正弦函数对称轴

正弦、余弦函数的对称性

一．复习

1.函数()fx的图像关于直线xa对称等价于()()faxfax

2.函数()fx的图像关于直线(,0)a对称等价于()()faxfax

二．研究()sinfxx的对称性

探索：你能用诱导公式说明()sinfxx关于原点和(,0)对称，关于直线

3

22

xx



和对称吗？（提示：如可用

sin(2)sinxx说明()sinfxx关于点(,0)对称）

总结：

1.正弦函数sin()yxxR的对称中心是,0kkZ,

对称轴是直线

2

xkkZ



;

余弦函数cos()yxxR的对称中心是,0

2

kkZ













,

对称轴是直线xkkZ

(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

x

轴的直线，对称中心为图象与

x

轴(中轴线)的交点).

2.函数()sin(()cos(fxAxfxAx）或）（A0）的对称性

（1）()fx关于直线xa对称()faA，

（2）()fx的对称中心为图象与

x

轴(中轴线)的交点(,0)a，()0fa

说明：()fx是奇函数，

()fx是偶函数

()sin(()cos(fxAxfxAx）+b或）+b（A0）的对称中心为图象与直线xb的交点(,)ab，

()fab

三．例题、练习题：

1.（07福建文5）函数

π

sin2

3

yx









的图象（）

Ａ．关于点

π

0

3







，

对称Ｂ．关于直线

π

4

x对称

Ｃ．关于点

π

0

4







，对称Ｄ．关于直线

π

3

x对称

2.（安徽文15）函数

π

()3sin2

3

fxx









的图象为C，如下结论中正确的是__________（写出所有正确结论的编号

．．

）．

①图象C关于直线

11

π

12

x对称；

②图象C关于点

2π

0

3







，对称；

③函数()fx在区间

π5π

1212









，内是增函数；

④由3sin2yx的图角向右平移

π

3

个单位长度可以得到图象C．

3．函数sin2yx的图象向右平移（0）个单位，得到的图象关于直线

6

x



对称，则的最小值为

（）

()A

5

12



()B

11

6



()C

11

12



()D以上都不对

．

4.（2009全国卷Ⅰ文）如果函数3cos(2)yx的图像关于点

4

(,0)

3



中心对称，那么的最小值为

A.

6



B.

4



C.

3



D.

2



5.（2009青岛一模）设函数()sin(2)

3

fxx



，则下列结论正确的是（）

A．()fx的图像关于直线

3

x



对称

B．()fx

满足

()()

44

fxfx





C．把()fx的图像向左平移

12



个单位，得到一个偶函数的图像

D．()fx的最小正周期为



，且在[0,]

6



上为增函数

10已知函数()sin21fxx满足()()

33

fxfx



，设()cos21gxx则()

3

g



=

课标要求

了解函数对称性、周期性的概念，能应用对称、周期的概念解决问题。

考点回顾

1.函数图象本身的对称性（自身对称）

1、的图象关于直线对称。

2、的图象关于直线对称。

3、的图象关于直线对称。

4、的图象关于直线对称。

5、的图象关于点对称。

6、的图象关于点对称。

7、的图象关于点对称。

8、的图象关于点对称。

2.两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）

1、函数与图象关于直线对称。

2、函数与图象关于直线对称

3、函数与图象关于直线对称

4、函数与图象关于直线对称即直线对称

5、函数与图象关于X轴对称。

6、函数与图象关于Y轴对称。

7、函数与图象关于原点对称

3.函数的周期性

1、的周期为

2、的周期为

3、的周期为

4、的周期为

5、的周期为

6、的周期为

7、的周期为

8、的周期为

9、的周期为

10、有两条对称轴和（周期

11、有两个对称中心和周期

12、有一条对称轴和一个对称中心周期

13、奇函数满足周期。

14、偶函数满足周期。

例题讲解

题型一：对称性、周期性的证明

例1.设曲线的方程是，将沿轴、轴正方向分别平移、个单位长度后得到曲线，

（1）写出曲线的方程；

（2）证明曲线与关于点对称；

（3）如果曲线与有且仅有一个公共点，证明：．

解：（1）曲线的方程为；

（2）证明：在曲线上任意取一点，设是关于点的对称点，

则有，∴代入曲线的方程，

得的方程：

即可知点在曲线上．

反过来，同样证明，在曲线上的点的对称点在曲线上．

因此，曲线与关于点对称．

（3）证明：因为曲线与有且仅有一个公共点，

∴方程组有且仅有一组解，

消去，整理得，这个关于的一元二次方程有且仅有一个根，

∴，即得，

因为，所以．

例2.已知函数y=f（x）=.

