南平学校

2023年中考数学模拟试卷

请考生注意：

1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答

案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。

2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1．二次函数y=﹣（x﹣1）2+5，当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+n的值为（）

A．B．2C．D．

2．下列“慢行通过，注意危险，禁止行人通行，禁止非机动车通行”四个交通标志图（黑白阴影图片）中为轴对称图形

的是（）

A．B．C．D．

3．从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，取出的数是3的倍数的概率是（）

A．

1

6

B．

1

3

C．

1

2

D．

2

3

4．若a与﹣3互为倒数，则a=（）

A．3B．﹣3C．D．-

5．九年级学生去距学校10km的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20min后，其余学生乘汽车出发，结

果他们同时到达.已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍，求骑车学生的速度.设骑车学生的速度为xkm/h，则所列方程

正确的是()

A．

10101

23xx



B．

1010

20

2xx



C．

10101

23xx



D．

1010

20

2xx



6．若55+55+55+55+55＝25n，则n的值为（）

A．10B．6C．5D．3

7．估计

26

的值在（）

A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间

8．已知点

Pm,n

，为是反比例函数

3

y=-

x

上一点，当

-3n<-1

时，m的取值范围是()

A．

1m<3

B．

-3m<-1

C．

1

D．

-3

9．如图所示，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，正方形DEFG边长也为2，且AC与DE在同一直

线上，△ABC从C点与D点重合开始，沿直线DE向右平移，直到点A与点E重合为止，设CD的长为x，△ABC

与正方形DEFG重合部分（图中阴影部分）的面积为y，则y与x之间的函数关系的图象大致是（）

A．B．

C．D．

10．在平面直角坐标系中，点A的坐标是（﹣1，0），点B的坐标是（3，0），在y轴的正半轴上取一点C，使A、B、

C三点确定一个圆，且使AB为圆的直径，则点C的坐标是（）

A．（0，

3

）B．（

3

，0）C．（0，2）D．（2，0）

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11．如图，菱形OABC的一边OA在x轴的负半轴上，O是坐标原点，tan∠AOC=

4

3

，反比例函数y=

k

x

的图象经过点

C，与AB交于点D，若△COD的面积为20，则k的值等于_____________.

12．如图，一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象相交于A、B两点，与x轴交与点C，若tan∠AOC=

1

3

，

则k的值为_____．

13．如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平

面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝15米，那么该

古城墙的高度CD是_____米．

14．如图，⊙O的半径为6，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD=∠BCD，则弧BD的长为________．

15．一个n边形的内角和为1080°，则n=________.

16．如图，角α的一边在x轴上，另一边为射线OP，点P（2，2

3

），则tanα=_____．

17．若一个圆锥的底面圆的周长是

5

cm，母线长是

6cm

，则该圆锥的侧面展开图的圆心角度数是_____．

三、解答题（共7小题，满分69分）

18．（10分）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：

232212（）

，善于思考的小明进行了以下探索：

设

2

ab2mn2

（其中

abmn、、、

均为整数），则有

22ab2m2n2mn2

．

∴

22am2nb2mn，

．这样小明就找到了一种把部分

ab2

的式子化为平方式的方法．

请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：

当

abmn、、、

均为正整数时，若

2

ab3mn3

，用含m、n的式子分别表示

ab、

，得

a

＝，

b

＝；

（2）利用所探索的结论，找一组正整数

abmn、、、

，填空：＋＝(＋

3

)2；

（3）若

2

433amn＋

，且

abmn、、、

均为正整数，求

a

的值．

19．（5分）如图，已知矩形ABCD中，连接AC，请利用尺规作图法在对角线AC上求作一点E使得△ABC∽△CDE．（保

留作图痕迹不写作法）

20．（8分）某商场同时购进甲、乙两种商品共200件，其进价和售价如表，

商品名称甲乙

进价（元/件）80100

售价（元/件）160240

设其中甲种商品购进x件，该商场售完这200件商品的总利润为y元．

（1）求y与x的函数关系式；

（2）该商品计划最多投入18000元用于购买这两种商品，则至少要购进多少件甲商品？若售完这些商品，则商场可获

得的最大利润是多少元？

（3）在（2）的基础上，实际进货时，生产厂家对甲种商品的出厂价下调a元（50＜a＜70）出售，且限定商场最多购

进120件，若商场保持同种商品的售价不变，请你根据以上信息及（2）中的条件，设计出使该商场获得最大利润的进

货方案．

21．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为D，AB，DC的延长

线交于点E．

（1）求证：AC平分∠DAB；

（2）若BE=3，CE=3

3

，求图中阴影部分的面积．

22．（10分）重百江津商场销售AB两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A商

品和5件B种商品所得利润为1100元．求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别为多少元？由于需求量

