99的因数

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数论

小学数论问题，起因于除法算式：被除数÷除数＝商……余数

1.能整除：整除，因数与倍数，奇数与偶数，质数与合数，公因数与公倍数，分解质

因数等；

2.不能整除：余数，余数的性质与计算（余数），同余问题（除数），物不知数问题

（被除数）。

一、因数与倍数

1、因数与倍数

（1）定义：

定义1：若整数a能够被b整除，a叫做b的倍数，b就叫做a的因数。

定义2：如果非零自然数a、b、c之间存在a×b＝c，或者c÷a＝b，那么称a、b是c的

因数，c是a、b的倍数。

注意：倍数与因数是相互依存关系，缺一不可。（a、b是因数，c是倍数）

一个数的因数个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。

一个数的倍数个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。

（2）一个数的因数的特点：

①最小的因数是1，第二小的因数一定是质数；

②最大的因数是它本身，第二大的因数是：原数÷第二小的因数

（3）完全平方数的因数特征：

①完全平方数的因数个数是奇数个，有奇数个因数的数是完全平方数。

②完全平方数的质因数出现次数都是偶数次；

③1000以内的完全平方数的个数是31个，2000以内的完全平方数的个数是44个，

3000以内的完全平方数的个数是54个。（312=961，442=1936，542=2916）

2、数的整除（数的倍数）

（1）定义：

定义1：一般地，三个整数a、b、c，且b≠0，如有a÷b＝c，则我们就说，a能被b整除，

或b能整除a，或a能整除以b。

定义2：如果一个整数a，除以一个整数b（b≠0），得到一个整数商c，而且没有余数，

那么叫做a能被b整除或b能整除a，记作b|a。（a≥b）

（2）整除的性质：

2

如果a、b能被c整除，那么（a+b）与（a-b）也能被c整除。

如果a能被b整除，c是整数，那么a×c也能被b整除。

如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍数整除。

（3）一些常见数的整除特征（倍数特征）：

①末位判别法

2、5的倍数特征：末位上的数字是2、5的倍数。

4、25的倍数特征：末两位上的数字是4、25的倍数。

8、125的倍数特征：末三位上的数字是8、125的倍数。

②截断求和法（从右开始截）

9（及其因数3）的倍数特征：一位截断求和

99（及其因数3、9、11、33）的倍数特征：两位截断求和

999（及其因数3、9、27、37、111、333）的倍数特征：三位截断求和

③截断求差法（从右开始截）

11的倍数特征：一位截断求差

101的倍数特征：两位截断求差

1001（及其因数7、11、13、77、91、143）的倍数特征：三位截断求差

④公倍数法

6的倍数特征：2和3的公倍数。先判断是否2的倍数，再判断是否3的倍数。

12的倍数特征：4和3的公倍数。先判断是否4的倍数，再判断是否3的倍数。

3、奇数与偶数（自然数按是否能被2整除分类）

（1）定义：

奇数：不是2的倍数的数。在自然数中，最小的奇数是1。

偶数：是2的倍数的数。在自然数中，最小的偶数是0。

（2）数的奇偶性质：

①奇偶相连，奇偶相间，偶数个连续自然数中，奇偶各半。

②奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；任意多个偶数的和是偶数；

③两个奇（偶）数的差是偶数；一个偶数与一个奇数的差是奇数；

④若a、b为整数，则a+b与a-b有相同的奇偶性；

⑤n个奇数的乘积是奇数，n个偶数的乘积是2n的倍数；算式中有一个是偶数，则

乘积必是偶数。

3

⑥连续的奇数或偶数差为2。如，与奇数m相邻的两个奇数分别是(m-2)和(m+2)。

⑦奇偶分析：奇＋奇＝偶奇－奇＝偶奇×奇＝奇

奇＋偶＝奇偶－偶＝偶奇×偶＝偶

偶＋偶＝偶奇－偶＝奇偶×偶＝偶

4、质数与合数（非0自然数按因数个数分类）

（1）定义：

质数：只有1和它本身两个因数的数。（因数个数：2个）

合数：除了1和它本身还有其它因数的数。（因数个数：3个或3个以上）

（2）常见质数特征：

1既不是质数，也不是合数（1只有1个因数）；

2是最小的质数；4是最小的合数；

2是质数中唯一的偶数，也是偶数中唯一的质数（除2外，其它质数都是奇数）。

（3）100以内质数表（25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、

43、47、

53、59、61、67、71、73、79、83、89、97

（4）分解质因数

①唯一分解定理：任何一个大于1的自然数N,如果N不是质数，那么N可以唯一分解

成有限个质数的乘积。

②质因数：如果某个质数是某个数的因数，那么这个质数叫做这个数的质因数。

