三角函数习题

三角函数练习题含答案

一、填空题

1

．已知四面体ABCD的所有棱长均为

2

，M、N分别为棱

AD

、BC的中点，

F

为棱

AB

上异于A、B的动点．则下列结论中正确的结论的序号为

__________

．

①

线段MN的长度为

1

；

②

若点G为线段MN上的动点，则无论点

F

与G如何运动，直线FG与直线CD都是异面

直线；

③MFN的余弦值的取值范围是

5

0,

5











；

④FMN周长的最小值为

21

．

2

．设函数()fx是定义在实数集

R

上的偶函数，且2fxfx

，当

[0,1]x

时，

3()fxx

，则函数

()|cos|()gxxfx

在

15

,

22









上所有零点之和为

___________.

3

．设

1

F

,

2

F

分别是椭圆

22

22

:1(0)

xy

Eab

ab



的左､右焦点，过点

1

F

的直线交椭圆

E

于

,AB

两点，

11

||3||AFBF

，若

2

3

cos

5

AFB

，则椭圆

E

的离心率为

___________.

4

．已知函数





243

,0,3,

92

sin,3,15

6

xx

yfx

xx





























若存在实数

a

、

b

、

c

、

d

满足

fafbfcfd

（其中abcd），则abcd

的取值范围是

______.

5

．已知函数

()sincosfxxx

，

()sincosgxxx

：

①

函数()fx的图象关于点

(,0)

4



对

称；

②

函数

|()|gx

的最小正周期是

2



；

③

把函数

f(2x)

图象上所有点向右平移

8



个单位长

度得到的函数图象的对称轴与函数

y=

()gx

图象的对称轴完全相同；

④

函数

1()()yfxgx

在

R

上的最大值为

2.

则以上结论正确的序号为

_______________

6

．已知正四棱柱1111

ABCDABCD

中，

2AB

，

1

3AA

.

若M是侧面

11

BCCB

内的动点，

且AMMC，则

1

AM

的最小值为

__________.

7

．如图，在边长为

2

的正方形

ABCD

中，

M

，

N

分别为边

BC

，

CD

上的动点，以

MN

为边

作等边

PMN

，使得点

A

，

P

位于直线

MN

的两侧，则

PNPB

的最小值为

______

．

8

．已知

P

是直线

34130xy

上的动点，

PA

，

PB

是圆22111xy

的切线，

A

，

B

是切点，

C

是圆心，那么四边形

PACB

面积的最小值是

________

．

9

．在平面直角坐标系

xOy

中，已知直线

2yx

与

x

轴，

y

轴分别交于M，

N

两点，点

P在圆22()2xay

上运动

.

若

MPN

恒为锐角，则实数

a

的取值范围是

________.

10．△ABC内接于半径为

2

的圆，三个内角A，B，

C

的平分线延长后分别交此圆于

1

A

，

1

B

，

1

C

.

则111

coscoscos

222

sinsinsin

ABC

AABBCC

ABC





的值为

_____________.

二、单选题

11

．《九章算术》卷五

“

商功

”

：今有刍甍，下广

3

丈，袤

4

丈；上袤

2

丈，无广；高

1

丈

.

其描述的是下图的一个五面体，底面

ABCD

是矩形，

4AB

，

3BC

，

2EF

，

//EF

底

面

ABCD

且EF到底面

ABCD

的距离为

1.

若

DEAEBFCF

，则该刍甍中点

F

到平面

EBC的距离为（）

A

．

1

5

B

．

3

5

C

．

10

5

D

．

25

5

12

．已知函数2

()logfxx

，函数

()gx

满足以下三点条件：

①

定义域为R；

②

对任意

xR，有

()2()gxgx

；

③

当

[0,]x

时，

()singxx

．则函数

()()yfxgx

在区间

[0,4]

上的零点个数为（）

A

．5B

．6C

．7D

．8

13

．已知函数

()2sin()0,0

2

fxx













，且有02f

，若函数

1gxfx

的图象在0,2

内有5个不同的零点，则



的取值范围为（）

A

．

5571

,

2424









B

．

5571

,

2424







C

．

4755

,

2424







D

．

4755

,

2424









14

．在ABC中，,EF分别是

,ACAB

的中点，且32ABAC，若

BE

t

CF



恒成立，则

t

的最

小值为（）

A

．

3

4

B

．

7

8

C

．

1

D

．

5

4

15

．已知

,

42













，

,

32













，2sin3cos2cossin，则

tan()