大A、B两种商品很快售完，重百商场决定再次购进A、B两种商品共34件，如果将这34件商品全部售完后所得利润

不低于4000元，那么重百商场至少购进多少件A种商品？

23．（12分）已知

2410xx

，求代数式

22(23)()()xxyxyy

的值．

24．（14分）为响应国家全民阅读的号召，某社区鼓励居民到社区阅览室借阅读书，并统计每年的借阅人数和图书借阅

总量（单位：本），该阅览室在2014年图书借阅总量是7500本，2016年图书借阅总量是10800本．

（1）求该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率；

（2）已知2016年该社区居民借阅图书人数有1350人，预计2017年达到1440人，如果2016年至2017年图书借阅总

量的增长率不低于2014年至2016年的年平均增长率，那么2017年的人均借阅量比2016年增长a%，求a的值至少是

多少？

参考答案

一、选择题（每小题只有一个正确答案，每小题3分，满分30分）

1、D

【解析】

由m≤x≤n和mn＜0知m＜0，n＞0，据此得最小值为1m为负数，最大值为1n为正数．将最大值为1n分两种情况，

①顶点纵坐标取到最大值，结合图象最小值只能由x=m时求出．②顶点纵坐标取不到最大值，结合图象最大值只能由

x=n求出，最小值只能由x=m求出．

【详解】

解：二次函数y=﹣（x﹣1）1+5的大致图象如下：

．

①当m≤0≤x≤n＜1时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，

解得：m=﹣1．

当x=n时y取最大值，即1n=﹣（n﹣1）1+5，解得：n=1或n=﹣1（均不合题意，舍去）；

②当m≤0≤x≤1≤n时，当x=m时y取最小值，即1m=﹣（m﹣1）1+5，

解得：m=﹣1．

当x=1时y取最大值，即1n=﹣（1﹣1）1+5，解得：n=

5

2

，

或x=n时y取最小值，x=1时y取最大值，

1m=-（n-1）1+5，n=

5

2

，

∴m=

11

8

，

∵m＜0，

∴此种情形不合题意，

所以m+n=﹣1+

5

2

=

1

2

．

2、B

【解析】

根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得出答案．

【详解】

A．不是轴对称图形，故本选项错误；

B．是轴对称图形，故本选项正确；

C．不是轴对称图形，故本选项错误；

D．不是轴对称图形，故本选项错误．

故选B．

3、B

【解析】

考点：概率公式．

专题：计算题．

分析：根据概率的求法，找准两点：

①全部情况的总数；

②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．解答：解：从1、2、3、4、5、6这六个数中随机取出一个数，

共有6种情况，取出的数是3的倍数的可能有3和6两种，

故概率为2/6="1/"3．

故选B．

点评：此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那

么事件A的概率P（A）="m"/n．

4、D

【解析】

试题分析：根据乘积是1的两个数互为倒数，可得3a=1，

∴a=，

故选C.

考点：倒数．

5、C

【解析】

试题分析：设骑车学生的速度为xkm/h，则汽车的速度为2xkm/h，由题意得，

10101

23xx



．故选C．

考点：由实际问题抽象出分式方程．

6、D

【解析】

直接利用提取公因式法以及幂的乘方运算法则将原式变形进而得出答案．

【详解】

解：∵55+55+55+55+55=25n，

∴55×5=52n，

则56=52n，

解得：n=1．

故选D．

【点睛】

此题主要考查了幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．

7、D

【解析】

寻找小于26的最大平方数和大于26的最小平方数即可.

【详解】

解：小于26的最大平方数为25，大于26的最小平方数为36，故

252636＜＜

，即：

5266＜＜

，故选择D.

