福建中考

2020年福建省中考数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）3的相反数是（）

A．﹣3B．﹣C．D．3

2．（4分）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

3．（4分）用科学记数法表示136000，其结果是（）

A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106

4．（4分）化简（2x）2的结果是（）

A．x4B．2x2C．4x2D．4x

5．（4分）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）

A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形

6．（4分）不等式组：的解集是（）

A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x＜2C．x≥2D．x＜﹣3

7．（4分）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题数如图．这5

个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）

A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15

8．（4分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的两点．下列四

个角中，一定与∠ACD互余的角是（）

A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD

9．（4分）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），且0＜k＜2，

则n的值可以是（）

A．3B．4C．5D．6

10．（4分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB和点P绕着同

一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单位正方形区域

是（）

A．1区B．2区C．3区D．4区

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．（4分）计算|﹣2|﹣30=．

12．（4分）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接DE．若DE=3，

则线段BC的长等于．

13．（4分）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，1个红球．现

添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的球被抽到的概

率都是，那么添加的球是．

14．（4分）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点A，B表示

的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是．

15．（4分）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，

其摆放方式如图所示，则∠AOB等于度．

16．（4分）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象上，且点A

的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

17．（8分）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．

18．（8分）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：

∠A=∠D．

19．（8分）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求作∠ABC的平

分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规作图，保留作

图痕迹，不写作法）

20．（8分）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同

笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有若干只鸡和

兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔各有多少只？”

试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．

21．（8分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点P在CA的延

长线上，∠CAD=45°．

（Ⅰ）若AB=4，求的长；

（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．

22．（10分）小明在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，

sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，

sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

23．（10分）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可随用的共享单

车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备对收费作如下

调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加一次，当次车

费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收费标准如下：

使用次

数

01234

5（含5次以

上）

累计车

费

00.50.9ab1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车

的意愿，得到如下数据：

使用次数

012345

人数

51510302515

（Ⅰ）写出a，b的值；

（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800

元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明

理由．

24．（12分）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线段AC、BC上的

点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若AP=，求CF的长．

25．（14分）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），

且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

2020年福建省中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（4分）（2020•长春）3的相反数是（）

