高中数学知识点

-

.z.

高中数学必修+选修知识点归纳

新课标人教A版

一、集合

1、把研究的对象统称为元素，把一些元素组成的总

体叫做集合。集合三要素：确定性、互异性、无

序性。

2、只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个

集合相等。

3、常见集合：正整数集合：*N或



N，整数集合：

Z，有理数集合：Q，实数集合：R.

4、集合的表示方法：列举法、描述法.

§1.1.2、集合间的根本关系

1、一般地，对于两个集合A、B，如果集合A中任意

一个元素都是集合B中的元素，则称集合A是集

合B的子集。记作BA.

2、如果集合BA，但存在元素Bx，且Ax，

则称集合A是集合B的真子集.记作：AB.

3、把不含任何元素的集合叫做空集.记作：.并规定：

空集合是任何集合的子集.

4、如果集合A中含有n个元素，则集合A有n2个子

集，21n个真子集.

§1.1.3、集合间的根本运算

1、一般地，由所有属于集合A或集合B的元素组成

的集合，称为集合A与B的并集.记作：BA.

2、一般地，由属于集合A且属于集合B的所有元素

组成的集合，称为A与B的交集.记作：BA.

3、全集、补集？{|,}

U

CAxxUxU且

§1.2.1、函数的概念

1、设A、B是非空的数集，如果按照*种确定的对应

关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集

合B中都有惟一确定的数xf和它对应，则就称

BAf:为集合A到集合B的一个函数，记作：

Axxfy,.

2、一个函数的构成要素为：定义域、对应关系、值

域.如果两个函数的定义域一样，并且对应关系完

全一致，则称这两个函数相等.

§1.2.2、函数的表示法

1、函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法.

§1.3.1、单调性与最大〔小〕值

1、注意函数单调性的证明方法：

(1)定义法：设

2121

],,[xxbaxx、则

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是增函数；

],[)(0)()(

21

baxfxfxf在上是减函数.

步骤：取值—作差—变形—定号—判断

格式：解：设baxx,,

21

且

21

xx，则：



21

xfxf=…

(2)导数法：设函数)(xfy在*个区间内可导，假

设0)(



xf，则)(xf为增函数；

假设0)(



xf，则)(xf为减函数.

§1.3.2、奇偶性

1、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个

x，都有xfxf，则就称函数xf为偶

函数.偶函数图象关于y轴对称.

2、一般地，如果对于函数xf的定义域内任意一个

x，都有xfxf，则就称函数xf为奇

函数.奇函数图象关于原点对称.

知识链接：函数与导数

1、函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义：

函数)(xfy在点

0

x处的导数是曲线)(xfy在

))(,(

00

xfxP处的切线的斜率)(

0

xf



，相应的切线方

程是))((

000

xxxfyy



.

2、几种常见函数的导数

①'C0；②1')(nnnxx；

③xxcos)(sin'；④xxsin)(cos'；

⑤aaaxxln)('；⑥xxee')(；

⑦

ax

x

aln

1

)(log'；⑧

x

x

1

)(ln'

3、导数的运算法则

-

.z.

〔1〕'''()uvuv.

〔2〕'''()uvuvuv.

〔3〕

''

'

2

()(0)

uuvuv

v

vv



.

4、复合函数求导法则

复合函数(())yfgx的导数和函数

(),()yfuugx的导数间的关系为

xux

yyu



，

即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的

乘积.

解题步骤:分层—层层求导—作积复原.

5、函数的极值

(1)极值定义：

极值是在

0

x附近所有的点，都有)(xf＜)(

0

xf，

则)(

0

xf是函数)(xf的极大值；

极值是在

0

x附近所有的点，都有)(xf＞)(

0

xf，

则)(

0

xf是函数)(xf的极小值.

(2)判别方法：

①如果在

0

x附近的左侧)('xf＞0，右侧)('xf＜0，

则)(

0

xf是极大值；

②如果在

0

x附近的左侧)('xf＜0，右侧)('xf＞0，

则)(

0

xf是极小值.

6、求函数的最值

(1)求()yfx在(,)ab内的极值〔极大或者极小值〕

(2)将()yfx的各极值点与(),()fafb比拟，其中

最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。

§2.1.1、指数与指数幂的运算

1、一般地，如果axn，则x叫做a的n次方根。

其中



Nnn,1.

2、当n为奇数时，aan

n；

当n为偶数时，aan

n.

3、我们规定：

⑴m

n

m

n

aa

1,,,0*mNnma；

⑵0

1

n

a

a

n

n；

4、运算性质：

⑴Qsraaaasrsr,,0；

⑵Qsraaars

s

r,,0；

⑶Qrbabaabrr

r,0,0.

§2.1.2、指数函数及其性质

1、记住图象：1,0aaayx

2、性质：

§2.2.1、对数与对数运算

1、指数与对数互化式：

logx

a

aNxN

；

2、对数恒等式：log

a

NaN.

3、根本性质：01log

a

，1loga

a

.

4、运算性质：当0,0,1,0NMaa时：

⑴NMMN

aaa

logloglog；

⑵NM

N

M

aaa

logloglog













；

⑶MnM

a

n

a

loglog.