（）

A

．

3

B

．

1C

．

23

D

．

32

16

．已知三棱锥ABCD中，4ABBCBDCDAD，二面角ABDC的余弦值

为

1

3

，点

E

在棱

AB

上，且3BEAE，过

E

作三棱锥ABCD外接球的截面，则所作截面

面积的最小值为（）

A

．

10

3



B

．

3C

．

3



D

．

3

4

17

．已知函数sinos0(cfxxaxa

且0），周期2T，()3

3

f



，且fx

在

6

x





处取得最大值，则



的最小值为（）

A

．

11B

．

12C

．

13D

．

14

18

．函数

()sin()0,||

2

fxx













，已知

,0

6











为()fx图象的一个对称中心，直

线

13

12

x





为

()fx

图象的一条对称轴，且

()fx

在

1319

,

1212









上单调递减．记满足条件的所

有



的值的和为S，则S的值为（）

A

．

12

5

B

．

8

5

C

．

16

5

D

．

18

5

19

．已知1

F

，

2

F

分别是双曲线

22

22

1(0,0)

xy

ab

ab

的左、右焦点，过点

1

F

且垂直于

x

轴的

直线与双曲线交于

A

，

B

两点，若

2

ABF

是钝角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是

（）

A

．

(21,)B

．(12,)C

．(1,12)D

．(31,)

20

．已知函数2()sinfxxx

各项均不相等的数列

{}

n

x

满足

||(1,2,3,,)

2i

xin





.

令

*

1212

()([()()()())]

nn

FnxxxfxfxfxnN

.

给出下列三个命题：（

1

）存在

不少于

3

项的数列

{},

n

x

使得

()0Fn

；（

2

）若数列

{}

n

x

的通项公式为

*

1

()()

2

n

n

xnN

，则

(2)0Fk

对

kN

恒成立；（

3

）若数列

{}

n

x

是等差数列，则

()0Fn

对nN恒成立，其中真命题的序号是（）

A

．（

1

）（

2

）

B

．（

1

）（

3

）

C

．（

2

）（

3

）

D

．（

1

）（

2

）（

3

）

三、解答题

21

．已知函数

()cosfxx.

（

1

）若

,

为锐角，

5

()

5

f

，

4

tan

3



，求cos2及

tan()

的值；

（

2

）函数

()(2)3gxfx

，若对任意

x

都有2()(2)()2gxagxa

恒成立，求实数

a

的

最大值；

（

3

）已知

3

()()()=

2

fff

，

,(0,)

，求



及



的值

.

22

．如图，甲、乙两个企业的用电负荷量

y

关于投产持续时间

t

（单位：小时）的关系

()yft

均近似地满足函数

()sin()(0,0,0)ftAtbA

.

（

1

）根据图象，求函数

()ft

的解析式；

（

2

）为使任意时刻两企业用电负荷量之和不超过

9

，现采用错峰用电的方式，让企业乙比

企业甲推迟(0)mm小时投产，求

m

的最小值

.

23

．已知向量2cos,1ax

，3sincos,1bxx

，函数fxab

.

（

1

）若

0

6

5

fx

，

0

,

42

x











，求

0

cos2x的值；

（

2

）若函数yfx

在区间

2

,

33









上是单调递增函数，求正数



的取值范围

.

24

．已知函数

1

()

1

x

fx

x







.

（

1

）证明函数()fx在

(1,)

上为减函数；

（

2

）求函数

ln(tan)yfx

的定义域，并求其奇偶性；

（

3

）若存在

(,)

42



，使得不等式

(tan)tan0fxax

能成立，试求实数

a

的取值范围

.

25

．已知向量

9

(sin,1),(sin,cos)

8

axbxx

，设函数

(),0,

2

fxabx











．

（Ⅰ）求fx

的值域

（Ⅱ）设函数fx

的图像向左平移

2



个单位长度后得到函数

()hx

的图像，若不等式

()sin20fxhxxm

有解，求实数

m

的取值范围．

26

．已知1a，函数

π

sin

4

fxx









，sincos12gxxxafx

.