A．﹣3B．﹣C．D．3

【分析】根据相反数的定义即可求出3的相反数．

【解答】解：3的相反数是﹣3

故选A．

【点评】相反数的定义是：如果两个数只有符号不同，我们称其中一个数为另一

个数的相反数，特别地，0的相反数还是0．

2．（4分）（2020•福建）如图，由四个正方体组成的几何体的左视图是（）

A．B．C．D．

【分析】直接利用三视图的画法，从左边观察，即可得出选项．

【解答】解：图形的左视图为：，

故选B．

【点评】此题主要考查了三视图的画法，正确掌握三视图观察的角度是解题关键．

3．（4分）（2020•福建）用科学记数法表示136000，其结果是（）

A．0.136×106B．1.36×105C．136×103D．136×106

【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确

定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点

移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n

是负数．

【解答】解：用科学记数法表示136000，其结果是1.36×105，

故选：B．

【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的

形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．

4．（4分）（2020•福建）化简（2x）2的结果是（）

A．x4B．2x2C．4x2D．4x

【分析】利用积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．

【解答】解：（2x）2=4x2，

故选：C．

【点评】此题主要考查了积的乘方，关键是掌握计算法则．

5．（4分）（2020•福建）下列关于图形对称性的命题，正确的是（）

A．圆既是轴对称图形，又是中心对称图形

B．正三角形既是轴对称图形，又是中心对称图形

C．线段是轴对称图形，但不是中心对称图形

D．菱形是中心对称图形，但不是轴对称图形

【分析】分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排

除法得出答案．

【解答】解：A、圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，故A符合题意；

B、正三角形既是轴对称图形，不是中心对称图形，故B不符合题意；

C、线段是轴对称图形，是中心对称图形，故C不符合题意；

D、菱形是中心对称图形，是轴对称图形，故D符合题意；

故选：A．

【点评】主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命

题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．

6．（4分）（2020•福建）不等式组：的解集是（）

A．﹣3＜x≤2B．﹣3≤x＜2C．x≥2D．x＜﹣3

【分析】求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，

【解答】解：

解不等式①得：x≤2，

解不等式②得：x＞﹣3，

∴不等式组的解集为：﹣3＜x≤2，

故选A．

【点评】本题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先

求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，解集的规律：同大取大；

同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．

7．（4分）（2020•福建）某校举行“汉字听写比赛”，5个班级代表队的正确答题

数如图．这5个正确答题数所组成的一组数据的中位数和众数分别是（）

A．10，15B．13，15C．13，20D．15，15

【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．

【解答】解：把这组数据从小到大排列：10、13、15、15、20，

最中间的数是15，

则这组数据的中位数是15；

15出现了2次，出现的次数最多，则众数是15．

故选：D．

【点评】此题考查了中位数和众数，将一组数据从小到大（或从大到小）重新排

列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）叫做这组数据的中位数；众

数是一组数据中出现次数最多的数．

8．（4分）（2020•福建）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上位于AB异侧的

两点．下列四个角中，一定与∠ACD互余的角是（）

A．∠ADCB．∠ABDC．∠BACD．∠BAD

【分析】由圆周角定理得出∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，∠BCD=∠BAD，得出∠ACD+

