sin90°

三角函数公式汇总

正弦函数：sinα＝a/c余弦函数：cosα＝b/c

正切函数：tanα＝a/b余切函数：cotα＝b/a

正割函数：cα＝c/b余割函数：cscα＝c/a

正弦函数：sinα＝y/r余弦函数：cosα＝x/r

正切函数：tanα＝y/x余切函数：cotα＝x/y

正割函数：cα＝r/x余割函数：cscα＝r/y

sin0°=0sin90°=1sin180°=0

cos0°=1cos90°=0cos180°=－1

tan0°=0tan90°=不存在tan180°=0

cot0°=不存在cot90°=0cot180°=不存在

转化关系

1、倒数关系

sinα×cscα＝1

cosα×cα＝1

tanα×cotα＝1

2、平方关系

1＋tan2α＝c2α

1＋cot2α＝csc2α

sin2α＋cos2α＝1

和角、倍角、半角公式

1、和角公式

sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ

cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ

tan(α＋β)＝(tanα＋tanβ)/(1－tanαtanβ)

cot(α＋β)＝(cotαcotβ－1)/(cotα＋cotβ)

2、倍角公式

sin2α＝2sinαcosαsin3α＝3sinα－4sin3α

cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2αcos3α＝4cos3α－

3cosα

tan2α＝(2tanα)/1－tan2αtan(3α)=(3tanα-tan3α)/(1-3tan2α)

3、半角公式

sin(α/2)＝±[(1－cosα)/2]1/2

cos(α/2)＝±[(1＋cosα)/2]1/2

tan(α/2)＝±[(1－cosα)/(1＋cosα)]1/2

＝sinα/(1＋cosα)＝(1－cosα)/

sinα

4、万能公式

sinα＝[2tan(α/2)]/[1＋tan2(α/2)]

cosα＝[1－tan2(α/2)]/[1＋tan2(α/2)]

tanα＝[2tan(α/2)]/[1－tan2(α/2)]

积化和差、和差化积公式

1、积化和差公式

sinαsinβ＝－[cos(α＋β)－cos(α－β)]/2

sinαcosβ＝[sin(α＋β)＋sin(α－β)]/2

cosαsinβ＝[sin(α＋β)－sin(α－β)]/2

cosαcosβ＝[cos(α＋β)＋cos(α－β)]/2

2、和差化积公式

sinα＋sinβ＝2sin[(α＋β)/2]cos[(α－β)/2]

sinα－sinβ＝2cos[(α＋β)/2]sin[(α－β)/2]

cosα＋cosβ＝2cos[(α＋β)/2]cos[(α－β)/2]

cosα－cosβ＝－2sin[(α＋β)/2]sin[(α－β)/2]

3、辅助角公式

asinα+bcosα=(a2+b2)1/2sin(а+θ)

（其中：cosθ=a/[(a

2+b2)1/2]，sinθ=b/[(a2+b2)1/2]，tanθ=b/a）

目

录·诱导公式

·诱导公式记忆口诀

·同角三角函数基本关系

·同角三角函数关系六角形记忆法

·两角和差公式

·倍角公式

·半角公式

·万能公式

·万能公式推导

·三倍角公式

·三倍角公式推导

·三倍角公式联想记忆

·和差化积公式

·积化和差公式

·和差化积公式推导

诱导公式

★诱导公式★

常用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈Z)

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈Z)的个三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

例如：

sin(2π－α)＝sin(4·π/2－α)，k＝4为偶数，所以取sinα。

当α是锐角时，2π－α∈(270°，360°)，sin(2π－α)＜0，符号为“－”。

所以sin(2π－α)＝－sinα

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四

余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

其他三角函数知识：

同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/cα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝c^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上函数值的乘积。

（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值的平方和等于下

面顶点上的三角函数值的平方。

两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

sin2α＝2sinαcosα

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

万能公式

⒌万能公式

2tan(α/2)

sinα＝——————

1＋tan^2(α/2)

1－tan^2(α/2)

cosα＝——————

1＋tan^2(α/2)

2tan(α/2)

tanα＝——————

1－tan^2(α/2)

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

三倍角公式

⒍三倍角的正弦、余弦和正切公式

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。

和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋βα－β

sinα＋sinβ＝2sin—----·cos—---

22

α＋βα－β

sinα－sinβ＝2cos—----·sin—----

22

α＋βα－β

cosα＋cosβ＝2cos—-----·cos—-----

22

α＋βα－β

cosα－cosβ＝－2sin—-----·sin—-----

22

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式

sinα·cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]

cosα·sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]

cosα·cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]

sinα·sinβ＝－0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]

和差化积公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式.我们

把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y表示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)