（

1

）若fx

在,bb

上单调递增，求正数b的最大值；

（

2

）若函数gx

在

3π

0,

4







内恰有一个零点，求

a

的取值范围

.

27

．已知函数22()sin22sin261

44

fxxtxtt











，

,

242

x

















，最小值为

gt

.

（

1

）求当1t时，求

8

f









的值；

（

2

）求gt

的表达式；

（

3

）当

1

1

2

t

时，要使关于

t

的方程2()9gtkt

有一个实数根，求实数

k

的取值范围

.

28

．已知等差数列

{}

n

a

的公差

(0,]d

，数列

{}

n

b

满足sin()

nn

ba，集合

*{|,}

n

SxxbnN

.

（

1

）若

1

0a

，

2

3

d



，求集合S；

（

2

）若

12

a



，求d使得集合S恰有两个元素；

（

3

）若集合S恰有三个元素，

nTn

bb



，

T

是不超过

5

的正整数，求

T

的所有可能值，并写

出与之相应的一个等差数列

{}

n

a

的通项公式及集合S.

29

．已知函数2cos3sincos1fxxxx

．

（

1

）求函数fx

在区间

0,

2









上的最小值；

（

2

）若

8

5

fx

，

2

,

3

x













，求

cos2x

的值；

（

3

）若函数0yfx

在区间

,

62









上是单调递增函数，求正数



的取值范围．

30

．已知在ABC中，

,,abc

分别为角

A,B,C

的对应边，点

D

为

BC

边的中点，

ABC

的面

积为

2

3sin

AD

B

.

(1)

求sinsinBADBDA的值；

(2)

若6,22BCABAD，求b．

【参考答案】

一、填空题

1

．

①④

2

．7

3

．

2

2

4

．135,216

5

．

②③④

6

．5

7

．

1

4



8

．15

9

．

71a

或4a

10

．4

二、单选题

11

．

C

12

．

A

13

．

A

14

．

B

15

．

D

16

．

B

17

．

C

18

．

A

19

．

B

20

．

D

三、解答题

21

．（

1

）

72

cos2,tan()

2511



；（

2

）

26

5



；（

3

）

3





【解析】

【分析】

（

1

）根据同角三角函数的关系和二倍角的余弦公式可求得

cos2的值，利用二倍角的正切

公式、同角三角函数的基本关系以及两角差的正切公式可求解

tan()

的值；

（

2

）由余弦函数的有界性求得

()gx

的值域，再将不等式分离参数，并令

()1tgx

，可得

1

at

t



对

[5,3]t

恒成立

.

易知函数

1

yt

t



在

[5,3]t

单调递增，求出其最小值，则

可得

26

5

a

，从而求得

a

的最大值；

（

3

）利用和差化积公式（需证明）以及二倍角公式，将该式化简，配凑成

22(2coscos)sin0

222





，再结合

,(0,)

，即可求出



及



的值

.

【详解】

解：（

1

）

4

tan

3



，且



为锐角，

4

sin

5



，

3

cos

5



，

2

2tan24

tan2

1tan7











则22

7

cos2cossin

25



，

又

5

()cos()

5

f

，

,

为锐角，

25

sin()

5



，

tan()2

，

tan()tan[()2]

24

2()

tan()tan22

7

24

1tan()tan211

1(2)()

7















；

（

2

）

()(2)3cos23[4,2]gxfxx

，

2()(2)()2gxagxa

对任意

x

恒成立，

即2()2()2(()1)gxgxgxa

对任意

x

恒成立，

令

()1[5,3]tgx

，

211t

at

tt



对

[5,3]t

恒成立，

又函数

1

yt

t



在

[5,3]t

单调递增，



当5t时，

min

126

()

5

t

t



，

26

5

a

，则

a

的最大值为

26

5



；

（

3

）

3

()()()

2

fff

，

即

3

coscoscos()

2



，

coscos()

22









coscossinsin

2222





，

coscos()

22









coscos+sinsin

2222





，

coscos2coscos

22









，

又2cos()2cos1

2









，

2

3

2coscos2cos1

2222





，

则24cos4coscos10

222





，

22(2coscos)1cos0

222





，

即22(2coscos)sin0

222





，

2coscos0

22

sin0

2





























，

又0，

0

，

3





.