∠BAD=90°，即可得出答案．

【解答】解：连接BC，如图所示：

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°，

∵∠BCD=∠BAD，

∴∠ACD+∠BAD=90°，

故选：D．

【点评】本题考查了圆周角定理；熟记圆周角定理是解决问题的关键．

9．（4分）（2020•福建）若直线y=kx+k+1经过点（m，n+3）和（m+1，2n﹣1），

且0＜k＜2，则n的值可以是（）

A．3B．4C．5D．6

【分析】根据题意列方程组得到k=n﹣4，由于0＜k＜2，于是得到0＜n﹣4＜2，

即可得到结论．

【解答】解：依题意得：，

∴k=n﹣4，

∵0＜k＜2，

∴0＜n﹣4＜2，

∴4＜n＜6，

故选C．

【点评】考查了一次函数的图象与系数的关系，注重考察学生思维的严谨性，易

错题，难度中等．

10．（4分）（2020•福建）如图，网格纸上正方形小格的边长为1．图中线段AB

和点P绕着同一个点做相同的旋转，分别得到线段A'B'和点P'，则点P'所在的单

位正方形区域是（）

A．1区B．2区C．3区D．4区

【分析】根据旋转的性质连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交

点即为旋转中心，从而得出线段AB和点P是绕着同一个该点逆时针旋转90°，

据此可得答案．

【解答】解：如图，连接AA′、BB′，分别作AA′、BB′的中垂线，两直线的交点即

为旋转中心，

由图可知，线段AB和点P绕着同一个该点逆时针旋转90°，

∴点P逆时针旋转90°后所得对应点P′落在4区，

故选：D．

【点评】本题主要考查旋转，熟练掌握旋转的性质得出图形的旋转中心及旋转方

向是解题的关键．

二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分．

11．（4分）（2020•福建）计算|﹣2|﹣30=1．

【分析】首先利用零指数幂的性质以及绝对值的性质分别化简得出答案．

【解答】解：原式=2﹣1

=1．

故答案为：1．

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．

12．（4分）（2020•福建）如图，△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，连接

DE．若DE=3，则线段BC的长等于6．

【分析】直接根据三角形的中位线定理即可得出结论．

【解答】解：∵△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE是△ABC的中位线．

∵DE=3，

∴BC=2DE=6．

故答案为：6．

【点评】本题考查的是三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边，

并且等于第三边的一半是解答此题的关键．

13．（4分）（2020•福建）一个箱子装有除颜色外都相同的2个白球，2个黄球，

1个红球．现添加同种型号的1个球，使得从中随机抽取1个球，这三种颜色的

球被抽到的概率都是，那么添加的球是红球．

【分析】根据已知条件即可得到结论．

【解答】解：∵这三种颜色的球被抽到的概率都是，

∴这三种颜色的球的个数相等，

∴添加的球是红球，

故答案为：红球．

【点评】本题考查了概率公式，熟练掌握概率的概念是解题的关键．

14．（4分）（2020•福建）已知A，B，C是数轴上的三个点，且C在B的右侧．点

A，B表示的数分别是1，3，如图所示．若BC=2AB，则点C表示的数是7．

【分析】先利用点A、B表示的数计算出AB，再计算出BC，然后计算点C到原

点的距离即可得到C点表示的数．

【解答】解：∵点A，B表示的数分别是1，3，

∴AB=3﹣1=2，

∵BC=2AB=4，

∴OC=OA+AB+BC=1+2+4=7，

∴点C表示的数是7．

故答案为7．

【点评】本题考查了数轴：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的

点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括

无理数．）

15．（4分）（2020•福建）两个完全相同的正五边形都有一边在直线l上，且有一

个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则∠AOB等于108度．

【分析】根据多边形的内角和，可得∠1，∠2，∠3，∠4，根据等腰三角形的内

角和，可得∠7，根据角的和差，可得答案．

【解答】解：如图，

由正五边形的内角和，得∠1=∠2=∠3=∠4=108°，

∠5=∠6=180°﹣108°=72°，

∠7=180°﹣72°﹣72°=36°．

∠AOB=360°﹣108°﹣108°﹣36°=108°，

故答案为：108．

【点评】本题考查了多边形的内角与外角，利用多边形的内角和得出每个内角是

解题关键．

16．（4分）（2020•福建）已知矩形ABCD的四个顶点均在反比例函数y=的图象

上，且点A的横坐标是2，则矩形ABCD的面积为．

【分析】先根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐标是2，可得A

（2，），再根据B（，2），D（﹣，﹣2），运用两点间距离公式求得AB和

AD的长，即可得到矩形ABCD的面积．

【解答】解：如图所示，根据点A在反比例函数y=的图象上，且点A的横坐

标是2，可得A（2，），

根据矩形和双曲线的对称性可得，B（，2），D（﹣，﹣2），

由两点间距离公式可得，AB==，

AD==，

∴矩形ABCD的面积=AB×AD=×=，

故答案为：．

【点评】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征以及矩形的性质的综合

应用，解决问题的关键是画出图形，依据两点间距离公式求得矩形的边长．

三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤．

17．（8分）（2020•福建）先化简，再求值：（1﹣）•，其中a=﹣1．

【分析】根据分式的运算法则即可求出答案．

【解答】解：当a=﹣1时

原式=•

=

=

【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属

于基础题型．

18．（8分）（2020•福建）如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB=DE，AC=DF，

