则图中四块暗影部分面积的和为

A.B.C.D.

扭转专题演习

1.如图,在矩形中,已知,,将矩形绕着点在桌面上顺

针旋砖至,使其停靠在矩形的点处,若,则点的活动

路径长为

（1题）（2题

A.B.C.D.

2.在中,,,把这个直角三角形绕极点扭转后得到

,个中点正好落在上,与订交于点,那么等于

A.B.C.D.

3.在锐角中,,,（如图）,将绕点按逆时

针偏向扭转得到（极点.分离与.对应）,当点在线段的

延长线上时,则的长度为QQ群450116225

（3题）（4题）

A.B.C.D.

4.边长必定的正方形,是上一动点,交于点,过作

交于点,作于点,衔接,下列结论：

①;②;③;④为定值．个中必定成立的

是

11.抗震救灾中,某县食粮局为了包司库存食粮的安然,决议将甲.乙两个仓

库的食粮,全体转移到具有较强抗震功效的A.B两仓库.已知甲库有食粮

100吨,乙库有食粮80吨,而A库的容量为70吨,B库的容量为110吨.从

甲.乙两库到A.B两库的旅程和运费如下表（表中“元/吨·千米”暗示每

吨食粮输送1千米所需人平易近币）

（1）若甲库运往A库食粮吨,请写出将食粮运往A.B两库的总运费

（元）与（吨）的函数关系式

（2）当甲.乙两库各运往A.B两库若干吨食粮时,总运费最省,最省的

总运费是若干？

12.如图,反应了甲.乙两名自行车运发动在公路长进行练习时的行驶旅程

（千米）和行驶时光（小时）之间的关系,依据所给图象,解答下列问

题：

（1）写出甲的行驶旅程和行驶时光之间的函数关系式．

（2）在哪一段时光内,甲的行驶速度小于乙的行驶速度;在哪一段时光内,

甲的行驶速度大于乙的行驶速度．

（3）从图象中你还能获得什么信息？请写出个中的一条．