不等式及其解集

不等式复习一

一、双基回顾

1、不等式：用等号（＜、≤、＞、≥）连接起来的式子，叫做不等式。

〔1〕用不等式表示：

①x与1的差是负数：；

②a的1/2与b的3倍大于2；

③x、y的平方和是非负数。

2、不等式的解和解集

使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解。

一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。

注意：解集包括解，所有的解组成解集；解是一个数，解集是一个范围。

〔2〕判断下列说法是否正确：

①4是不等式x＋3＞6的解；②不等式x＋2＞1的解是x＞－1；③3是不等式x＋2＞5的一个解；

④不等式x＋1＜4的解集是x＜2.

3、一元一次不等式：含有一个未知数并且未知数的次数是1的不等式叫做一元一次不等式。

〔3〕下列不等式是一元一次不等式的是.

①3x+5=1；②2y-1≤5；③2/x+1＞3；④5+2＜8;⑤3+x2≥x.

4、不等式的性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变.即如果

a＞b，那么a±c＞b±c.

（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变.即如果a＞b，c＞0，那么ac

＞bc(或a/c＞b/c).

（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变.即如果a＞b，c＜0，那么ac

＜bc(或a/c＜b/c).

注意：①不等式的性质与等式的性质有相通之处，又有不同之点；②不等式的性质是解不等式的依

据。

〔4〕已知a＞b，填空：①a+3b+3,②2a2b,③-a/3－b/3，④a－b0.

5、解一元一次不等式

〔5〕解一元一次不等式:2x≥5x+6，并在数轴上表示解集。

二例题导引

例1判断正误：

①若a＞b,则ac2＞bc2；②若ac2＞bc2,则a＞b；③若2a+1＞2b+1,则a＞b；④若a＞b,则1－2

a＞1－2b.

例2解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来。

（1）3（1－x）＜2(x+9);(2)

112

1

32

xx

.

例3a取什么自然数时，关于x的方程2－3x=a解是非负数？

例4小明和小丽决定把省下来的零用钱存起来，这个月小明顾虑了168元，小丽顾虑了85元，

从下个月开始小明每月顾虑16元，而小丽每月存25元，问几个月后小丽的存款数能超过小明？

三、练习提高

夯实基础

1、已知x的1/2与5的差不小于3，用不等式表示为。

2、若不等式组的解集为1≤x，则图中表示正确的是（）

AB

CD

3、设A、B、C表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么“A”、“B”、

“C”这三种物体按质量从大到小的顺序排应为（）

（A）ABC（B）CAB（C）BAC（D）BCA

4、如果x＞y，下列各式中不正确的是[]

A、1/2＋x＞1/2＋yB、－1/2＋x＞－1/2＋y

C、1/2x＞1/2yD、－1/2x＞－1/2y

5、当x时，2-3x为非正数.

6、已知点M（－5＋m,-3）在第三象限，则m的取值范围是。

7、当x时，式子3x5的值大于5x+3的值。

8、阳阳从家到学校的路程为2400米，他早晨8点离开家，要在8点30分到8点40分之间到学

校，如果用x表示他的速度（单位：米/分），则x的取值范围为。

9、已知x=3-2a是不等式1/5（x-3）＜x-3/5的解，那么a的取值范围是。

10、解下列不等式，并在数轴上表示解集。

（1）4x-1＜-2x+3;(2)3(x+1)＞2

（3）1/2x≥-2/3x-2(4)1/2x-7＜1/6(9x-1)

11、已知关于

x

的方程xax34122的解是非正数，求

a

的取值范围.

能力提高

12、已知a是一个数，且x＞y，则下列不等式中，正确的是（）

Ａ、ax＞ayB、ax≤ayＣ、a2x≥a2yD、a2x≤a2y

13、不等式3（x-2）＜x-1的自然数解是

14、不等式ax＞a的解集为x＜1，则

a

的取值范围是（）

A、a＞0B、a≥0C、a＜0D、a≤0

15、如果三个连续自然数的和不大于９，那么这样自然数共有组___________。

16、解下列不等式，并分别把它们的解集在数轴上表示出来.