【点睛】

本题考查了二次根式的相关定义.

8、A

【解析】

直接把n的值代入求出m的取值范围．

【详解】

解：∵点P（m，n），为是反比例函数y=-

3

x

图象上一点，

∴当-1≤n＜-1时，

∴n=-1时，m=1，n=-1时，m=1，

则m的取值范围是：1≤m＜1．

故选A．

【点睛】

此题主要考查了反比例函数图象上点的坐标性质，正确把n的值代入是解题关键．

9、A

【解析】

此题可分为两段求解，即C从D点运动到E点和A从D点运动到E点，列出面积随动点变化的函数关系式即可．

【详解】

解：设CD的长为

xABC，

与正方形DEFG重合部分

(

图中阴影部分

)

的面积为

y

当C从D点运动到E点时，即

02x

时，

2

111

y222x2xx2x

222



．

当A从D点运动到E点时，即

2x4

时，

2

11

y2x22x2x4x8

22







，

y

与x之间的函数关系

2

2

1

yx2x0x2

2

1

yx4x8(2x4)

2



















由函数关系式可看出A中的函数图象与所求的分段函数对应．

故选A．

【点睛】

本题考查的动点变化过程中面积的变化关系，重点是列出函数关系式，但需注意自变量的取值范围．

10、A

【解析】

直接根据△AOC∽△COB得出OC2=OA•OB，即可求出OC的长，即可得出C点坐标．

【详解】

如图，连结AC，CB.

依△AOC∽△COB的结论可得：OC2=OAOB，

即OC2=1×3=3，

解得：OC=

3

或−

3

(负数舍去)，

故C点的坐标为(0,

3

).

故答案选：A.

【点睛】

本题考查了坐标与图形性质，解题的关键是熟练的掌握坐标与图形的性质.

二、填空题（共7小题，每小题3分，满分21分）

11、﹣24

【解析】

分析：

如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，由tan∠AOC=

4

3

可得OF=3x，由

此可得OC=5x，从而可得OA=5x，由已知条件易证S菱形ABCO=2S△COD=40=OA·CF=20x2，从而可得x=

2

，由

此可得点C的坐标为

(32?42)，

，这样由点C在反比例函数的图象上即可得到k=-24.

详解：

如下图，过点C作CF⊥AO于点F，过点D作DE∥OA交CO于点E，设CF=4x，

∵四边形ABCO是菱形，

∴AB∥CO，AO∥BC，

∵DE∥AO，

∴四边形AOED和四边形DECB都是平行四边形，

∴S△AOD=S△DOE，S△BCD=S△CDE，

∴S菱形ABCD=2S△DOE+2S△CDE=2S△COD=40，

∵tan∠AOC=

4

3

，CF=4x，

∴OF=3x，

∴在Rt△COF中，由勾股定理可得OC=5x，

∴OA==OC=5x，

∴S菱形ABCO=AO·CF=5x·4x=20x2=40，解得：x=

2

，

∴OF=

32

，CF=

42

，

∴点C的坐标为

(32?42)，

，

∵点C在反比例函数

k

y

x



的图象上，

∴k=

324224

.

故答案为：-24.

点睛：本题的解题要点有两点：（1）作出如图所示的辅助线，设CF=4x，结合已知条件把OF和OA用含x的式子表达

出来；（2）由四边形AOCB是菱形，点D在AB上，S△COD=20得到S菱形ABCO=2S△COD=40.

12、1

【解析】

【分析】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，根据题意设出点A的坐标，然后根据一次函数y=x﹣2的图象与反比

例函数y=

k

x

（k＞0）的图象相交于A、B两点，可以求得a的值，进而求得k的值即可.

【详解】如图，过点A作AD⊥x轴，垂足为D，

∵tan∠AOC=

AD

OD

=

1

3

，∴设点A的坐标为（1a，a），

∵一次函数y=x﹣2的图象与反比例函数y=

k

x

（k＞0）的图象相交于A、B两点，

∴a=1a﹣2，得a=1，

∴1=

3

k

，得k=1，

故答案为：1．

【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条

件，利用数形结合的思想解答．

13、10

【解析】

首先证明△ABP∽△CDP，可得

AB

BP

=

CD

PD

，再代入相应数据可得答案．

【详解】

如图，

由题意可得：∠APE=∠CPE，

∴∠APB=∠CPD，

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴∠ABP=∠CDP=90°，

∴△ABP∽△CDP，

∴

AB

BP

=

CD

PD

，

∵AB=2米，BP=3米，PD=15米，

∴

2

3

=

15

CD

，

解得：CD=10米.