（1）证明这个函数为偶函数；

（2）证明T=是函数的一个周期，进而寻找函数是否有其他的周期，最后说明这个函数的周期组成什么

集合.

解：（1）对任意实数x，x与-x同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（-x），又定义域关于原点

对称，函数为偶函数；

（2）当T=时，对任意实数x，x与x+同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+），所以T=

是函数的周期；

当T为有理数时，对任意实数x以及有理数T，x与x+T同为有理数或无理数，所以恒有f（x）=f（x+T），

所以T是函数的周期；

当T为无理数时，f（-T）=0，f（-T+T）=f（0）=1，所以T不是函数的周期，函数的所有周期组成有

理数集合

题型二：利用函数的周期性与对称性

例3.已知函数是定义在R上的周期函数，周期，函数是奇函数．又知

在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在时函数取得最小值-5．

①证明：；

②求的解析式；

③求在上的解析式．

解：①∵是以为周期的周期函数，∴，

又∵是奇函数，∴，

∴．

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴．

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，

∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而当时，，故时，．

∴当时，有，∴．

当时，，∴

∴．

例4.已知函数的图象与的图象关于点对称。

（1）求的值；

（2）

解.（1）设P(x,y)是h(x)图像上的一点，点P关于A(0,1)的对称点为Q(x

0

,y

0

),则x

0

=,y

0

=2.

,即，从而.

（2）

,.

即令，当时，.

方法归纳：

1.证明函数的对称性、周期性注重定义的使用

2.注意对称性、周期性与奇偶性、单调性的综合运用，解题时注重数形结合思想的运用。

实战训练

1．定义在R上的函数不是常数函数，满足，，

则函数（B）

A．是奇函数也是周期函数B．是偶函数也是周期函数

C．是奇函数但不是周期函数D．是偶函数但不是周期函数

解析：由，知，所以以2为周期，再由

得，．令，则有，

∴是偶函数．故是偶函数也是周期函数．

2、的定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则的值为（A）

A．0B．C．TD．－

3、设为奇函数，对任意，则等于（A）

A．－3B．3C．4D．－4

4、已知函数为偶函数，上是单调减函数，则（A）

A．B．C．D．

5.设f(x)(x∈R)为偶函数，且f(x－)=f(x+)恒成立，x∈［2，3］时，f(x)=x，则x∈［－2，0］

时，f(x)等于

A.|x+4|B.|2－

x|C.3－

|x+1|D.2+|x+1|

解析：根据y=f(x)以2为周期，画出函数图象可得出结论.答案：C

7.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x+4)=f(x)对任意x∈R成立，如果当x∈［0，1］时，f(x)=2x，

则f()的值是

A.23B.－C.D.－

解析：利用f(－x)=－f(x)，以及f(x)以4为周期可求出.答案：B

8.若函数y=f(x)(R)满足f(x+2)=f(x)，且x∈(-1，1)时，f(x)=|x|，则函数y=f(x)的图象与函数

y=log

4

|x|图象的交点的个数为C

A.3B.4C.6D.8

解析：函数f(x)以2为周期，画出f(x)的图象，数形结合.

9.函数y=f(x+1)与y=f(1－x)的图象关于

A.y轴对称B.原点对称C.直线x=1对称D.关于y轴对称且关于直线x=1对称

解析：根据对称关系验证A正确，选A.

10、已知f(x)是定义在R上的奇函数，且满足，则使的

值等于（A）

A．B．C．D．

11．定义在R上的函数,时，

(C)

A．B．C．D．

12．定义在上的函数，其图象关于点对称，且，，，则

（A）

A．1B．0C．-1D．-2

13．已知函数f(x)＝的反函数f－1(x)的图象的对称中心为(－1，5)，则实数a的值是(D)

A．－3B．1C．5D．7

14.如果函数y=f(x+1)是偶函数，那么函数y=f(x)的图象关于__直线x=1_对称.