BE=CF．求证：∠A=∠D．

【分析】证明BC=EF，然后根据SSS即可证明△ABC≌△DEF，然后根据全等三角

形的对应角相等即可证得．

【解答】证明：如图，∵BE=CF，

∴BC=EF，

在△ABC和△DEF中，

，

∴△ABC≌△DEF（SSS）．

∴∠A=∠D．

【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，证明线段相等常用的方法是证明

所在的三角形全等．

19．（8分）（2020•福建）如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足为D．求

作∠ABC的平分线，分别交AD，AC于P，Q两点；并证明AP=AQ．（要求：尺规

作图，保留作图痕迹，不写作法）

【分析】根据角平分线的性质作出BQ即可．先根据垂直的定义得出∠ADB=90°，

故∠BPD+∠PBD=90°．

再根据余角的定义得出∠AQP+∠ABQ=90°，根据角平分线的性质得出∠ABQ=∠

PBD，再由∠BPD=∠APQ可知∠APQ=∠AQP，据此可得出结论．

【解答】解：BQ就是所求的∠ABC的平分线，P、Q就是所求作的点．

证明：∵AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∴∠BPD+∠PBD=90°．

∵∠BAC=90°，

∴∠AQP+∠ABQ=90°．

∵∠ABQ=∠PBD，

∴∠BPD=∠AQP．

∵∠BPD=∠APQ，

∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ．

【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法和性质是解答此题

的关键．

20．（8分）（2020•福建）我国古代数学著作《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：

“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足．问鸡兔各几何．”其大意是：“有

若干只鸡和兔关在同一笼子里，它们一共有35个头，94条腿．问笼中的鸡和兔

各有多少只？”试用列方程（组）解应用题的方法求出问题的解．

【分析】设鸡有x只，兔有y只，根据等量关系：上有三十五头，下有九十四足，

可分别得出方程，联立求解即可得出答案．

【解答】解：设鸡有x只，兔有y只，鸡有一个头，两只脚，兔有1个头，四只

脚，

结合上有三十五头，下有九十四足可得：，

解得：．

答：鸡有23只，兔有12只．

【点评】此题考查了二元一次方程的知识，解答本题的关键是仔细审题，根据等

量关系得出方程组，难度一般．

21．（8分）（2020•福建）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，点

P在CA的延长线上，∠CAD=45°．

（Ⅰ）若AB=4，求的长；

（Ⅱ）若=，AD=AP，求证：PD是⊙O的切线．

【分析】（Ⅰ）连接OC，OD，由圆周角定理得到∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，

于是得到∠COD=90°，根据弧长公式即可得到结论；

（Ⅱ）由已知条件得到∠BOC=∠AOD，由圆周角定理得到∠AOD=45°，根据等腰

三角形的性质得到∠ODA=∠OAD，求得∠ADP=CAD=22.5°，得到∠ODP=∠

ODA+∠ADP=90°，于是得到结论．

【解答】解：（Ⅰ）连接OC，OD，

∵∠COD=2∠CAD，∠CAD=45°，

∴∠COD=90°，

∵AB=4，

∴OC=AB=2，

∴的长=×π×2=π；

（Ⅱ）∵=，

∴∠BOC=∠AOD，

∵∠COD=90°，

∴∠AOD=45°，

∵OA=OD，

∴∠ODA=∠OAD，

∵∠AOD+∠ODA=∠OAD=180°，

∴∠ODA=67.5°，

∵AD=AP，

∴∠ADP=∠APD，

∵∠CAD=∠ADP+∠APD，∠CAD=45°，

∴∠ADP=CAD=22.5°，

∴∠ODP=∠ODA+∠ADP=90°，

∴PD是⊙O的切线．

【点评】本题考查了切线的判定，圆内接四边形的性质，弧长的计算，正确的作

出辅助线是解题的关键．

22．（10分）（2020•福建）小明在某次作业中得到如下结果：

sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，

sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，

sin229°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，

sin237°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，

sin245°+sin245°≈（）2+（）2=1．

据此，小明猜想：对于任意锐角α，均有sin2α+sin2（90°﹣α）=1．

（Ⅰ）当α=30°时，验证sin2α+sin2（90°﹣α）=1是否成立；

（Ⅱ）小明的猜想是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请举出一个反例．

【分析】（1）将α=30°代入，根据三角函数值计算可得；

（2）设∠A=α，则∠B=90°﹣α，根据正弦函数的定义及勾股定理即可验证．

【解答】解1：（1）当α=30°时，

sin2α+sin2（90°﹣α）

=sin230°+sin260°

=（）2+（）2

=+

=1；

（2）小明的猜想成立，证明如下：

如图，在△ABC中，∠C=90°，

设∠A=α，则∠B=90°﹣α，

∴sin2α+sin2（90°﹣α）

=（）2+（）2

=

=

=1．

【点评】本题主要考查特殊锐角的三角函数值及正弦函数的定义，熟练掌握三角

函数的定义及勾股定理是解题的关键．

23．（10分）（2020•福建）自2016年国庆后，许多高校均投放了使用手机就可

随用的共享单车．某运营商为提高其经营的A品牌共享单车的市场占有率，准备

对收费作如下调整：一天中，同一个人第一次使用的车费按0.5元收取，每增加

一次，当次车费就比上次车费减少0.1元，第6次开始，当次用车免费．具体收

费标准如下：

使用次

数

01234

5（含5次以

上）

累计车

费

00.50.9ab1.5

同时，就此收费方案随机调查了某高校100名师生在一天中使用A品牌共享单车

的意愿，得到如下数据：

使用次数

012345

人数

51510302515

（Ⅰ）写出a，b的值；

（Ⅱ）已知该校有5000名师生，且A品牌共享单车投放该校一天的费用为5800

元．试估计：收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车能否获利？说明

理由．

【分析】（Ⅰ）根据收费调整情况列出算式计算即可求解；

（Ⅱ）先根据平均数的计算公式求出抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享

单车的平均车费，再根据用样本估计总体求出5000名师生一天使用共享单车的

费用，再与5800比较大小即可求解．

【解答】解：（Ⅰ）a=0.9+0.3=1.2，b=1.2+0.2=1.4；

（Ⅱ）根据用车意愿调查结果，抽取的100名师生每人每天使用A品牌共享单车

的平均车费为：

×（0×5+0.5×15+0.9×10+1.2×30+1.4×25+1.5×15）=1.1（元），

所以估计5000名师生一天使用共享单车的费用为：5000×1.1=5500（元），

因为5500＜5800，

故收费调整后，此运营商在该校投放A品牌共享单车不能获利．

【点评】考查了样本平均数，用样本估计总体，（Ⅱ）中求得抽取的100名师生

每人每天使用A品牌共享单车的平均车费是解题的关键．

24．（12分）（2020•福建）如图，矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P，E分别是线