1a10a

图

象

-1

-4-20

1

-1

-4-20

1

性

质

(1)定义域：R

〔2〕值域：〔0，+∞〕

〔3〕过定点〔0，1〕，即*=0时，y=1

〔4〕在R上是增函数〔4〕在R上是减函数

(5)0,1xxa;

0,01xxa

(5)0,01xxa;

0,1xxa

0

a>1

1

y=ax

o

y

x

-

.z.

5、换底公式：

a

b

b

c

c

alog

log

log

0,1,0,1,0bccaa

.

6、重要公式：loglog

n

m

a

a

m

bb

n



7、倒数关系：

a

b

b

alog

1

log1,0,1,0bbaa

.

§2..2.2、对数函数及其性质

1、记住图象：1,0logaaxy

a

2、性质：

§2.3、幂函数

1、几种幂函数的图象：

§3.1.1、方程的根与函数的零点

1、方程0xf有实根

函数xfy的图象与x轴有交点

函数xfy有零点.

2、零点存在性定理：

如果函数xfy在区间ba,上的图象是连续不断

的一条曲线，并且有0bfaf，则函数xfy

在区间ba,内有零点，即存在bac,，使得

0cf，这个c也就是方程0xf的根.

第一章：空间几何体

1、空间几何体的构造

⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：

圆柱、圆锥、圆台、球。

⑵棱柱：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且

每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围

成的多面体叫做棱柱。

⑶棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与

截面之间的局部，这样的多面体叫做棱台。

2、空间几何体的三视图和直观图

把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影

的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫

平行投影，平行投影的投影线是平行的。

3、空间几何体的外表积与体积

⑴圆柱侧面积；lrS2

侧面

⑵圆锥侧面积：lrS

侧面

⑶圆台侧面积：lRlrS

侧面

⑷体积公式：

hSV

柱体

；hSV

3

1

锥体

；

⑸球的外表积和体积：

32

3

4

4RVRS

球球

，.

第二章：点、直线、平面之间的位置关系

1、公理1：如果一条直线上两点在一个平面内，则这条直

线在此平面内。

2、公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

3、公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，则它们

有且只有一条过该点的公共直线。

4、公理4：平行于同一条直线的两条直线平行.

5、定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两

个角相等或互补。

6、线线位置关系：平行、相交、异面。

7、线面位置关系：直线在平面内、直线和平面平行、直

线和平面相交。

8、面面位置关系：平行、相交。

9、线面平行：

⑴判定：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则

该直线与此平面平行〔简称线线平行，则线面平行〕。

⑵性质：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一

平面与此平面的交线与该直线平行〔简称线面平行，则

线线平行〕。

10、面面平行：

⑴判定：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，

则这两个平面平行〔简称线面平行，则面面平行〕。

⑵性质：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则它

们的交线平行〔简称面面平行，则线线平行〕。

1a10a

图

象

2.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-10

1

1

2.5

1.5

0.5

-0.5

-1

-1.5

-2

-2.5

-10

1

1

性

质

(1)定义域：〔0，+∞〕

〔2〕值域：R

〔3〕过定点〔1，0〕，即*=1时，y=0

〔4〕在〔0，+∞〕上是增函数〔4〕在〔0，+∞〕上是减函数

(5)0log,1xx

a

；

0log,10xx

a

(5)0log,1xx

a

；

0log,10xx

a

-

.z.

11、线面垂直：

⑴定义：如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，

则就说这条直线和这个平面垂直。

⑵判定：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，

则该直线与此平面垂直〔简称线线垂直，则线面垂直〕。

⑶性质：垂直于同一个平面的两条直线平行。

12、面面垂直：

⑴定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面

角，就说这两个平面互相垂直。

⑵判定：一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个

平面垂直〔简称线面垂直，则面面垂直〕。

⑶性质：两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的

直线垂直于另一个平面。〔简称面面垂直，则线面垂直〕。

直线与方程

1、倾斜角与斜率：

12

12tan

xx

yy

k







2、直线方程：

⑴点斜式：

00

xxkyy

⑵斜截式：bkxy

⑶两点式：121

121

yyyy

xxxx







⑷截距式：1

xy

ab



⑸一般式：0CByAx

3、对于直线：

222

111

:

,:

bxkyl

bxkyl





有：

⑴













21

21

21

//

bb

kk

ll；

⑵

1

l和

2

l相交

12

kk

；

⑶

1

l和

2

l重合













21

21

bb

kk

；

⑷1

2121

kkll.

4、对于直线：

0:

,0:

2222

1111





CyBxAl

CyBxAl

有：

⑴













1221

1221

21

//

CBCB

BABA

ll；

⑵

1

l和

2

l相交

1221

BABA；

⑶

1

l和

2

l重合













1221

1221

CBCB

BABA

；

⑷0

212121

BBAAll.

5、两点间距离公式：

6、点到直线距离公式：

7、两平行线间的距离公式：

1

l：0

1

CByAx与

2

l：0

2

CByAx平行，

则

22

21

BA

CC

d







第四章：圆与方程

1、圆的方程：

⑴标准方程：2

22rbyax

其中圆心为(,)ab，半径为

r

.

⑵一般方程：022FEyDxyx.

其中圆心为(,)

22

DE

，半径为22

1

4

2

rDEF.

2、直线与圆的位置关系

直线0CByAx与圆222)()(rbyax

的位置关系有三种:

0相离rd;

0相切rd;

0相交rd.