③分解质因数：把一个合数写成它的几个质因数相乘的形式。如：28＝2×2×7＝2²×7

④通常用短除法分解质因数。任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。

⑤要求出乘积中末尾0的个数，只需要知道这些乘数分解质因数后2和5的个数，不用

考虑其它质因数。

（5）互质数：公因数只有1的两个数为互质数。

常见的互质数：

①相邻自然数：8和9

②相邻奇数：21和23

③2与任意奇数：2和15

④不同的两个质数：11和17

⑤1与任意非零自然数：1和4

⑥当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质:3和14

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⑦公因数只有1的两个合数：6和25

⑧如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质：3、5、7

5、最大公因数与最小公倍数

（1）定义：

最大公因数：几个数公有的因数叫这几个数的公因数，其中最大的一个叫做最大公因数，

用(a，b)表示。

最小公倍数：几个数公有的倍数叫这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做最小公倍数，

用[a，b]表示。

（2）最大公因数的性质：

①几个数都除以它们的最大公因数，所得的几个商是互质数。

②几个数的最大公因数都是这几个数的因数。

③几个数的公因数，都是这几个数的最大公因数的因数。

④几个数都乘一个自然数m，所得的积的最大公因数等于这几个数的最大公因数乘m。

（3）最小公倍数的性质：

①两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。

②两个数最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。即(a，b)×[a，b]＝a

×b

（4）求最大公因数的方法：

①列举法

②短除法

③分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来。

④辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公

因数。

（5）求最小公倍数基本方法：

①列举法

②短除法

③分解质因数法

（6）分类求最大公因数和最小公倍数：

①倍数关系：a是b的倍数，(a，b)＝b，[a，b]＝a

②互质关系：a与b互质，(a，b)＝1，[a，b]＝a×b

③一般关系：a与b不互质也不倍数，用短除法。(a，b)＝左侧除数连乘积，[a，b]＝

5

除数和商连乘积

6、分解质因数的运用：

（1）求一个数因数的个数

①列举法：2个一组列举

②分解质因数法：①分解质因数②所有不同质数出现次数+1连乘积（指数加1再相乘）

如：360＝2³×3²×5，360的因数个数：(3+1)×(2+1)×(1+1)＝4×3×2＝24（个）

（2）求一个数的所有因数的和

步骤：①分解质因数②所有不同质因数的各种取法之和的连乘积。

如：180＝2²×3²×5，180的所有因数之和：(20＋21＋22)×(30＋31＋32)(50＋51)＝7×13

×6＝546

二、余数性质与同余问题

1、余数的性质

(1)余数小于除数。

(2)若a、b除以c的余数相同，则(a-b)或(b-a)可以被c整除。

(3)a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加b除以c的余数的和除以c的余数。

（和的余数＝余数的和）

(4)a与b的差除以c的余数等于a除以c的余数减b除以c的余数的差除以c的余数。

（差的余数＝余数的差）

(5)a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。

（积的余数＝余数的积）

2、余数的计算（求余数）

(1)末位判断法：2，5，4，25，8，125

(2)数字求和法：3，9

各个数位上数字之和除以3或9的余数＝某数除以3或9的余数。

如：234569。2+3+4+5+6+9＝29，因为29÷9＝3…2，所以234569÷9＝？…2，即234569

≡29(mod9)

(3)截断求和法：99，999及其因数

99（3、9、11、33）：两位截断求和，得到的和除以99余数，即原数除以99的余数。

999（3、9、27、37、111、333）：三位截断求和，得到的和除以999余数，即原数除

6

以999的余数。

如：12345。345+12=357,357＜999，所以12345÷999余357。

(4)截断求差法：从右开始截断，奇段和－偶段和。11，101，1001及其因数7、11、13、

77、91、143。

①11：一位截断作差。从右开始，1位截断，(奇数位数字之和)-(偶数位数字之和)

