2010广东高考

2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）

数学（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，

只有一项是符合题目要求的.

1.若集合{|21}Axx，{|02}Bxx，则集合AB

A.{|11}xxB.{|21}xxC.{|22}xxD.{|01}xx

2.若复数

1

1zi，

2

3zi，则

12

zz

A.42iB.2iC.22iD.3i

3.若函数()33xxfx与()33xxgx定义域均为R，则

A.()fx与()gx均为偶函数B.()fx为偶函数，()gx为奇函数

C.()fx与()gx均为奇函数D.()fx为奇函数，()gx为偶函数

4.已知数列{}

n

a为等比数列，

n

S是它的前n项和.若

231

2aaa，且

4

a与

7

2a的等差中

项为

5

4

，则

5

S

A.35B.33C.31D.29

5.“

1

4

m”是“一元二次方程20xxm有实数解”的

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

6.如图，ABC为正三角形，////AABBCC



，CC



⊥平面ABC且

3

3

2

AABB





CC



AB，则多面体ABCABC



的正视图(也称主视图)是

A.B.C.D.

7.已知随机变量X服从正态分布(3N，1)，且(24)0.6826PX，则(4)PX

A.0.1588B.0.1587C.0.1586D.0.1585

8.为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装了5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个

彩灯只能闪亮红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同，

记这5个彩灯有序地各闪亮一次为一个闪烁.在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪

亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒，如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时

间至少是

A.1205秒B.1200秒C.1195秒D.1190秒

二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分.把答案填在

题中横线上.

（一）必做题（9～13题）

9.函数()lg(2)fxx的定义域是___________.

10.若向量(1a



，1，)x，(1b



，2，1)，(1c



，1，1)，满足条件()(2)2cab





，

则x_______.

11.已知a、b、c分别是ABC的三个内角A、B、C所对的边．若1a，3b，

2ACB，则sinC___________.

12.已知圆心在x轴上，半径为2的圆O位于y轴左侧，且与直线0xy相切，则

圆O的方程是_________.

13.某城市缺水问题比较突出，为了指定节水管理办法，对全市居民某年的平均用水量进

行抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为

1

x，...，

n

x（单位：吨）.根据如图所

示的程序框图，若2n，且

1

x、

2

x分别为1、2，则输出结果S为___________.

（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）

14.（几何证明选讲选作题）如图，AB、CD是半径为a的圆O的两条弦，他们相交于

AB的中点P，

2

3

a

PD，30OAP，则CP_____________.

15.（坐标系与参数方程选作题）在极坐标系(，)（02）中，曲线2sin

与cos1的交点的极坐标为___________.

三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤.

16.（本小题满分14分）

已知函数()sin(3)(0fxAxA，xR，0)在

12

x



时取得最大值4.

⑴求()fx的最小正周期；

⑵求()fx的解析式；

⑶若

212

()

3125

f



，求sin.

17.（本小题满分12分）

某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上40件产品作为

样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为(490，495]，(495，500]，...，

(510，515]，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示.

⑴根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量.

⑵在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分

布列.

⑶从该流水线上任取5件产品，求恰有2件产品的重量超过505克的概率.

18.（本小题满分14分）

如图，



AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为



AC的中点，点B和点C为线段AD

的三等分点，平面AEC外一点F满足5FBFDa，6FEa.

⑴证明：EBFD；

⑵已知点Q、R分别为线段FE、FB上的点，使得

2

3

FQFE，

2

3

FRFB，求平

面BED与平面RQD所成二面角的正弦值.

19.(本小题满分12分）

某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐，已知一个单位的午餐含12个单位的盐水化合

物、6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合

物、6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少

含64个单位的碳水化合物、42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位

的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，

应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？

20.（本小题满分14分）

已知双曲线

2

21

2

x

y的左、右顶点分别为

1

A、

2

A，点

1

(Px，

1

)y，

1

(Qx，

1

)y是

双曲线上不同的两个动点.

⑴求直线

1

AP与

2

AQ交点的轨迹E的方程；

⑵若过点(0H，)(1)hh的两条直线

1

l和

2

l与轨迹E都只有一个交点，且

12

ll，求h

的值.

21.（本小题满分14分）

设

1

(Ax，

1

)y，

2

(Bx，

2

)y是平面直角坐标系xOy上的两点，先定义由点A到点B的

一种折线距离(dA，

2121

)Bxxyy.对于平面xOy上给定的不同的两点

1

(Ax，

1

)y，

2

(Bx，

2

)y.

⑴若点(Cx，)y是平面xOy上的点，试证明：(dA，)(CdC，)(BdA，)B；

⑵在平面xOy上是否存在点(Cx，)y，同时满足①(dA，)(CdC，)(BdA，)B

②(dA，)(CdC，)B.若存在，请求所给出所有符合条件的点；若不存在，请予以

证明.