【点睛】

本题考查了同角三角函数间的关系，两角和与差的三角函数公式，二倍角余弦和正切公

式，不等式恒成立问题，考查了运算能力和转化能力，属于综合性较强的题

.

22

．（

1

）

()sin4

62

ftt











；（

2

）

4

【解析】

【分析】

（

1

）由

2

12T





，得



，由

5

3

Ab

bA











，得

A

，

b

，代入

(0,5)

，求得



，从而即可得到本

题答案；

（

2

）由题，得

()()cos()cos89

66

ftmfttmt













恒成立，等价于

cos()cos1

66

tmt













恒成立，然后利用和差公式展开，结合辅助角公式，逐步转

化，即可得到本题答案

.

【详解】

（

1

）解：由图知

2

12T





，

6





又

5

3

Ab

bA











，可得

4

1

b

A











()sin4

6

ftt













，代入

(0,5)

，得

2

2

k





，

又

0

，

2





所求为

()sin4

62

ftt











（

2

）设乙投产持续时间为

t

小时，则甲的投产持续时间为

()tm

小时，由诱导公式，企业

乙用电负荷量随持续时间

t

变化的关系式为：

()sin4cos4

626

fttt











同理，企业甲用电负荷量变化关系式为：

()cos()4

6

ftmtm











两企业用电负荷量之和

()()cos()cos8

66

ftmfttmt













，0t

依题意，有

()()cos()cos89

66

ftmfttmt













恒成立

即

cos()cos1

66

tmt













恒成立

展开有

cos1cossinsin1

6666

mtmt

















恒成立

cos1cossinsincos

66666

mtmtAt



















其中，

2

2cos1sin

66

Amm

















，

cos1

6

cos

m

A















，

sin

6

sin

m

A





2

2cos1sin1

66

Amm















整理得：

1

cos

62

m











解得

24

22

363

kmk













即

124128km

取

0k

得：

48m

m

的最小值为

4.

【点睛】

本题主要考查根据三角函数的图象求出其解析式，以及三角函数的实际应用，主要考查学

生的分析问题和解决问题的能力，以及计算能力，难度较大

.

23

．（

1

）

343

10



；（

2

）

1

0

4



【解析】

【分析】

（

1

）利用数量积公式结合二倍角公式，辅助角公式化简函数解析式，由

0

6

5

fx

，结合

0

2

6

x





的范围以及平方关系得出

0

cos2

6

x











的值，由

00

22

66

xx













结合两角差的

余弦公式求解即可；

（

2

）由整体法结合正弦函数的单调性得出该函数的单调增区间，则区间

2

,

33









应该包含

在yfx

的一个增区间内，根据包含关系列出不等式组，求解即可得出正数



的取值

范围

.

【详解】

（

1

）

2cos3sincos13sin2cos22sin2

6

fxabxxxxxx











因为

0

6

5

fx

，所以

0

6

2sin2

65

x











，即

0

3

sin2

65

x











.

因为

0

,

42

x











，所以

0

27

2

366

x





所以2

00

4

cos21sin2

665

xx











.

所以

0000

31

cos2cos2cos2sin2

662626

xxxx















3413343

252510











.

（

2

）

2sin2

6

yfxx













.

令

222

262

kxk





，

kZ

得

36

kk

x







，

kZ

因为函数yfx

在区间

2

,

33









上是单调递增函数

所以存在

0

kZ

，使得00

2

,,

3336

kk



















所以有

0

0

33

2

63

k

k































，即0

0

31

614

k

k















因为0，所以

0

1

6

k

又因为

212

3322







，所以

3

0

2



，则

0

3

31

2

k

，所以

0

5

6

k

从而有

0

15

66

k

，所以

0

0k

，所以

1

0

4



.

【点睛】

本题主要考查了利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，两角差的余弦公式化简求值

以及根据正弦型函数的单调性求参数范围，属于较难题

.

24

．（

1

）证明见解析；（

2

）

,,

44

kkkZ













，奇函数；（

3

）,322





.

【解析】

（

1

）利用单调性定义证明即可

.

（

2

）根据条件可得

tan1

tan1

x

x











，其解集即为函数的定义域，可判断定义域关于原点对称，

再根据奇偶性定义可判断函数的奇偶性

.