弦长公式：222drl

3、两圆位置关系：

21

OOd

⑴外离：rRd；

⑵外切：rRd；

⑶相交：rRdrR；

⑷内切：rRd；

⑸内含：rRd.

3、空间中两点间距离公式：

-

.z.

统计

1、抽样方法：

①简单随机抽样〔总体个数较少〕

②系统抽样〔总体个数较多〕

③分层抽样〔总体中差异明显〕

注意：在N个个体的总体中抽取出n个个体组成样本，

每个个体被抽到的时机〔概率〕均为

N

n

。

2、总体分布的估计：

⑴一表二图：

①频率分布表——数据详实

②频率分布直方图——分布直观

③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势

注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为1。

⑵茎叶图：

①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据

的分布，以及中位数、众位数等。

②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大

书写，一样的数据重复写。

3、总体特征数的估计：

⑴平均数：

n

xxxx

xn







321；

取值为

n

xxx,,,

21

的频率分别为

n

ppp,,,

21

，则其

平均数为

nn

pxpxpx

2211

；

注意：频率分布表计算平均数要取组中值。

⑵方差与标准差：一组样本数据

n

xxx,,,

21



方差：

2

1

2)(

1





n

i

i

xx

n

s；

标准差：

2

1

)(

1





n

i

i

xx

n

s

注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。

平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的

稳定水平。

⑶线性回归方程

①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；

②制作散点图，判断线性相关关系

③线性回归方程：abxy

〔最小二乘法〕

1

2

2

1

n

ii

i

n

i

i

xynxy

b

xnx

aybx

































注意：线性回归直线经过定),(yx。

第三章：概率

1、随机事件及其概率：

随机事件A的概率：

1)(0,)(AP

n

m

AP

.

2、古典概型：

⑴特点：

①所有的根本领件只有有限个；

②每个根本领件都是等可能发生。

⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能根本领

件共有n个，事件A包含了其中的m个根本领件，则

事件A发生的概率

n

m

AP)(

.

3、几何概型：

⑴几何概型的特点：

①所有的根本领件是无限个；

②每个根本领件都是等可能发生。

⑵几何概型概率计算公式：

的测度

的测度

D

d

AP)(

；

其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、

体积等。

4、互斥事件：

⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；

⑵如果事件

n

AAA,,,

21

任意两个都是互斥事件，则称

事件

n

AAA,,,

21

彼此互斥。

⑶如果事件A，B互斥，则事件A+B发生的概率，等

于事件A，B发生的概率的和，

即：)()()(BPAPBAP

⑷如果事件

n

AAA,,,

21

彼此互斥，则有：

⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称

这两个事件为对立事件。

①事件

A

的对立事件记作A

②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事

件。

必修4数学知识点

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.z.

第一章：三角函数

§1.1.1、任意角

1、正角、负角、零角、象限角的概念.

2、与角终边一样的角的集合：

Zkk,2.

§1.1.2、弧度制

1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度

的角.

2、

r

l

.

3、弧长公式：R

Rn

l





180

.

4、扇形面积公式：lR

Rn

S

2

1

360

2





.

§1.2.1、任意角的三角函数

1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点

yxP,，则：

x

y

xytan,cos,sin

2、设点,Axy为角终边上任意一点，则：〔设

22rxy〕

sin

y

r

，cos

x

r

，tan

y

x

，cot

x

y



3、sin，

cos

，tan在四个象限的符号和三角

函数线的画法.

§1.2.2、同角三角函数的

根本关系式

1、平方关系：1cossin22.

2、商数关系：







cos

sin

tan.

3、倒数关系：tancot1

§1.3、三角函数的诱导公式

〔概括为"奇变偶不变，符号看象限〞

Zk〕

1、诱导公式一：





.tan2tan

,cos2cos

,sin2sin













k

k

k

〔其中：Zk〕

2、诱导公式二：

3、诱导公式三：

4、诱导公式四：

5、诱导公式五：

6、诱导公式六：

§1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质

1、记住正弦、余弦函数图象：

2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定

义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、

奇偶性、单调性、周期性.

3、会用五点法作图.

sinyx在[0,2]x上的五个关键点为：

3

0010-120

22



（，）（，，）（，，）（，，）（，，）.

§1.4.3、正切函数的图象

与性质

1、记住正切函数的图象：

y=tanx

3



2





2

-

3



2

-



-



2

o

y

x

3、正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性.

周期函数定义：对于函数xf

，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有

xfTxf，则函数xf

就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.

图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质

xysinxycos

xytan

1

-1

y=sinx

-3



2

-5



2

-7



2

7



2

5



2

3



2



2

-



2

-4



-3



-2



4



3



2





-



o

y

x

T

M

A

O

P

x

y

-

.z.

图象

定义域

RR},

2

|{Zkkxx



值域[-1,1][-1,1]

R

最值max

min

2,1

2

2,1

2

xkkZy

xkkZy













时，

时，

max

min

2,1

2,1

xkkZy

xkkZy









时，

时，

无

周期性2T2TT

奇偶性

奇偶奇

单调性

Zk

在

[2,2]

22

kk





上单调递增

在3

[2,2]

22

kk





上单调递减

在[2,2]kk上单调递增

在[2,2]kk上单调递减

在

(,)

22

kk





上单调递增

对称性

Zk

对称轴方程：

2

xk





对称中心(,0)k

对称轴方程：

xk

对称中心(,0)

2

k





无对称轴

对称中心,0)(

2

k

§1.5、函数xAysin的图象

1、对于函数：

sin0,0yAxBA的周期

2、能够讲出函数xysin的图象与

sinyAxB的图象之间的平移伸缩变

换关系.

