分式的乘除

《分式的乘除法》知识点

一、分式的定义：

一般地，如果A，B表示两个整数，并且B中含有字母，那么式子

二、与分式有关的条件

①分式有意义：分母不为0(B0)

②分式无意义：分母为0(B0)

③分式值为0：分子为0且分母不为0(A叫做分式，A为分子，B

为分母。BA0)

B0

A0A0或)B0B0

A0A0或)

B0B0④分式值为正或大于0：分子分母同号(⑤分式值为负或小于

0：分子分母异号(

⑥分式值为1：分子分母值相等(A=B)

⑦分式值为-1：分子分母值互为相反数(A+B=0)

三、分式的基本性质

(1)分式的分子和分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的

值不变。字母表示：AACAAC，，其中A、B、C是整式，C0。

BBCBBC

(2)分式的符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变

其中任何两个，分式的值不变，即：AAAABBBB

注意：在应用分式的基本性质时，要注意C0这个限制条件和隐含

条件B0。

四、分式的约分

1.定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因

式约去，叫做分式的约分。

2.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因。

3.两种情形：①分式的分子与分母均为单项式时可直接约分，约

去分子、分母系数的最大公约数，然后约

去分子分母相同因式的最低次幂。

②分子分母若为多项式，先对分子分母进行因式分解，再约分。

4.最简分式的定义：一个分式的分子与分母没有公因式时，叫做

最简分式。

约分时。分子分母公因式的确定方法：

1)系数取分子、分母系数的最大公约数作为公因式的系数.

2)取各个公因式的最低次幂作为公因式的因式.

3)如果分子、分母是多项式,则应先把分子、分母分解因式,然后判

断公因式.

五、分式的通分

1.定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分

母分式，叫做分式的通分。

(依据：分式的基本性质!)

2.最简公分母：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这

样的公分母叫做最简公分母。

通分时，最简公分母的确定方法：

1.系数取各个分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.

2.取各个公因式的最高次幂作为最简公分母的因式.

3.如果分母是多项式,则应先把每个分母分解因式,然后判断最简公

分母.

3.“两大类三类型”

通分“两大类”指的是：一是分母是单项式;二是分母是多项式

“两大类”下的“三类型”：“二、三”型，“二，四”型，

“四、六”型

1)“二、三”型：指几个分母之间没有关系，最简公分母就是他

们的乘积;

2)“二，四”型：指其一个分母完全包括另一个分母，最简公分

母就是其一的那个分母;

3)“四、六”型：指几个分母之间有相同的因式，同时也有独特

的因式，最简公分母既要有独特的因式，

也应包括相同的因式

4.通分的方法：先观察分母是单项式还是多项式，如果是分母单

项式，那就继续考虑是什么类型，找出最简公分母，进行通分;如果分

母是多项式，那么先把分母能分解的要因式分解，考虑什么类型，继

续通分。

六、分式的四则运算与分式的乘方

①分式的'乘除法法则：acacbdbd

acadad分式除以分式：把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除

式相乘。式子表示为：bdbcbc分式乘分式，用分子的积作为积的分

子，分母的积作为积的分母。式子表示为：

ana②分式的乘方：把分子、分母分别乘方。式子表示为：nbb

③分式的加减法则：

1)同分母分式加减法：分母不变，把分子相加减。式子表示为：

nababccc

acadbcbdbd2)异分母分式加减法：先通分，化为同分母的分式，

然后再加减。式子表示为：

3)两种类型：一是分式间的加减;二是整式与分式的加减(整式的分

母为1)

注意：整式与分式加减法：可以把整式当作一个整数，整式前面

是负号，要加括号，看作是分母为1的分式，再通分。

④分式的加、减、乘、除、乘方的混合运算的运算顺序

先乘方、再乘除、后加减，同级运算中，谁在前先算谁，有括号

的先算括号里面的，也要注意灵活，提高解题质量。

注意：在运算过程中，要明确每一步变形的目的和依据，注意解

题的格式要规范，不要随便跳步，以便查对

有无错误或分析出错的原因。

加减后得出的结果一定要化成最简分式(或整式)。

七、整数指数幂

①引入负整数、零指数幂后，指数的取值范围就推广到了全体实

数，并且正正整数幂的法则对对负整数指

数幂一样适用。即：

aanana

nnnanabanbnaanan(a0)1anan0nana0)a1(a0)(任何不等于

零的数的零次幂都等于1)abb

其中，n均为整数。

八、分式方程

1.分式方程：指含分式，且分母中含有未知数的方程

2.解分式方程的步骤：

(1)能化简的先化简

(2)去分母，把方程两边同乘以各分母的最简公分母。(产生增根的

过程)

(3)解整式方程，得到整式方程的解。

(4)检验，把所得的整式方程的解代入最简公分母中：如果最简公

分母为0，则原方程无解，这个未知数的值是原方程的增根;如果最简

公分母不为0，则是原方程的解。

注意：产生增根的条件是①是得到的整式方程的解;②代入最简公

分母后值为0。

九、列分式方程——基本步骤：

审，设，列，解，答(跟一元一次不等式组的应用题解法一样)

①审—仔细审题，找出等量关系。

②设—合理设未知数。

③列—根据等量关系列出方程(组)。

④解—解出方程(组)。注意检验

⑤答—答题。