（1）3-2（x-1）＞5x；（2）3/4-8x≤3-11/2x

（3）4/5-（2x-3）/2＜0（4）

214

1

26

xx



16、k取什么值时，式子1/2(1-5k-1/3k2)+2/3(k2/4-k)的值,（1）小于0（2）不小于0

17、某学校把学生的笔试、实践能力两项成绩分别按60%，40%的比例计入学期总成绩，小明实践

能力这一项成绩是81分，若想学期总成绩不低于90分，则笔试的成绩至少是多少分？

探索创新

18、已知方程组

321

21

xym

xym











，m为何值时，x＞y

实际问题与一元一次不等式

一、导入新课

我们知道，在生产和生活中存在大量的等量关系，与此同时，我们也看到在生产和生活中存在着大

量的不等关系，解决这些问题，用不等式比较方便。

二、例题

例1[投影1]某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分.小明得分要

超过90分，他至少要答对多少道题

分析：“超过90分”是什么意思本题的不等关系是什么

例2[投影2]2002年北京空气质量良好（二级以上）的天数与全年天数之比达到55%，如果到2008

年这样的比值要超过70%，那么2008年空气质量良好的天数要比2002年至少增加多少？

三、课堂小结

用一元一次不等式解决实际问题与用一元一次方程解决实际问题一样，要将实际问题通过列一元一

次不等式转化为数学问题，然后通过解决数学问题来解决实际问题。

实际问题与一元一次不等式（二）

[教学目标]会从实际问题中抽象出不等式模型，进一步学会用一元一次不等式解决实际问题。

[重点难点]用一元一次不等式解决实际问题是重点；找不等关系是难点。

[教学过程]

一、导入新课

上节课我们讨论了用不等式解决实际问题，这节课我们继续讨论这个问题。

二、例题

例[投影1]甲、乙两个商场以同样的价格出售同样的商品，同时又各自推出不同的优惠措施．甲

商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费；乙商场则是：累计购买

50元商品后，再买的商品按原价的95％收费．顾客选择哪个商店购物能获得更多的优惠？

分析：由于甲商场优惠措施的起点为购物100元，乙商场优惠措施的起点为购物50元，起点数额

不同，因此必须分别考虑．你认为应分哪几种情况考虑？

分三种情况考虑：①累计购物不超过50元；②累计购物超过50元但不超过100元；③累计购物超

过100元。

（1）如果累计购物不超过50元，则在两店购物花费有区别吗为什么

没有区别。因为两家商店都没有优惠。

（2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在哪家商店购物花费小为什么

在乙商店购物花费小。因为乙商店有优惠，而甲商店没有优惠。

（3）如果累计购物超过100元，那么在哪家商店购物花费小？

因为两家商店都有优惠，所以要分三种情况考虑：

设累计购物x元(x＞100)，则在甲商店购物花费多少元在乙商店购物花费多少元

三、课堂练习

[投影2]某校两名教师拟带若干名学生去旅游，联系了两家标价相同的旅游公司．经洽谈，甲公司

的优惠条件是一名教师全额收费，其余师生按7.5折收费；乙公司的优惠条件是全体师生都按8折收

费．若设标价为a元，那么哪个公司更优惠？

四、课堂小结

1、列不等式解应用题与列方程解应用题的步骤相同，所不同的是前者是不等关系，列出的是不等

式，后者相等关系，列出的是方程。

2、列不等式解应用题的关键是找出不等关系.找不等关系要抓住像“大于”、“不小于”、“超过”、

“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语。

一元一次不等式组（一）

一、情景导入

看下面的问题：[投影1]

现有两根木条a和b，a长10cm，b长3cm.如果再找一根木条c，用这三根木条钉成一个三角形

木框，那么对木条c的长度有什么要求

根据“三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”可知：

c＞10-3且c＜10+3

这就是说，第三边c要满足两个不等关系。那么c的长度究竟在什么范围呢？今天我们就来解决这

个问题。

二、一元一次不等式组的概念和解集

把几个一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。记作











.310

,310

x

x

类比方程组的解，我们把几个不等式组的解集的公共部分，叫做不等式组的解集。

解不等式就是求它的解集。

我们可以利用数轴确定不等式组的解集。

（1）











2

4

x

x

（2）











2

4

x

x

（3）











2

4

x

x

（4）











2

4

x

x

上面的表示可以用口诀来概括：大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小不用找。

前面不等式组的解集是7＜x＜13。

注意：如果不等号中带有等号，空心圆就要变成实心圆。

三、解不等式组

例解下列不等式组：[投影2]

（1）











)2(148

)1(112

xx

xx

（2）

















)2(21

3

52

)1(1132

x

x

xx

2

4

2

4

2

4

2

4

五、课堂小结

1、一元一次不等式组的概念和解集。

2、不等式解集的表示。

3、解不等式组。

一元一次不等式组（二）

〔教学目标〕进一步熟练一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题。

〔重点难点〕用一元一次不等式组解决有关的实际问题是重点；正确分析实际问题中的不等关系是

难点。

〔教学过程〕

一、导入新课

前面我们用一元一次不等式解决了一些满足一个不等关系的实际问题，事实上，有很多问题满足两

个不等关系，这就要用到一元一次不等式组。下面我们就利用一元一次不等式组解决有关的实际问题。

二、例题

例1[投影1]3个小组计划在10天内生产500件产品（每天产量相同），按原先的生产速度，不

能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务。每个小组原先每天生产多

少件产品？

分析：“不能完成任务”的数量含义是什么？“提前完成任务”的数量含义是什么？

例2[投影2]将若干只鸡放入若干个笼,若每4个放一笼,则有1只鸡无笼可放;若每5个放一笼,

则有1笼无鸡可放,那么至少有多少只鸡,多少个笼?