①先平移后伸缩：

sinyx平移||个单位sinyx

〔左加右减〕

横坐标不变sinyAx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变sinyAx

横坐标变为原来的

1

||



倍

平移||B个单位sinyAxB

〔上加下减〕

②先伸缩后平移：

sinyx横坐标不变sinyAx

纵坐标变为原来的A倍

纵坐标不变sinyAx

横坐标变为原来的

1

||



倍

平移





个单位sinyAx

〔左加右减〕

平移||B个单位sinyAxB

〔上加下减〕

-

.z.

3、三角函数的周期，对称轴和对称中心

函数sin()yx，*∈R及函数cos()yx，

*∈R(A,,为常数，且A≠0)的周期

2

||

T





；函数

tan()yx，,

2

xkkZ



(A,ω,为常数，

且A≠0)的周期

||

T





.

对于sin()yAx和cos()yAx来

说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系.

求函数sin()yAx图像的对称轴与对称中心，

只需令()

2

xkkZ



与()xkkZ

解出x即可.

4、由图像确定三角函数的解析式

利用图像特征：maxmin

2

yy

A



，maxmin

2

yy

B



.

要根据周期来求,要用图像的关键点来求.

第三章、三角恒等变换

§3.1.2、两角和与差的正弦、余弦、正切公式

1、sincoscossinsin

2、sincoscossinsin

3、sinsincoscoscos

4、sinsincoscoscos

5、tantan

1tantan

tan











.

6、tantan

1tantan

tan











.

§3.1.3、二倍角的正弦、余弦、正切公式

1、cossin22sin，

变形：

1

2

sincossin2.

2、22sincos2cos

2sin21.

变形如下：

升幂公式：

2

2

1cos22cos

1cos22sin



















降幂公式：

2

2

1

cos(1cos2)

2

1

sin(1cos2)

2



















3、







2

tan1

tan2

2tan





.

4、

sin21cos2

tan

1cos2sin2













§3.2、简单的三角恒等变换

1、注意正切化弦、平方降次.

2、辅助角公式

〔其中辅助角所在象限由点(,)ab的象限决

定,tan

b

a

).

第二章：平面向量

1、三角形加法法则和平行四边形加法法则.

2、三角形减法法则和平行四边形减法法则.

向量数乘运算及其几何意义

1、规定：实数与向量

a

的积是一个向量，这种运

算叫做向量的数乘.记作：a，它的长度和方向

规定如下：

⑴

aa

,

⑵当0时,a的方向与

a

的方向一样；当0

时,a的方向与

a

的方向相反.

2、平面向量共线定理：向量0aa与

b

共线，当

且仅当有唯一一个实数，使

ab

.

平面向量根本定理：如果

21

,ee是同一平面内的两个不

共线向量，则对于这一平面内任一向量

a

，有

且只有一对实数

21

,，使

2211

eea.

§2.3.2、平面向量的正交分解及坐标表

1、yxjyixa,.

§2.3.3、平面向量的坐标运算

1、设

2211

,,,yxbyxa，则：

-

.z.

⑴

2121

,yyxxba，

⑵

2121

,yyxxba，

⑶

11

,yxa，

⑷

1221

//yxyxba.

2、

2211

,,,yxByxA则：

1212

,yyxxAB.

△ABC中：

1、设

332211

,,,,,yxCyxByxA，则

⑴线段AB中点坐标为

22

2121,yyxx，

⑵△ABC的重心坐标为

33

321321,yyyxxx.

§2.4.1、平面向量数量积

1、cosbaba

.

2、

a

在

b

方向上的投影为：cosa

.

3、

2

2aa.

4、

2aa.

5、

0baba

.

§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角

1、设

2211

,,,yxbyxa，则：

⑴

2121

yyxxba

⑵2

1

2

1

yxa

⑶

1212

00ababxxyy

⑷

1221

//0ababxyxy

2、设

2211

,,,yxByxA，则：

2

12

2

12

yyxxAB

.

3、两向量的夹角公式

必修5数学知识点

第一章：解三角形

1、正弦定理：

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

.

〔其中R为ABC外接圆的半径〕

用途：⑴三角形两角和任一边，求其它元素；

⑵三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

2、余弦定理：

用途：⑴三角形两边及其夹角，求其它元素；

⑵三角形三边，求其它元素。

做题中两个定理经常结合使用.

3、三角形面积公式：

4、三角形内角和定理：

在△ABC中，有

()ABCCAB

222

CAB



222()CAB.

5、一个常用结论：

在ABC中，sinsin;abABAB

假设sin2sin2,.

2

ABABAB



则或特别注

意，在三角函数中，sinsinABAB不成立。

第二章：数列

1、数列中

n

a

与

n

S

之间的关系：

1

1

,(1)

,(2).n

nn

Sn

a

SSn















注意通项能否合并。

2、等差数列：

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前

一项的差等于同一个常数，即

n

a－

1n

a=d，〔n≥

2，n∈N〕，

则这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：假设三数aAb、、成等差数列

2

ab

A





⑶通项公式：

1

(1)()

nm

aandanmd

或(

n

apnqpq、是常数）.