（

3

）令

tantx

，考虑

1

0

1

t

at

t







在

1,上有解即可，参变分离后利用基本不等式可求

实数

a

的取值范围

.

【详解】

（

1

）

1

1x

，

2

1x

，

12

xx

，

又



12

22

12

1212

11

()()

1111

2xx

xx

fxfx

xxxx















，

因为

1

1x

，

2

1x

，

12

xx

，故

1

10x

，

2

10x

，

12

0xx

，

故

12

())0(fxfx

即

12

()()fxfx

，所以函数()fx在

(1,)

上为减函数

.

（

2

）

((lnt)n)ayfx

的

x

满足的不等关系有：

1tan

0

1tan

x

x







即1tantan10xx

，

故

tan1

tan1

x

x











，解得

,

44

kxkkZ





，

故函数的定义域为

,

44

kk













，

kZ

，该定义域关于原点对称

.

令((lnta)n)Fxfx

又tantan

tan()

tantan

11

lnlnln

11

xx

x

xx

Fxf







tanlnxfFx

，

故

ln(tan)yfx

为奇函数

.

（

3

）令

tantx

，因为

(,)

42

x





，故

1u.

故在

(,)

42



上不等式

(tan)tan0fxax

能成立即为

存在1t，使得

1

0

1

t

at

t







，所以

1

1

t

a

tt







在

1,上能成立，

令1st，则0s且2

11

2

132

3

ts

ttss

s

s









，

由基本不等式有

2

22s

s



，当且仅当2s时等号成立，

所以

11

322

1

322

t

tt









，当且仅当21t时等号成立，

故

1

1

t

y

tt







的最大值为

322

，所以

a

的取值范围为,322





.

【点睛】

本题考查与正切函数、对数函数有关的复合函数的性质的讨论，此类问题常用换元法把复

合函数性质的讨论归结为常见函数性质的讨论，本题较综合，为难题

.

25

．（Ⅰ）

11

,

88









（Ⅱ）

9

,

4









【解析】

（Ⅰ）根据向量的数量积的坐标运算可得函数fx

的解析式，化成二次函数型函数，求得

值域；

（Ⅱ）首先根据三角函数的变换规则求得hx

的解析式，要使()sin20fxhxxm

在

0,

2

x











有解，即不等式sin2mfxhxx

在

0,

2

x











有解，令

sin2yfxhxx

求出函数的最小值，即可得实数

m

的取值范围．

【详解】

解：（

1

）222

991

sincos1coscoscoscos

888

fxxxxxxx

211

cos

28

fxx









，

0,

2

x











0cos1x



11

88

fx

fx

的值域为

11

,

88









（

2

）函数2

1

coscos

8

fxxx

的图像向左平移

2



个单位长度后得到函数hx

的图

像，

22

11

coscossinsin

2288

hxxxxx











，

依题意，不等式sin2mfxhxx

在

0,

2

x











有解，

设

5

sin2cossinsin2

4

yfxhxxxxx

5

2sincoscossin,0,

42

yxxxxx











，

令cossin2cos,0,1,1

42

txxxxt













，

则2

2

11

,1,1

42

ytttt











函数sin2yfxhxx

的值域为

9

,0

4









.



min

9

4

my

故实数

m

的取值范围为

9

,

4









.

【点睛】

本题考查正弦函数的性质，二次函数的性质以及辅助角公式，属于中档题

.

26

．（

1

）

4



（

2

）

32

,

4











【解析】

【分析】

（

1

）求出



π

sin

4

fxx









的单调递增区间，令0k，得

3ππ

44

x

，可知区间

,bb

3ππ

,

44









，即可求出正数

b

的最大值；（

2

）令

π

sincos2sin

4

txxx









，

当

3π

0,

4

x









时，

0,2t







，可将问题转化为2

11

22

httat

在

0,2





的零点问题，

分类讨论即可求出答案

.

【详解】

解：（

1

）由

πππ

2π2π

242

kxk

，

kZ

得

3ππ

2π2π

44

kxk

，

kZ.

因为fx

在,bb

上单调递增，

令

0k

，得

3ππ

44

x

时fx

单调递增，

所以

π

4

3π

4

b

b



















解得

π

4

b

，可得正数b的最大值为

4



.