四、课堂小结

1、列一元一次不等式组解应用题与列一元一次不等式解应用题的思想和步骤是一样的，不同的是

前者列出的是两个不等式，而后者列出的是一个不等式。

2、列不等式（组）解应用题的关键是找出不等关系.有时题目中含有“大于”、“不小于”、“超过”、

“不足”、“至少”等等表示不等关系的词语，有时却没有这样的词语。这时，我们就要抓住具有不等意

义的句子加以分析，上面的两例就是这样，要细心地体会。

例1若不等式组21

1

3

xa

x

















无解,求a的取值范围.

例2已知方程组

2,

4563.

xym

xym











的解是正数，求m的取值范围。

例3某校准备组织290名学生进行野外考察活动，行李共有100件，学校计划租用甲、乙两种型

号的汽车共8辆，经了解甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20

件行李。

（1）设租用甲种汽车x辆，请你帮助学校设计所有可能的租车方案；

（2）如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元，1800元，请你选择最省钱的一种方案。

一元一次不等式组（三）

一、双基回顾

1、一元一次不等式组

几个一元一次不等式组成了一个一元一次不等式组。

2、一元一次不等式组的解

一元一次不等式组的各个不等式解集的公共部分叫做一元一次不等式组的解.

〔1〕若a＞b,请你指出下列不等式组的解集：

①

,

;

xa

xb







②

,

;

xa

xb







③

,

;

xa

xb







④

,

.

xa

xb







3、解一元一次不等式组

（1）分别求每个不等式的解集；（2）利用数轴找出它们的公共部分，即一元一次不等式组的解集。

〔2〕解不等式组：

513(1)

13

17

22

xx

xx















4、一元一次不等式（组）的应用

列一元一次不等式（组）解应用题的步骤与列一元一次方程解应用题类似。

〔3〕若点M(2m+1,3-m)在第三象限，则m的取值范围是。

二、例题导引

例1若不等式组

,

.

xab

xab











的解集是－1＜x＜3，求ax+b≤0解。

例2小颖家每月水费都不少于15元，自来水公司的收费标准如下：若每户每月用水不超过5立方

米，则每立方米收费1.8元；若每户每月用水超过5立方米，则超出部分每立方米收费2元，小颖家

每月用水量至少是多少立方米？

例3某商场为了促销,开展对顾客赠送礼品活动,准备了若干件礼品送给顾客,•在一次活动中,如果

每人送5件,则还余8件,如果每人送7件,则最后一人还不足3件.求该次活动中获赠顾客人数及所准备

的礼品数.

三、练习升华

夯实基础

1、在数轴上表示不等式组

x+2>0

x1









的解，其中正确的是（）

2、不等式

521,

10.

x

x











的解集是.

3、不等式组











312

01

x

x

的整数解是（）

Ａ、－１，０Ｂ、－１，１Ｃ、０，１Ｄ、无解

4、班级组织有奖知识竞赛，小明用100元班费购买笔记本和钢笔共30件，已知笔记本每本2元，

钢笔每支5元，那么小明最多能买钢笔支。

5、解下列不等式：

（1）

215,

432.

xx

xx











（2）

3(2)2,

620.

xx

x











6、某校在一次参观活动中，把学生编为8个组，若每组比预定人数多1人，则参观人数超过200

人，若每组比预定人数少2人，则参观人数不大于184人，试求预定每组学生的人数．

能力提高

7、已知一个等腰三角形的底边长5，腰长为x，则x的取值范围是.

8、不等式组











xx

x

284

133

的最小整数解是（）

A、0B、1C、2D、－1

9、解下列不等式：

（1）

















x

x

xx

1

4

21

4)23(



（2）





















)12(231

3

41

2

2

xx

xx

x



10、已知不等式组

21,

23.

xa

xb











的解集是－1＜x＜1，求(a+1)(b-1)的值。

11、一个长方形的周长为60㎝，长不小于宽，那么它的长的取值范围是什么？

12、某商店出售茶壶和茶杯，茶壶每只20元，茶杯每只5元，该商店有两种优惠办法：（1）买一

只茶壶送一只茶杯；（2）按总价的92%付款.现有一顾客需购买4只茶壶,茶杯若干只(不少于4只).请

问:顾客买同样多的茶杯时,用哪一种优惠办法购买省钱?

13、乘某城市的一种出租汽车起价是10元(即行驶路程在5km以内都需付10元车费),达成或超过

5km后,每增加1km,加价元(不足1km部分按1km计).现在某人乘这种出租汽车从甲地到乙地,支付车费

元,从甲地到乙地的路程大约是多少?

探究升华

14、若方程组

32,

23.

xyk

yx











的解满足x＜1且y＞1，求k的整数解。