⑷前

n

项和公式：

⑸常用性质：

①假设



Nqpnmqpnm,,,，则

-

.z.

qpnm

aaaa

；

②下标为等差数列的项,,,

2mkmkk

aaa



，仍组成

等差数列；

③数列ba

n

〔b,为常数〕仍为等差数列；

④假设{}

n

a、{}

n

b是等差数列，则{}

n

ka、{}

nn

kapb

(k、p是非零常数)、*{}(,)

pnq

apqN



、，…也成等

差数列。

⑤单调性：

n

a的公差为d，则：

ⅰ〕0d

n

a为递增数列；

ⅱ〕0d

n

a为递减数列；

ⅲ〕0d

n

a为常数列；

⑥数列{

n

a}为等差数列

n

apnq〔p,q是常数〕

⑦假设等差数列

n

a的前

n

项和

n

S，则

k

S、

kk

SS

2

、

kk

SS

23

…是等差数列。

3、等比数列

⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前

一项的比等于同一个常数，则这个数列就叫做等比

数列。

⑵等比中项：假设三数ab、G、成等比数列

2,Gab〔ab同号〕。反之不一定成立。

⑶通项公式：1

1

nnm

nm

aaqaq

⑷前

n

项和公式：

1

1

1

11

n

n

n

aq

aaq

S

qq









⑸常用性质

①假设



Nqpnmqpnm,,,，则

mnpq

aaaa

；

②,,,

2mkmkk

aaa



为等比数列，公比为kq(下标成

等差数列,则对应的项成等比数列)

③数列

n

a〔为不等于零的常数〕仍是公比为q的

等比数列；正项等比数列

n

a；则lg

n

a是公差为

lgq的等差数列；

④假设

n

a是等比数列，则2

nn

caa，，

1

n

a







，

()r

n

arZ是等比数列，公比依次是2

1

.rqqq

q

，，，

⑤单调性：

11

0,10,01aqaq或

n

a为递增数列；



11

0,010,1

n

aqaqa或为递减数列；

1

n

qa为常数列；

0

n

qa为摆动数列；

⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。

⑦假设等比数列

n

a的前

n

项和

n

S，则

k

S、

kk

SS

2

、

kk

SS

23

…是等比数列.

4、非等差、等比数列通项公式的求法

类型Ⅰ观察法：数列前假设干项，求该数列的通

项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根

据规律写出此数列的一个通项。

类型Ⅱ公式法：假设数列的前

n

项和

n

S与

n

a的关

系，求数列

n

a的通项

n

a可用公式

1

1

,(1)

,(2)n

nn

Sn

a

SSn















构造两式作差求解。

类型Ⅲ累加法：

形如)(

1

nfaa

nn





型的递推数列〔其中)(nf是关

于

n

的函数〕可构造：

1

12

21

(1)

(2)

..

(1

.

)

nn

nn

aafn

aafn

aaf



























类型Ⅳ累乘法：

形如

1

()

nn

aafn



1()n

n

a

fn

a











型的递推数列〔其

-

.z.

中)(nf是关于

n

的函数〕可构造：

1

1

2

2

1

(1)

(

.

2)

(1

..

)

n

n

n

n

a

fn

a

a

fn

a

a

f

a



































类型Ⅴ构造数列法：

㈠形如qpaa

nn



1

〔其中,pq均为常数且0p〕

型的递推式：

〔1〕假设1p时，数列{

n

a}为等差数列;

〔2〕假设0q时，数列{

n

a}为等比数列;

类型Ⅶ倒数变换法：

形如

11nnnn

aapaa



〔p为常数且0p〕的递推

式：两边同除于

1nn

aa



，转化为

1

11

nn

p

aa



形式，

化归为qpaa

nn



1

型求出1

n

a

的表达式，再求

n

a；

5、非等差、等比数列前

n

项和公式的求法

⑴错位相减法

①假设数列

n

a为等差数列，数列

n

b为等比数

列，则数列

nn

ab的求和就要采用此法.

②将数列

nn

ab的每一项分别乘以

n

b的公比，

然后在错位相减，进而可得到数列

nn

ab的前

n

项

和.

此法是在推导等比数列的前

n

项和公式时所用的方

法.

⑵裂项相消法

一般地，当数列的通项

12

()()n

c

a

anbanb



12

(,,,abbc为常数）时，往往

可将

n

a变成两项的差，采用裂项相消法求和.

可用待定系数法进展裂项：

设

12

n

a

anbanb







，通分整理后与原式相

比拟，根据对应项系数相等得

21

c

bb





，从而可得

常见的拆项公式有：

①

111

(1)1nnnn





；

②

1111

();

(21)(21)22121nnnn





③

11

();ab

ab

ab







⑶分组法求和

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，

假设将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或

常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可.一般分

两步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组.

⑷倒序相加法

如果一个数列

n

a，与首末两项等距的两项之和等于

首末两项之和，则可用把正着写与倒着写的两个和式

相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为

倒序相加法。特征：

121

...

nn

aaaa





⑸记住常见数列的前

n

项和：

①

(1)

123...;

2

nn

n





②2135...(21);nn

③2222

1

123...(1)(21).

