数列求和方法

....

1/5

数列求和常用的五种方法

一、利用常用求和公式求和

利用以下常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.

1、等差数列求和公式：d

nn

na

aan

Sn

n2

)1(

2

)(

1

1









2、等比数列求和公式：



























)1(

11

)1(

)1(

1

1

1

q

q

qaa

q

qa

qna

S

n

n

n

3、)1(

2

1

1





nnkS

n

k

n

4、)12)(1(

6

1

1

2



nnnkS

n

k

n

5、2

1

3)]1(

2

1

[



nnkS

n

k

n

例1．已知

3log

1

log

2

3



x，求nxxxx32的前n项和.

解：由

2

1

2loglog

3log

1

log

33

2

3





xxx，由等比数列求和公式得

n

n

xxxxS32=

x

xxn





1

)1(

＝

2

1

1

)

2

1

1(

2

1





n＝1－

n2

1

二、错位相减法求和

这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种

方法主要用于求数列{an·bn}的前n项和，其中{an}、{bn}分别是

等差数列和等比数列.

例2．求和：132)12(7531n

n

xnxxxS……………………①

解：由题可知，{1)12(nxn}的通项是等差数列{2n－1}的通项与等比

数列{1nx}的通项之积

....

2/5

当时1x，





2

2

121

127531n

nn

nS

n







当时1x

设n

n

xnxxxxxS)12(7531432……………②

（设制错位）

①－②得nn

n

xnxxxxxSx)12(222221)1(1432

（错位相减）

再利用等比数列的求和公式得：

n

n

n

xn

x

x

xSx)12(

1

1

21)1(

1











∴

2

1

)1(

)1()12()12(

x

xxnxn

S

nn

n







例3.已知1,0aa，数列

n

a是首项为a，公比也为a的等比数列，

令

)(lgNnaab

nnn

，求数列

n

b的前n项和

n

S。

解析：

anaaaaaS

anaaaaS

aanbaa

n

n

n

n

n

n

n

n

lg)32(

lg)32(

lg,

1432

32













①-②得：anaaaaSann

n

lg)()1(12

n

n

anan

a

aa

S)1(1

)1(

lg

2





。

点评：设数列

n

a的等比数列，数列

n

b是等差数列，则数列



nn

ba

的前

n

项和

n

S求解，均可用错位相减法。

....

3/5

三、反序相加法求和

这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数

列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个)(

1n

aa.

例4．函数)(xf对任意Rx，都有

2

1

)1()(xfxf。（1）求)

2

1

(f和

)

1

()

1

(

n

n

f

n

f





的值；（2）数列

n

a满足：)1()

1

()

2

()

1

()0(f

n

n

f

n

f

n

ffa

n





，数

列

n

a是

等差数列吗？请给与证明。（3）

14

4





n

na

b，

n

S

n

16

32，

22

2

2

1nn

bbbT试比较

n

T与

n

S的大小。

解：（1）令

2

1

x,可得

4

1

)

2

1

(f，

2

1

)

1

1()

1

()

1

()

1

(





n

f

n

f

n

n

f

n

f

（2）)1()

1

()

2

()

1

()0(f

n

n

f

n

f

n

ffa

n







∴)0()

1

()

2

()

2

()

1

()1(f

n

f

n

f

n

n

f

n

n

ffa

n











∴)1(

2

1

)0()1()

1

()

1

()1()0(2



nff

n

n

f

n

fffa

n



∴

4

1



n

a

n

（3）

n

b

n

4

，)

)1(

1

32

1

21

1

1(16)

1

3

1

2

1

1(16

222nn

n

T

n











n

S

n



16

32

....

4/5

四、分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列

适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再

将其合并即可.

例5．求数列的前n项和：23

1

,,7

1

,4

1

,11

12





n

aa

an

，…

解：设)23

1

()7

1

()4

1

()11(

12





n

aa

a

S

n

n

将其每一项拆开再重新组合得

)23741()

111

1(

12





n

aa

a

S

n

n

（分组）

当a＝1时，

2

)13(nn

nS

n



＝

2

)13(nn

（分组

求和）

当1a时，

2

)13(

1

1

1

1

nn

a

a

S

n

n









＝

2

)13(

1

1nn

a

aan







例6．求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n项和.

解：设kkkkkka

k

2332)12)(1(

∴





n

k

n

kkkS

1

)12)(1(＝)32(23

1

kkk

n

k





将其每一项拆开再重新组合得

Sn＝kkk

n

k

n

k

n

k







1

2

1

3

1

32（分组）

＝)21()21(3)21(2222333nnn

＝

2

)1(

2

)12)(1(

2

)1(22







nnnnnnn

＝

2

)2()1(2nnn

五、裂项法求和

....

5/5

这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质

是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，

最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：

（1）)()1(nfnfa

n

（2）





nn

nn

tan)1tan(

)1cos(cos

1sin





（3）

1

11

)1(

1









nnnn

a

n

（4）)

12

1

12

1

(

2

1

1

)12)(12(

)2(2













nnnn

n

a

n

（5）]

)2)(1(

1

)1(

1

[

2

1

)2)(1(

1













nnnnnnn

a

n

(6)

n

n

nnnn

nn

S

nn

nn

nn

nn

n

a

2)1(

1

1,

2)1(

1

2

1

2

1

)1(

)1(2

2

1

)1(

2

1

























则

例7．求数列







,

1

1

,,

32

1

,

21

1

nn

的前n项和.

解：设nn

nn

a

n





1

1

1

（裂项）

则

1

1

32

1

21

1













nn

S

n

（裂项求和）

＝

)1()23()12(nn

＝11n

例8．在数列{an}中，

11

2

1

1













n

n

nn

a

n

，又

1

2







nn

naa

b，求数

列{bn}的前n项的和.

解：∵

211

2

1

1n

n

n

nn

a

n













∴)

1

11

(8

2

1

2

2











nn

nn

b

n

∴数列{bn}的前n项和)]

1

11

()

4

1

3

1

()

3

1

2

1

()

2

1

1[(8





nn

S

n

＝)

1

1

1(8





n

＝

1

8

n

n