15.定义在（－∞，+∞）上的偶函数f（x）满足f（x+1）=－f（x），且在［－1，0］上是增函数，下

面是关于f（x）的判断：

①f（x）是周期函数；

②f（x）的图象关于直线x=1对称；

③f（x）在［0，1］上是增函数；

④f（x）在［1，2］上是减函数；⑤f（2）=f（0）.

其中正确的判断是________（把你认为正确的判断都填上）.①②⑤

16.对于定义在R上的函数f(x)，有下述命题：

①若f(x)是奇函数，则f(x-1)的图象关于点A(1，0)对称

②若对x∈R，有f(x+1)=f(x-1)，则，f(x)的图象关于直线x=1对称

③若函数f(x-1)的图象关于直线x=1对称，则f(x)为偶函数

④函数f(1+x)与函数f(1-x)的图象关于直线x=1对称

其中正确命题的序号为__________.①③

17．对于定义域为R的非常值函数f(x),请将下面左侧中每个f(x)满足的条件与右侧所提供的f(x)的

性质中一个用线连接起来

18.已知函数f(x)的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对于定义域内的任何x、y，有f(x--y)

=成立，且f(a)=1(a为正常数)，当00．

(1)判断f(x)奇偶性；

(2)证明f(x)为周期函数；

(3)求f(x)在[2a，3a]上的最小值和最大值．

证明：(1)∵定义域{x|x≠kπ，k∈Z}关于原点对称，

又f(-x)=f[(a-x)-a]==

====-f(x)，

对于定义域内的每个x值都成立．∴f(x)为奇函数

(2)易证：f(x+4a)=f(x)，周期为4a．

(3)f(2a)=f(a+a)=f[a-(-a)]===0，

f(3a)=f(2a+a)=f[2a-(-a)]===-1．

先证明f(x)在[2a，3a]上单调递减为此，必须证明x∈(2a，3a)时，f(x)<0，

设2a

∴f(x-2a)==->0，∴f(x)<0

设2a

1

2

<3a，

则0

2

-x

1

1

)<0f(x

2

)<0f(x

2

-x

1

)>0，

∴f(x

1

)-f(x

2

)=>0，∴f(x

1

)>f(x

2

)，

∴f(x)在[2a，3a]上单调递减

∴f(x)在[2a，3a]上的最大值为f(2a)=0，最小值为f(3a)=-1．

19.设f（x）的定义域为x∈R且x≠，k∈Z，且f（x+1）=－，如果f（x）为奇函数，当0

时，f（x）=3x.

（1）求f（）；

（2）当2k+

（3）是否存在这样的正整数k，使得当2k+

3

f（x）>x2－kx－2k有解？

解：（1）∵f（x+2）=－=f（x），

∴f（x）是周期为2的周期函数.

∴.

（2）∵2k+

∴f（2k+1－x）=32k+1－x.

又f（2k+1－x）=f（1－x）=－f（x－1）=－f（x+1）=.

∴f（x）==3x－2k－1.

（3）∵log

3

f（x）>x2－kx－2k，

∴x－2k－1>x2－kx－2k，x2－（k+1）x+1<0（

*

）

Δ=k2+2k－3.

①若k>1且k∈Z时

但是∴x∈.

②若k=1，则Δ=0，（

*

）无解.∴不存在满足条件的整数

k.

20.已知函数，若函数图象上任意一点P关于原点的对称点Q的轨迹恰

好是函数的图象.

（1）写出函数的解析式；

（2）当时，总有成立，求实数的取值范围.

20．解：（1）设，则.

∵在函数的图象上.

∴，即，

这就是说，

（2）当，

由题意知，只要

∵在上是增函数.

∴，故即为所求.

直击高考

1．（2006年安徽卷）函数对于任意实数满足条件，若则

__________。

解：由得，所以，则

。

2．设函数是R上以5为周期的可导偶函数，则曲线在处的切线的斜率为（B）

A．B．0C．D．5

3.(07年安徽)定义在R上的函数既是奇函数，又是周期函数，是它的一个正周期.若将方程

在闭区间上的根的个数记为，则可能为（D）

A．0B．1C．3D．5