6

nnnn

第三章：不等式

§3.1、不等关系与不等式

1、不等式的根本性质

①〔对称性〕abba

②〔传递性〕,abbcac

-

.z.

③〔可加性〕abacbc

〔同向可加性〕dbcadcba,

〔异向可减性〕dbcadcba,

④〔可积性〕bcaccba0,

⑤〔同向正数可乘性〕0,0abcdacbd

〔异向正数可除性〕

0,0

ab

abcd

cd



⑥〔平方法则〕

0(,1)nnababnNn且

⑦〔开方法则〕

0(,1)nnababnNn且

⑧〔倒数法则〕

ba

ba

ba

ba

11

0;

11

0

2、几个重要不等式

①222abababR，,〔当且仅当ab时取

""号〕.变形公式：

22

.

2

ab

ab





②〔根本不等式〕

2

ab

ab



abR，,〔当且

仅当ab时取到等号〕.

变形公式：

2abab

2

.

2

ab

ab











用根本不等式求最值时〔积定和最小，和定积最

大〕，要注意满足三个条件"一正、二定、三相等〞.

⑥0,2

ba

ab

ab

若则〔当仅当a=b时取等号〕

0,2

ba

ab

ab

若则〔当仅当a=b时取等号〕

3、几个著名不等式

5、一元二次不等式的解法

求一元二次不等式20(0)axbxc或

2(0,40)abac解集的步骤：

一化：化二次项前的系数为正数.

二判：判断对应方程的根.

三求：求对应方程的根.

四画：画出对应函数的图象.

五解集：根据图象写出不等式的解集.

规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.

6、高次不等式的解法：穿根法.

分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿

〔奇穿偶切〕，结合原式不等号的方向，写出不等式的

解集.

7、分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

()

0()()0

()

()()0

()

0

()0

()

fx

fxgx

gx

fxgx

fx

gx

gx















〔“或”时同理〕

规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.

9、指数不等式的解法：

⑴当1a时,()()()()fxgxaafxgx

⑵当01a时,()()()()fxgxaafxgx

规律：根据指数函数的性质转化.

10、对数不等式的解法

⑴当1a

时,

()0

log()log()()0

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















⑵当01a

时,

()0

log()log()()0.

()()

aa

fx

fxgxgx

fxgx

















规律：根据对数函数的性质转化.

11、含绝对值不等式的解法：

⑴定义法：

(0)

.

(0)

aa

a

aa













⑵平方法：22()()()().fxgxfxgx

⑶同解变形法，其同解定理有：

①(0);xaaxaa

②(0);xaxaxaa或

③()()()()()(()0)fxgxgxfxgxgx

④()()()()()()(()0)fxgxfxgxfxgxgx或

规律：关键是去掉绝对值的符号.

12、含有两个〔或两个以上〕绝对值的不等式的解法：

规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值、每段中

取交集，最后取各段的并集.

-

.z.

13、含参数的不等式的解法

解形如20axbxc且含参数的不等式时，要

对参数进展分类讨论，分类讨论的标准有：

⑴讨论

a

与0的大小；

⑵讨论与0的大小；

⑶讨论两根的大小.

14、恒成立问题

⑴不等式20axbxc的解集是全体实数〔或恒成

立〕的条件是：

①当0a时0,0;bc

②当0a时

0

0.

a











⑵不等式20axbxc的解集是全体实数〔或恒成

立〕的条件是：

①当0a时0,0;bc

②当0a时

0

0.

a











⑶()fxa恒成立

max

();fxa

()fxa恒成立

max

();fxa

⑷()fxa恒成立

min

();fxa

()fxa恒成立

min

().fxa

专题一：常用逻辑用语

1、四种命题及其相互关系

四种命题的真假性之间的关系：

⑴、两个命题互为逆否命题，它们有一样的真假性；

⑵、两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性

没有关系．

3、充分条件、必要条件与充要条件

假设pq，但qp，则p是q充分而不必要条件;

假设pq，但qp，则p是q必要而不充分条件;

假设pq

且

qp

，则p是q的充要条件；

假设pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件.

4、复合命题

⑴复合命题有三种形式：p或q〔pq〕；p且q

〔pq〕；非p〔p〕.

⑵复合命题的真假判断

"p或q〞形式复合命题的真假判断方法：一真必真；

"p且q〞形式复合命题的真假判断方法：一假必假；

"非p〞形式复合命题的真假判断方法：真假相对.

5、全称量词与存在量词

⑴全称量词与全称命题

短语"所有的〞"任意一个〞在逻辑中通常叫做全称

量词，并用符号"〞表示.含有全称量词的命题，叫做

全称命题.

⑵存在量词与特称命题

短语"存在一个〞"至少有一个〞在逻辑中通常叫做

存在量词，并用符号"〞表示.含有存在量词的命题，

叫做特称命题.

⑶全称命题与特称命题的符号表示及否认

①全称命题p：,()xpx，它的否认p：

00

,().xpx全称命题的否认是特称命题．

②特称命题p：

00

,(),xpx，它的否认p：

,().xpx特称命题的否认是全称命题.

专题二：圆锥曲线与方程1．椭圆

-

.z.