÷11的余数,即为原数÷11的余数；如不够减，求出的负数+11。

如：234569。奇数位数字之和3+5+9＝17，偶数位数字之和2+4+6＝12，17-12＝5，所

以234569÷11余5，即234569≡5(mod11)

如：98，（奇数位8＜偶数位9）8-9＝-1，-1+11=10，则98÷11＝8……10，即98≡

10(mod11)

②101：两位截断作差。从右开始，2位截断，(奇位和)-(偶位和)÷101的余数,即为

原数÷101的余数；如不够减，求出的负数+101。

③1001（7、11、13、77、91、143）：三位截断作差。从右开始，3位截断，(奇位和)-(偶

位和)÷1001的余数,即为原数÷1001的余数；如不够减，求出的负数+1001。

3、费马小定理

如果p是质数，a是自然数，且a不能被p整除，则ap-1≡1(modp)。

即：假如a是自然数，p是质数，且a,p互质，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

如：a是自然数2，p是质数5，2和5互质，2（5-1）÷5余1。

a是自然数10，p是质数3，10和3互质，10（3-1）÷3余1。

4、同余问题（求除数）

同余的定义：

(1)若两个整数a、b除以m的余数相同，则称a、b对于模m同余。

(2)已知三个整数a、b、m，如果m能被(a-b)整除，就称a、b对于模m同余，记作a≡b(mod

m)，读作a同余于b模m。

5、中国剩余定理（物不知数问题：求被除数）

在一千多年前的《孙子算经》中有著名算题：

今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

物不知数问题，又叫孙子问题、韩信点兵问题。

方法：

①最小公倍数法：和同加和，余同加余，差同减差（缺同减缺）。

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②列举法（逐步满足条件法）

③口诀法(仅适应于3、5、7)：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝；七子团圆正半月，

除百零五便得知。

口诀法解释(只看数字即可)：将除以3的余数乘70，将除以5的余数乘21，将除以7的

余数乘15，全部加起来后除以105，得到的余数就是答案。

步骤：2×70+3×21+2×15=140+63+30=233，233÷105=2……23

三、完全平方数

完全平方数：

0,1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,121,144,169,196,225,256,289,324,361,400,441,484

…

完全平方数特征：

(1)末位数字只能是：0、1、4、5、6、9；（个位数字是2、3、7、8的一定不是完全平方

数）

(2)奇数的平方的个位数字是奇数，十位数字是偶数，如25,49,81。（个位数和十位数都

是奇数的整数一定不是完全平方数）

(3)如果完全平方数的十位数字是奇数，则它的个位数字一定是6；反之，如果完全平方

数的个位数字是6，它的十位数字一定是奇数。如16,36,196，256。（个位数是6，

十位数是偶数的一定不是平方数）

(4)偶数的平方是4的倍数，奇数的平方是4的倍数加1。

(5)奇数的平方是8n+1型，偶数的平方是8n或8n+4型。（形如8n+2，8n+3，8n+5，8n+6，

8n+7型的一定不是完全平方数）

(6)完全平方数的形式一定是3k或3k+1，即除以3余0或1。（形如3k+2的一定不是完

全平方数）

(7)完全平方数的形式一定是4k或4k+1，即除以4余0或1。（形如4k+2和4k+3的一定

不是平方数）

(8)能被5整除的数的平方是5k型，不能被5整除的数的平方是5k±1型。

(9)完全平方数对的形式具有：16m，16m+1，16m+4，16m+9。

(10)完全平方数的各位数字之和只能是0,1,4,7,9。（各数位数字和是2、3、5、6、8

的一定不是平方数）

(11)若质数p能整除完全平方数a，则p²也能整除a。

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(12)两个相邻整数的平方之间不可能再有完全平方数。

(13)一个自然数n是完全平方数的充要条件是n有奇数个因数。（因数个数为奇数个

的自然数是平方数）

(14)任何四个连续整数的乘积加1，必定是一个平方数。

平方差公式：X2-Y2=(X-Y)(X+Y)

完全平方和公式：（X+Y）2=X2+2XY+Y2

完全平方差公式：（X-Y）2=X2-2XY+Y2