等腰三角形的判定

谈谈等腰三角形的判定

等腰三角形是一种特殊的三角形。如何判定一个三角形是等腰三角形，是等腰三角形学习中

的一个重要内容。下面就等腰三角形的判定常用的方法归纳如下，供同学们学习时参考。

一、用两角相等的三角形是等腰三角形判定

1、将矩形沿着对角线折叠，证重合部分是等腰三角形

例1、已知如图1所示，把一张矩形纸片ABCD沿对角线对折，使点C恰好落在E处，则重

合部分的三角形BOD是等腰三角形吗？为什么？

分析：解答这类问题，同学们要学会以下几点：

（1）解题的基本要领。先正面回答提出的问题，是还是不是；其次，利用所学的知识证明

自己的回答是正确的。

（2）明确解答时所用到的数学知识

因为是把一张矩形纸片ABCD沿对角线对折的，所以就要用到轴对称的性质，轴对称的两个

图形是全等形。

（3）明确判定的依据

利用两角相等的三角形是等腰三角形。

解：三角形BOD是等腰三角形

证明：因为矩形纸片ABCD沿对角线BD对折，所以△BCD≌△BED，所以∠EBD=∠CBD．

因为四边形ABCD是矩形，所以AD∥BC，所以∠ODB=∠CBD，所以∠ODB=∠OBD，所以三角

形BOD是等腰三角形（两角相等的三角形是等腰三角形）。

2、角平分线+平行线条件下的证等腰三角形

例２如图２所示，BD是∠ABC的角平分线，AD∥BC,那么，△ABD是等腰三角形吗？为什么？

证明你的猜想。

分析：解答的思路同例１.

解：△ABD是等腰三角形．

证明：因为BD是∠ABC的角平分线，所以∠１=∠２．

因为AD∥BC,所以∠３=∠２．所以∠１=∠３，所以△ABD是等腰三角形．

3、等角+平行线条件下证等腰三角形

例３已知：如图３所示，∠A=∠B，CE∥AD，CE交AB于点E。求证：△CBE是等腰三角形。

分析：条件是以角为主，且平行线也主要是提供等角，所以在解答是主要思路就是如何在三

角形CBE中找出一对相等的角．

解：因为AD∥ＣＥ,所以∠A=∠CEB．因为∠A=∠B，所以∠CEB=∠B，所以△CBE是等腰三

角形。

二、用两边相等的三角形是等腰三角形判定

4、直角坐标系中，分类找构成等腰三角形的点的坐标

例4如图4-1所示，点A的坐标是(2,2)，若点P在x轴上，且△APO是等腰三角形，则点P

的坐标不可能是（）

A．(4，0)B．（1，0）C．（-22，0）D．（2，0）

分析：要想求出所有能构成等腰三角形的点P，就需要同学们先明确如何来构造等腰三角形。

构造的方法有三种：如图4-2所示，辅助圆法：因为同圆的半径相等，所以只要是同圆的两

条不重合的半径就可以构造出一个等腰三角形。所以当以OA为等腰三角形的腰时，我们就

可以以点O为圆心，以OA长为半径画圆，以圆上任意以异于点A的点构造一条圆的半径，

则以O、A与该点为顶点的三角形一定是等腰三角形。此时有无数个等腰三角形。因为点A

的坐标是(2,2)，所以OA=22，所以圆O与x轴的交点到原点的距离为22，当交点在x

轴的正半轴上时，点的坐标为（22，0）；当交点在x轴的负半轴上时，点的坐标为（-22，

0）。所以选项C是正确的；轴对称法：等腰三角形的两条腰是关于底边上高线所在的直线

对称的，当以OA为腰，以点A的纵坐标所在的直线为对称轴，构造等腰三角形。因为点A

的坐标是(2,2)，所以点A的纵坐标所在的直线与x轴的交点坐标为（2，0），所以等腰三

角形的底边一半长为2，根据对称性，知道另一半的长为2，即离原点4个单位长，即点的

坐标是（4，0），因此选项A是正确的；线段的垂直平分线法：以线段OA的垂直平分线上

任意一点为顶点，与点O、点A都能构成等腰三角形。注意垂足必须除外。（你知道是为什

么吗？），所以此时也能构造出无数个等腰三角形。因为点A的坐标是(2,2)，所以线段的

垂直平分线与x轴的交点到原点的距离为2，此时点的坐标是（2，0），所以选项D是正确

的。解：选B。

点评：这里只是让同学们找出能构成等腰三角形，且点在x轴的点，所以其数量就是有限的。

5借助三角形的全等，巧证等腰三角形

例5已知：如图5所示，在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，AC=BD，BC，AD相交于点E．求

证：△ABE是等腰三角形。

图2

分析：如果能证明三角形ABE中，有两条边能够相等，就可以断定这个三角形是一个等腰三

角形。仔细观察图形，不难发现，在三角形ABE中极有可能相等的两条边是AE与BE。

如果我们能够证明△ACE≌△BDE，问题就迎刃而解。

证明：因为在Rt△ABC和Rt△BAD中，AB为斜边，所以∠C=∠D=90°。在三角形ACE和三

角形BDE中：∠C=∠D，∠AEC=∠BED，AC=BD，所以△ACE≌△BDE（AAS），所以AE=BE,

所以三角形ABE是等腰三角形。

6用猜想来揭示等腰三角形中的相等关系

例6)如图6，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．（1）求证：△

BCM是等腰三角形；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的

数量关系，并证明你的结论．

分析：根据条件我们利用SSS公理法，可以证明△ABC≌△DCB。借助这对全等三角形条共的

新条件，我们就可以继续证明△ABM≌△DCM，这样我们就证明三角形BCM是一个等腰三角形

了。根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，比较容易判定四边形BNCM是一个平行

四边形，结合BM=CM，我们就可以断定四边形BNCM是一个菱形，这样就得到BN与CN在数

量关系上是相等的。

证明：

（1）在△ABC和△DCB中，因为AB=DC，AC=DB，BC=CB，所以△ABC≌△DCB(SSS)，所

以∠A=∠D。在三角形ABM和三角形DCM中：∠AMB=∠DMC，∠A=∠D，AB=DC,所以△

ABM≌△DCM（AAS），所以BM=CM,所以三角形BCM是等腰三角形。

(2)线段BN与CN的数量关系是：BN=CN。

因为CN∥BD，BN∥AC，所以四边形BNCM是平行四边形；因为三角形BCM是等腰三角形，所

以BM=CM，所以四边形BNCM是菱形，所以BN=CN。

三、边、角混合找等腰三角形

例7如图7所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分线AD交BC于

点D，DE∥AC，DE交AB于点E，M为BE的中点，连结DM.在不添加任何辅助线和字母的

情况下，图中的等腰三角形是.（写出一个即可）

分析：因为AD是∠BAC的平分线，所以∠CAD=∠EAD。因为DE∥AC，所以∠CAD=∠EDA。所

以∠EDA=∠EAD，所以三角形EAD是一个等腰三角形。因为DE∥AC，∠ACB=90°，

所以∠EDB=∠ACB=90°。在Rt△EDB中，因为M为BE的中点，所以MB=MD=ME，所以三角形

MBD和三角形MDE都是等腰三角形。解：从△MBD或△MDE或△EAD中任意选取一个就可以。