3．抛物线

专题五：数系的扩大与复数

1、复数的概念

⑴虚数单位i；

⑵复数的代数形式(,)zabiabR；

⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数.

2、复数的分类

复数,zabiabR

3、相关公式

⑴dcbadicbia且,

⑵00babia

⑶22babiaz

⑷zabi

zz，指两复数实部一样，虚部互为相反数〔互为共

轭复数〕.

4、复数运算

⑴复数加减法：idbcadicbia；

⑵复数的乘法：

焦点的位置焦点在

x

轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程22

22

10

xy

ab

ab

22

22

10

yx

ab

ab



第一定义

到两定点

2

1

FF、的距离之和等于常数2

a

，即

2

1

||||2MFMFa〔

2

1

2||aFF〕

范围axa且bybbxb且aya

顶点



1

,0a、

2

,0a



1

0,b、

2

0,b



1

0,a、

2

0,a



1

,0b、

2

,0b

轴长长轴的长2a短轴的长2b

对称性

关于

x

轴、y轴对称，关于原点中心对称

焦点

1

,0Fc、

2

,0Fc

1

0,Fc、

2

0,Fc

焦距222

12

2()FFccab

离心率

2222

222

1(01)

ccabb

ee

aaaa





〔焦点〕弦长公式

1,12,2

(),()AxyBxy

，222

121212

11()4ABkxxkxxxx

焦点的位置焦点在

x

轴上

焦点在y轴上

图形

标准方程22

22

10,0

xy

ab

ab

22

22

10,0

yx

ab

ab



第一定义

到两定点

2

1

FF、

的距离之差的绝对值等于常数2a，即

2

1

||||2MFMFa

〔

2

1

02||aFF

〕

范围xa或xa，yRya或ya，xR

顶点

1

,0a、

2

,0a

1

0,a、

2

0,a

轴长实轴的长2a虚轴的长2b

对称性

关于

x

轴、y轴对称，关于原点中心对称

图形

-

.z.

abicdiacbdbcadi

；

⑶复数的除法：





abicdi

abi

cdicdicdi









6、复数的几何意义

复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中x轴叫

做复平面的实轴，y轴叫做复平面的虚轴.

专题六：排列组合与二项式定理

1、根本计数原理

⑴分类加法计数原理：(分类相加)

做一件事情，完成它有n类方法，在第一类方法中有

1

m种不同的方法，在第二类方法中有

2

m种不同的方

法……在第n类方法中有

n

m种不同的方法.则完成这

件事情共有

n

mmmN

21

种不同的方法.

⑵分步乘法计数原理：(分步相乘)

做一件事情，完成它需要n个步骤，做第一个步骤有

1

m种不同的方法，做第二个步骤有

2

m种不同的方

法……做第n个步骤有

n

m种不同的方法.则完成这件

事情共有

n

mmmN

21

种不同的方法.

⑸排列数公式：

①121mnnnnAm

n



!mn

n

Am

n



！

；

②!nAn

n

，规定1!0.

⑹组合数公式：

①



!

121

m

mnnnn

Cm

n







或

!!mnm

n

Cm

n



！

；

②mn

n

m

n

CC，规定10

n

C.

⑺排列与组合的区别：排列有顺序，组合无顺序.

⑻排列与组合的联系：m

m

m

n

m

n

ACA，即排列就是先

组合再全排列.



(1)(1)!

()

(1)21!!

m

m

n

n

m

m

A

nnnmn

Cmn

Ammmnm







⑼排列与组合的两个性质性质

排列1

1





m

n

m

n

m

n

mAAA；组合1

1





m

n

m

n

m

n

CCC.

⑽解排列组合问题的方法

①特殊元素、特殊位置优先法〔元素优先法：先考虑

有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优

先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他

位置〕.

②间接法〔对有限制条件的问题，先从总体考虑，再

把不符合条件的所有情况去掉〕.

③相邻问题捆绑法〔把相邻的假设干个特殊元素"捆

绑〞为一个大元素，然后再与其余"普通元素〞全排

列，最后再"松绑〞，将特殊元素在这些位置上全排列〕.

④不相邻(相间)问题插空法〔*些元素不能相邻或*些元

素要在*特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限

制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求

插入排好的元素之间〕.

⑤有序问题组合法.

⑥选取问题先选后排法.

⑦至多至少问题间接法.

⑧一样元素分组可采用隔板法.

⑨分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，

平均分成n组问题别忘除以n！.

3、二项式定理

⑴二项展开公式：

011222

n

nnnrnrr

nnnn

abCaCabCabCab

nn

n

CbnN



.

⑵二项展开式的通项公式：









NnNrnrbaCTrrnr

nr

,,0

1

.主要用途

是求指定的项.

⑶项的系数与二项式系数

项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当

二项式的两个项的系数都为1时，系数就是二项式系

数.如

在()naxb的展开式中，第1r项的二项式系数

为r

n

C，第1r项的系数为rnrr

n

Cab；而

1

()nx

x

的

展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为

正，而项的系数不一定为正.

⑷nx1的展开式：

0221101xCxCxCxCxn

n

n

n

n

n

n

n

n，

-

.z.

假设令1x，则有

n

nnnn

n

nCCCC210211.

1、根本概念

⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件.

当AB、是互斥事件时，则事件AB发生〔即

AB、中有一个发生〕的概率，等于事件AB、分别发

生的概率的和，即

()()()PABPAPB.