故答案为10.

【点睛】

本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.

14、4π

【解析】

根据圆内接四边形对角互补可得∠BCD+∠A=180°，再根据同弧所对的圆周角与圆心角的关系以及∠BOD=∠BCD，可

求得∠A=60°，从而得∠BOD=120°，再利用弧长公式进行计算即可得.

【详解】

解:∵四边形ABCD内接于⊙O，

∴∠BCD+∠A=180°，

∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠BCD，

∴2∠A+∠A=180°，

解得：∠A=60°，

∴∠BOD=120°，

∴

BD

的长=

4

18

1206

0







，

故答案为4π.

【点睛】

本题考查了圆周角定理、弧长公式等，求得∠A的度数是解题的关键.

15、1

【解析】

直接根据内角和公式

2180n

计算即可求解.

【详解】

（n﹣2）•110°=1010°，解得n=1．

故答案为1．

【点睛】

主要考查了多边形的内角和公式.多边形内角和公式：

2180n

.

16、

3

【解析】

解：过P作PA⊥x轴于点A．∵P（2，

23

），∴OA=2，PA=

23

，∴tanα=

23

3

2

PA

OA



.故答案为

3

．

点睛：本题考查了解直角三角形，正切的定义，坐标与图形的性质，熟记三角函数的定义是解题的关键．

17、

150

【解析】

利用圆锥的底面周长和母线长求得圆锥的侧面积，然后再利用圆锥的面积的计算方法求得侧面展开扇形的圆心角的度

数即可

【详解】

∵圆锥的底面圆的周长是

45cm

，

∴圆锥的侧面扇形的弧长为

5

cm，

6

5

180

n







，

解得：

150n

故答案为

150

．

【点睛】

此题考查弧长的计算，解题关键在于求得圆锥的侧面积

三、解答题（共7小题，满分69分）

18、（1）22m3n

，

2mn

；（2）2，2，1，1（答案不唯一）；（3）

a

＝7或

a

＝1．

【解析】

(1)∵

23(3)abmn

，

∴

223323abmnmn

，

∴a＝m2＋3n2，b＝2mn．

故答案为m2＋3n2，2mn．

(2)设m＝1，n＝2，∴a＝m2＋3n2＝1，b＝2mn＝2．

故答案为1，2，1，2(答案不唯一)．

(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn．

∵2＝2mn，且m、n为正整数，

∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2，

∴a＝22＋3×12＝7，或a＝12＋3×22＝1．

19、详见解析

【解析】

利用尺规过D作DE⊥AC，，交AC于E，即可使得△ABC∽△CDE．

【详解】

解：过D作DE⊥AC，如图所示，△CDE即为所求：

【点睛】

本题主要考查了尺规作图，相似三角形的判定，解决问题的关键是掌握相似三角形的判定方法．

20、（1）y=﹣60x+28000；（2）若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；（3）商场应购进甲商品120件，