（

2

）sincos21gxxxafxsincossincos1xxaxx

，

设

π

sincos2sin

4

txxx









，当

3π

0,

4

x









时，

0,2t







.

它的图形如图所示

.

又2

2

11

sincossincos11

22

xxxxt







，则

sincossincos1xxaxx2

11

22

tat

，

0,2t







，令2

11

22

httat

，

则函数gx

在

3π

0,

4







内恰有一个零点，可知2

11

22

httat

在

0,2





内最多一个零

点

.

①

当

0

为ht

的零点时，

1

0

2



显然不成立；

②

当

2

为ht

的零点时，由

3

20

2

a

，得

32

4

a

，把

32

4

a

代入2

11

0

22

tat

中，

得2

1321

0

242

tt

，解得

1

2t

，

2

2

2

t

，不符合题意

.

③

当零点在区间0,2

时，若210a

，得

1a

，此时零点为

1

，即1t，由

2sin

4

tx











的图象可知不符合题意；

若210a

，即1a，设2

11

0

22

tat

的两根分别为

1

t

，

2

t

，由

12

1tt

，且抛物线的

对称轴为

1ta

，则两根同时为正，要使2

11

22

httat

在

0,2





内恰有一个零点，

则一个根在0,1

内，另一个根在2,

内，

所以







10

20

00

h

h

h





















解得

32

4

a

.

综上，

a

的取值范围为

32

,

4











.

【点睛】

本题考查了三角函数的单调性的应用，考查了函数的零点，考查了分类讨论的数学思想，

考查了学生的推理能力与计算求解能力，属于难题

.

27

．（

1

）

4

（

2

）

2

2

51

5

42

1

()611

2

82(1)

ttt

gttt

ttt





































（

3

）--22（，）（，）

【解析】

【分析】

（

1

）直接代入计算得解；（

2

）先求出

1

sin(2)[,1]

42

x





，再对

t

分三种情况讨论，结合

二次函数求出gt

的表达式；（

3

）令2()()9htgtkt

，即2()(6)t10htk

有一个实

数根，利用一次函数性质分析得解

.

【详解】

（

1

）当1t时，2()sin22sin24

44

fxxtx











，所以

4

8

f











.

（

2

）因为

[,]

242

x



，所以

3

2[,]

464

x





，所以

1

sin(2)[,1]

42

x





2()[sin(2)]61

4

fxxtt





（

[,]

242

x



）

当

1

2

t

时，则当

1

sin(2)

42

x





时，2

min

5

[()]5

4

fxtt

当

1

1

2

t

时，则当

sin(2)

4

xt





时，

min

[()]61fxt

当1t时，则当

sin(2)1

4

x





时，2

min

[()]82fxtt

故

2

2

51

5

42

1

()611

2

82(1)

ttt

gttt

ttt





































（

3

）当

1

1

2

t

时，

()61gtt

，令2()()9htgtkt

即2()(6)t10htk

欲使2()9gtkt

有一个实根，则只需

1

()0

2

(1)0

h

h















或

1

()0

2

(1)0

h

h















解得

-2k

或

2k.

所以

k

的范围：

--22（，）（，）.

【点睛】

本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意

在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题

.

28

．（

1

）

33

,,0

22













；（

2

）

2

3



或



；（

3

）3T或

4

，3T时，

2

3n

an





，

33

,,0

22

S













；

4T

时，

2n

an





，0,1,1S

【解析】

【分析】

（

1

）根据等差数列的通项公式写出

n

a

，进而求出

n

b

，再根据周期性求解；（

2

）由集合S

的元素个数，分析数列

{}

n

b

的周期，进而可求得答案；（

3

）分别令1T，

2

，

3

，

4

，

5

进

行验证，判断

T

的可能取值，并写出与之相应的一个等差数列

{}

n

a

的通项公式及集合S

【详解】

（

1

）等差数列

{}

n

a

的公差

(0d

，

]

，数列

{}

n

b

满足sin()

nn

ba，

集合*|,

n

SxxbnN．



当

1

2

0,

3

ad



，

所以集合

3

{

2

S，

0

，

3

}

2

．

（

2

）

12

a



，数列

{}

n

b

满足sin()

nn

ba，集合*|,

n

SxxbnN恰好有两个元素，如图：

根据三角函数线，

①

等差数列

{}

n

a

的终边落在

y

轴的正负半轴上时，集合S恰好有两个元素，此时d，

②

1

a

终边落在OA上，要使得集合S恰好有两个元素，可以使

2

a

，

3

a

的终边关于

y

轴对

称，如图OB，OC，此时

2

3

d



，

综上，

2

3

d或者d．

（

3

）

①

当

3T

时，

3nn

bb





，集合

1

{Sb，

2

b

，

3

}b，符合题意．

与之相应的一个等差数列

{}

n

a

的通项公式为

2

3n

an





，此时

33

,,0

22

S













.