⑵对立事件：其中必有一个发生的两个互斥事件.事件

A的对立事件通常记着A.

对立事件的概率和等于1.

()1()PAPA.

⑶相互独立事件：事件A〔或B〕是否发生对事件B

〔或A〕发生的概率没有影响，〔即其中一个事件是

否发生对另一个事件发生的概率没有影响〕.这样的两

个事件叫做相互独立事件.

当AB、是相互独立事件时，则事件AB发生

〔即AB、同时发生〕的概率，等于事件AB、分别发

生的概率的积.即

()()()PABPAPB.

假设A、B两事件相互独立，则A与B、A与B、

A与B也都是相互独立的.

⑷独立重复试验

①一般地，在一样条件下重复做的n次试验称为

n次独立重复试验.

②独立重复试验的概率公式

如果在1次试验中*事件发生的概率是p，则在n

次独立重复试验中这个试验恰好发生k次的概率

2、离散型随机变量

⑴随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量

来表示，则这样的变量叫做随机变量随机变量常用字

母,,,XY等表示.

⑵离散型随机变量:对于随机变量可能取的值，可

以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型

随机变量.

⑶连续型随机变量:对于随机变量可能取的值，可

以取*一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随

机变量.

⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联

系:离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表

示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以

按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可

以一一列出.

假设X是随机变量，(,YaXbab是常数〕

则Y也是随机变量并且不改变其属性〔离散型、连续

型〕.

3、离散型随机变量的分布列

⑴概率分布〔分布列〕

设离散型随机变量X可能取的不同值为

12

,xx，…，

i

x

，…，

n

x，

X的每一个值

i

x

〔1,2,,in〕的概率

()

ii

PXxp，则称表

X

1

x

2

x

…

i

x

…

n

x

P

1

p

2

p

…

i

p

…

n

p

为随机变量X的概率分布，简称X的分布列.

性质：①0,1,2,...;

i

pin②

1

1.

n

i

i

p





⑵两点分布

如果随机变量X的分布列为

则称X服从两点分布，并称(1)pPX为成功概

率.

⑶二项分布

如果在一次试验中*事件发生的概率是p，则在n

次独立重复试验中这个事件恰好发生k次的概率是

其中0,1,2,...,,1knqp，于是得到随机

变量X的概率分布如下：

X01…k…n

P00n

n

Cpq111n

n

Cpq…kknk

n

Cpq…0nn

n

Cpq

我们称这样的随机变量X服从二项分布，记作

pnBX,~，并称p为成功概率.

判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点：

①对立性：即一次试验中事件发生与否二者必居其一；

②重复性：即试验是独立重复地进展了n次;

③等概率性：在每次试验中事件发生的概率均相等.

注：⑴二项分布的模型是有放回抽样；

⑵二项分布中的参数是,,.pkn

⑷超几何分布

一般地,在含有M件次品的N件产品中，任取n

X

01

P

1p

p

-

.z.

件,其中恰有X件次品数,则事件Xk发生的概率

为()(0,1,2,,)

knk

MNM

n

N

CC

PXkkm

C



,于是得

到随机变量X的概率分布如下：

其中min,mMn,*,,,,nNMNnMNN≤≤.

我们称这样的随机变量X的分布列为超几何分布列,

且称随机变量X服从超几何分布.

注:⑴超几何分布的模型是不放回抽样；

⑵超几何分布中的参数是,,.MNn其意义分别是

总体中的个体总数、N中一类的总数、样本容量.

4、离散型随机变量的均值与方差

⑴离散型随机变量的均值

一般地，假设离散型随机变量X的分布列为

X

1

x

2

x

…

i

x

…

n

x

P

1

p

2

p

…

i

p

…

n

p

则称



1122iinn

EXxpxpxpxp

为离散型

随机变量X的均值或数学期望〔简称期望〕.它反映了

离散型随机变量取值的平均水平.

性质：①()().EaXbaEXb

②假设X服从两点分布，则().EXp

③假设pnBX,~，则().EXnp

⑵离散型随机变量的方差

一般地，假设离散型随机变量X的分布列为

X

1

x

2

x

…

i

x

…

n

x

P

1

p

2

p

…

i

p

…

n

p

则称

2

1

()(())

n

ii

i

DXxEXp



为离散型随机变量X的

方差，并称其算术平方根()DX为随机变量X的标

准差.它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集

中与离散的程度.

()DX越小，X的稳定性越高，波动越小，取值越集

中；()DX越大，X的稳定性越差，波动越大，取值

越分散.

性质：①2()().DaXbaDX

②假设X服从两点分布，则()(1).DXpP

③假设pnBX,~，则()(1).DXnpP

5、正态分布

：

值

2

2

()

()()()()

nadbc

K

abcdacbd







，其中

nabcd为样本容量，K2的值越大，说明"*

与Y有关系〞成立的可能性越大.

随机变量2K越大，说明两个分类变量，关系越强；

反之，越弱。

23.841K时，*与Y无关；23.841K时，*

与Y有95%可能性有关；26.635K时*与Y有99%

可能性有关.

X

01…m

P

00n

MNM

n

N

CC

C





11n

MNM

n

N

CC

C



…

mnm

MNM

n

N

CC

C