段AC、BC上的点，且四边形PEFD为矩形．

（Ⅰ）若△PCD是等腰三角形时，求AP的长；

（Ⅱ）若AP=，求CF的长．

【分析】（Ⅰ）先求出AC，再分三种情况讨论计算即可得出结论；

（Ⅱ）方法1、先判断出OC=ED，OC=PF，进而得出OC=OP=OF，即可得出∠

OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，最后判断出△ADP∽△CDF，得出比例式即可得出结

论．

方法2、先判断出∠CEF=∠FDC，得出点E，C，F，D四点共圆，再判断出点P也

在此圆上，即可得出∠DAP=∠DCF，此后同方法1即可得出结论．

【解答】解：（Ⅰ）在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，∠ADC=90°，

∴DC=AB=6，

∴AC==10，

要使△PCD是等腰三角形，

①当CP=CD时，AP=AC﹣CP=10﹣6=4，

②当PD=PC时，∠PDC=∠PCD，

∵∠PCD+∠PAD=∠PDC+∠PDA=90°，

∴∠PAD=∠PDA，

∴PD=PA，

∴PA=PC，

∴AP=AC=5，

③当DP=DC时，如图1，过点D作DQ⊥AC于Q，则PQ=CQ，

∵S△ADC=AD•DC=AC•DQ，

∴DQ==，

∴CQ==，

∴PC=2CQ=，

∴AP=AC﹣PC=10﹣=；

所以，若△PCD是等腰三角形时，AP=4或5或；

（Ⅱ）方法1、如图2，连接PF，DE，记PF与DE的交点为O，连接OC，

∵四边形ABCD和PEFD是矩形，

∴∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP+∠PDC=∠PDC+∠CDF，

∴∠ADP=∠CDF，

∵∠BCD=90°，OE=OD，

∴OC=ED，

在矩形PEFD中，PF=DE，

∴OC=PF，

∵OP=OF=PF，

∴OC=OP=OF，

∴∠OCF=∠OFC，∠OCP=∠OPC，

∵∠OPC+∠OFC+∠PCF=180°，

∴2∠OCP+2∠OCF=180°，

∴∠PCF=90°，

∴∠PCD+∠FCD=90°，

在Rt△ADC中，∠PCD+∠PAD=90°，

∴∠PAD=∠FCD，

∴△ADP∽△CDF，

∴，

∵AP=，

∴CF=．

方法2、如图，

∵四边形ABCD和DPEF是矩形，

∴∠ADC=∠PDF=90°，

∴∠ADP=∠CDF，

∵∠DGF+∠CDF=90°，

∴∠EGC+∠CDF=90°，

∵∠CEF+∠CGE=90°，

∴∠CDF=∠FEC，

∴点E，C，F，D四点共圆，

∵四边形DPEF是矩形，

∴点P也在此圆上，

∵PE=DF，∴，

∴∠ACB=∠DCF，

∵AD∥BC，

∴∠ACB=∠DAP，

∴∠DAP=∠DCF，

∵∠ADP=∠CDF，

∴△ADP∽△CDF，

∴，

∵AP=，

∴CF=．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形

的性质，相似三角形的判定和性质，解（Ⅰ）的关键是分三种情况讨论计算，解

（Ⅱ）的关键是判断出△ADP∽△CDF，是一道中考常考题．

25．（14分）（2020•福建）已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点

M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

【分析】（Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示

出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得

到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用

二次函数性质可求得MN长度的取值范围；（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，

则可求得E点坐标，利用S

△QMN

=S

△QEN

+S

△QEM

可用a表示出△QMN的面积，再整

理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．

【解答】解：

（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=﹣2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，

∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；

（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），

∴0=2×1+m，解得m=﹣2，

联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）

∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，

由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，

∴a＜0，b＞0，

∴△＞0，

∴方程（*）有两个不相等的实数根，

∴直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+

（1﹣）x﹣2+=0，

∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，

∴N点坐标为（﹣2，﹣6），

（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）

2，

∵﹣1≤a≤﹣，

∴﹣2≤≤﹣1，

∴MN2随的增大而减小，

∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，

当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，

∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；

（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，

∵抛物线对称轴为x=﹣，

∴E（﹣，﹣3），

∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S，

∴S=S

△QEN

+S

△QEM

=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，

∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），

∵关于a的方程（*）有实数根，

∴△=（8S﹣54）2﹣4×27×24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2，

∵a＜0，

∴S=﹣﹣＞，

∴8S﹣54＞0，

∴8S﹣54≥36，即S≥+，

当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，

∴当a=﹣，b=时，△QMN面积的最小值为+．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、

根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在（1）中由M的坐标得到b与

a的关系是解题的关键，在（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次

方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中

用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，

难度较大．