乙商品80件，获利最大

【解析】分析：（1）根据总利润=（甲的售价-甲的进价）×购进甲的数量+（乙的售价-乙的进价）×购进乙的数量代入

列关系式，并化简即可；（2）根据总成本≤18000列不等式即可求出x的取值，再根据函数的增减性确定其最值问题；

（3）把50＜a＜70分三种情况讨论：一次项x的系数大于0、等于0、小于0，根据函数的增减性得出结论．

详解：

（1）根据题意得：y=（160﹣80）x+（240﹣100）（200﹣x），

=﹣60x+28000，

则y与x的函数关系式为：y=﹣60x+28000；

（2）80x+100（200﹣x）≤18000，

解得：x≥100，

∴至少要购进100件甲商品，

y=﹣60x+28000，

∵﹣60＜0，

∴y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大值，

y大=﹣60×100+28000=22000，

∴若售完这些商品，则商场可获得的最大利润是22000元；

（3）y=（160﹣80+a）x+（240﹣100）（200﹣x）（100≤x≤120），

y=（a﹣60）x+28000，

①当50＜a＜60时，a﹣60＜0，y随x的增大而减小，

∴当x=100时，y有最大利润，

即商场应购进甲商品100件，乙商品100件，获利最大，

②当a=60时，a﹣60=0，y=28000，

即商场应购进甲商品的数量满足100≤x≤120的整数件时，获利最大，

③当60＜a＜70时，a﹣60＞0，y随x的增大而增大，

∴当x=120时，y有最大利润，

即商场应购进甲商品120件，乙商品80件，获利最大．

点睛：本题是一次函数和一元一次不等式的综合应用，属于销售利润问题，在此类题中，要明确售价、进价、利润的

关系式：单件利润=售价-进价，总利润=单个利润×数量；认真读题，弄清题中的每一个条件；对于最值问题，可利用

一次函数的增减性来解决：形如y=kx+b中，当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小．

21、（1）证明见解析；（2）

933

22





【解析】

（1）连接OC，如图，利用切线的性质得CO⊥CD，则AD∥CO，所以∠DAC=∠ACO，加上∠ACO=∠CAO，从而

得到∠DAC=∠CAO；

（2）设⊙O半径为r，利用勾股定理得到r2+27=（r+3）2，解得r=3，再利用锐角三角函数的定义计算出∠COE=60°，

然后根据扇形的面积公式，利用S阴影=S△COE﹣S扇形COB进行计算即可．

【详解】

解：（1）连接OC，如图，

∵CD与⊙O相切于点E，

∴CO⊥CD，

∵AD⊥CD，

∴AD∥CO，

∴∠DAC=∠ACO，

∵OA=OC，

∴∠ACO=∠CAO，

∴∠DAC=∠CAO，

即AC平分∠DAB；

（2）设⊙O半径为r，

在Rt△OEC中，∵OE2+EC2=OC2，

∴r2+27=（r+3）2，解得r=3，

∴OC=3，OE=6，

∴cos∠COE=

1

2

OC

OE



，

∴∠COE=60°，

∴S阴影=S△COE﹣S扇形COB=

1

2

•3•3

3

﹣

260?·3933

36022





．

【点睛】

本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出

垂直关系．简记作：见切点，连半径，见垂直．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．

22、（1）200元和100元（2）至少6件

【解析】

（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由售出1件A种商品和4件B种商品所

得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元建立两个方程，构成方程组求出其解就可以；

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．根据获得的利润不低于4000元，建立不等式求出其解即可．

【详解】

解：（1）设A种商品售出后所得利润为x元，B种商品售出后所得利润为y元．由题意，

得

4600

351100

xy

xy











，解得：

200

100

x

y











，

答：A种商品售出后所得利润为200元，B种商品售出后所得利润为100元．

（2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件．由题意，得

200a+100（34﹣a）≥4000，

解得：a≥6

答：威丽商场至少需购进6件A种商品．

23、12

【解析】

解：∵

2410xx

，∴

241xx

．

∴

22222222(23)()()41912xxyxyyxxxyyxxxx

．

将代数式应用完全平方公式和平方差公式展开后合并同类项，将

241xx

整体代入求值．

24、（1）20%；（2）12.1．

【解析】

试题分析：（1）经过两次增长，求年平均增长率的问题，应该明确原来的基数，增长后的结果．设这两年的年平均增

长率为x，则经过两次增长以后图书馆有书7100（1+x）2本，即可列方程求解；

（2）先求出2017年图书借阅总量的最小值，再求出2016年的人均借阅量，2017年的人均借阅量，进一步求得a的值

至少是多少．

试题解析：（1）设该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为x，根据题意得

7100（1+x）2=10800，即（1+x）2=1.44，解得：x1=0.2，x2=﹣2.2（舍去）．

答：该社区的图书借阅总量从2014年至2016年的年平均增长率为20%；

（2）10800（1+0.2）=12960（本）

10800÷1310=8（本）

12960÷1440=9（本）

（9﹣8）÷8×100%=12.1%．

故a的值至少是12.1．

考点：一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用；最值问题；增长率问题．