②

当

4T

时，4nn

bb



，sin(4)sin

nn

ada，42

nn

adak，或者42

nn

adka，

等差数列

{}

n

a

的公差

(0d

，

]

，故42

nn

adak，

2

k

d



，又1k，

2

当1k时满足条件，此时

{0S

，

1

，

1}

．

与之相应的一个等差数列

{}

n

a

的通项公式为

2n

an





，此时0,1,1S

【点睛】

本题考查等差数列的通项公式、集合元素的性质以及三角函数的周期性，是一道综合题．

29

．（

I

）1；（

II

）

334

10



；（

III

）

1

0,

3









【解析】

【分析】

将fx

整理为

2sin2

6

x











；（

I

）利用

x

的范围求得

2

6

x





的范围，结合

sinx

的图象可

求得最值；（

II

）利用

8

5

fx

可求得sin2

6

x；结合角的范围和同角三角函数关系可

求得

cos2

6

x











；根据

cos2cos2

66

xx















，利用两角和差余弦公式可求得结果；

（

III

）利用

x

的范围求得

2

6

x





的范围，从而根据

sinx

单调递增区间构造出关于



的不等

式组，解不等式组再结合0即可得到结果

.

【详解】

223sincos2cos13sin2cos22sin2

6

fxxxxxxx











（

I

）

0,

2

x











7

2,

666

x











2sin21,2

6

x











fx

在区间

0,

2









上的最小值为：1

（

II

）由题意得：

8

2sin2

65

x











4

sin2

65

x











2

,

3

x













313

2,

626

x











3

cos2

65

x











cos2cos2cos2cossin2sin

666666

xxxx















3341334

525210





（

III

）

2sin2

6

fxx













,

62

x











时，

2,

6366

x













2

62

2

362

k

k





























，

kZ

，解得：

1

2

3

62

k

k



















，

kZ

0

，可知当0k时满足题意，即

1

0

3



的取值范围为：

1

0,

3









【点睛】

本题考查正弦型函数的值域求解、单调性应用、三角恒等变换公式应用、同角三角函数关

系等问题

.

关键是能够利用二倍角公式和辅助角公式将函数化为sinAx

的形式，从而

通过整体对应的方式来研究函数的值域和性质

.

30

．（

1

）

1

3

；（

2

）

33

.

【解析】

【分析】

(1)

先由ABC的面积为

2

3sin

AD

B

且

D

为

BC

的中点，得到

ABD

的面积；再由三角形的面积公

式和正弦定理即可求出结果；

(2)

根据

(1)

的结果和6BCAB，可求出sinBDA和sinBAD；再由余弦定理，即可求出结

果

.

【详解】

(1)

由ABC的面积为

2

3sin

AD

B

且

D

为

BC

的中点可知

:

ABD

的面积为

2

6sin

AD

B

,

由三角形的面积公式可知

:

21

sin

26sin

AD

ABBDB

B



,

由正弦定理可得

:3sinsin1BADBDA,

所以

1

sinsin

3

BADBDA

,

(2)6BCAB,

又因为

D

为中点，所以BC2BD6AB,

即BD3AB,

在

ABD

中由正弦定理可得

sinsin

BDAB

BADBDA





,

所以sin3sinBADBDA

由（

1

）可知

1

sinsin

3

BADBDA

所以

1

sin,sin1

3

BDABAD

,

0,BAD

,

2

BAD





在直角

ABD

中

1

22,sin

3

ADBDA

,

所以

1,3ABBD

.

BC2BD,BC6

在ABC中用余弦定理，可得222

1

2cos13621633,33

3

bacacBb

.

【点睛】

本题主要考查解三角形，熟记正弦定理和余弦定理以及面积公式，即可求解，属于常考题

型

.