二次函数

《二次函数》知识点总结

一、相关概念及定义

1二次函数的概念：一般地，形如2yaxbxc

（

abc，，

是常数，

0a

）的函数，叫做

二次函数。二次项系数

0a

，而

bc，

可以为零．二次函数的定义域是全体实数．

2二次函数2yaxbxc

的结构特征：

（1）等号左边是函数，右边是关于自变量

x

的二次式，

x

的最高次数是2．

（2）

abc，，

是常数，

a

是二次项系数，

b

是一次项系数，

c

是常数项．

二、二次函数各种形式之间的变换

1二次函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中

a

bac

k

a

b

h

4

4

2

2

，.

2二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式：①2axy；②kaxy2；

③2hxay；④khxay2；⑤cbxaxy2.

三、二次函数解析式的表示方法

1一般式：2yaxbxc

（a，

b

，c为常数，

0a

）；

2顶点式：2()yaxhk

（a，

h

，

k

为常数，

0a

）；

3交点式：

12

()()yaxxxx

（

0a

，

1

x

，

2

x

是抛物线与x轴两交点的横坐标）.

4注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可

以写成交点式，只有抛物线与x轴有交点，即240bac

时，抛物线的解析式才可以用

交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.

四、二次函数2yaxbxc

图象的画法

1五点绘图法：利用配方法将二次函数2yaxbxc

化为顶点式2()yaxhk

，确定其

开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称的描点画图.一般我们选取的

五点为：顶点、与y轴的交点0c，

、以及0c，

关于对称轴对称的点2hc，

、与x轴的

交点

1

0x，

，

2

0x，

（若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.

2画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与y轴的交点.

五、二次函数2axy的性质

六、二次函数2yaxc

的性质

七、二次函数2yaxh的性质：

a

的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上00，

y

轴

0x

时，

y

随

x

的增大而增大；

0x

时，

y

随

x

的增大而减小；

0x

时，

y

有最小值

0

．

0a

向下00，

y

轴

0x

时，

y

随

x

的增大而减小；

0x

时，

y

随

x

的增大而增大；

0x

时，

y

有最大值

0

．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上0c，

y轴

0x

时，y随x的增大而增大；

0x

时，y随

x的增大而减小；

0x

时，y有最小值c．

0a

向下0c，

y轴

0x

时，y随x的增大而减小；

0x

时，y随

x的增大而增大；

0x

时，y有最大值c．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上0h，

X=h

xh

时，y随x的增大而增大；

xh

时，y随

x的增大而减小；

xh

时，y有最小值

0

．

八、二次函数2yaxhk的性质

九、抛物线2yaxbxc的三要素：开口方向、对称轴、顶点.

1

a

的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；

a相等，抛物线的开口大小、形状相同.

2对称轴：平行于y轴（或重合）的直线记作

2

b

x

a

.特别地，y轴记作直线0x.

3顶点坐标：），（

a

bac

a

b

4

4

2

2



4顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数

a

相同，那么抛物线的开

口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同.

十、抛物线

cbxaxy2中，cba,,与函数图像的关系

1二次项系数a

二次函数2yaxbxc

中，a作为二次项系数，显然

0a

．

⑴当

0a

时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；

⑵当

0a

时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．

总结起来，a决定了抛物线开口的大小和方向，a的正负决定开口方向，

a

的大小决定开

口的大小．

2一次项系数

b

在二次项系数a确定的前提下，

b

决定了抛物线的对称轴．

⑴在

0a

的前提下，

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴在y轴左侧；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴就是y轴；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线对称轴在y轴的右侧．

⑵在

0a

的前提下，结论刚好与上述相反，即

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴在y轴右侧；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线的对称轴就是y轴；

当

0b

时，

0

2

b

a



，即抛物线对称轴在y轴的左侧．

总结起来，在a确定的前提下，

b

决定了抛物线对称轴的位置．

总结：

3常数项c

⑴当

0c

时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；

⑵当

0c

时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为

0

；

⑶当

0c

时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．

总结起来，c决定了抛物线与y轴交点的位置．

总之，只要

abc，，

都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．

0a

向下0h，

X=h

xh

时，y随x的增大而减小；

xh

时，y随

x的增大而增大；

xh

时，y有最大值

0

．

a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质

0a

向上hk，

X=h

xh

时，y随x的增大而增大；

xh

时，y随

x的增大而减小；

xh

时，y有最小值

k

．

0a

向下hk，

X=h

xh

时，y随x的增大而减小；

xh

时，y随

x的增大而增大；

xh

时，y有最大值

k

．

十一、求抛物线的顶点、对称轴的方法

1公式法：

a

bac

a

b

xacbxaxy

4

4

2

2

2

2

















，∴顶点是），（

a

bac

a

b

4

4

2

2

，对

称轴是直线

a

b

x

2

.

2配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为

(h,k)，对称轴是直线hx.

3运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂

直平分线是抛物线的对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点.

用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失.

十二、用待定系数法求二次函数的解析式

1一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对

x

、y的值，通常选择一般式.

2顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.

3交点式：已知图像与

x

轴的交点坐标

1

x、

2

x，通常选用交点式：

21

xxxxay.

十三、直线与抛物线的交点

1y轴与抛物线cbxaxy2得交点为(0,

c

).

2与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点

(h,cbhah2).

3抛物线与

x

轴的交点：二次函数cbxaxy2的图像与

x

轴的两个交点的横坐标

1

x、

2

x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根.抛物线与

x

轴的交点情况可以由

对应的一元二次方程的根的判别式判定：

①有两个交点

0

抛物线与

x

轴相交；

②有一个交点（顶点在

x

轴上）

0

抛物线与

x

轴相切；

③没有交点

0

抛物线与

x

轴相离.

4平行于

x

轴的直线与抛物线的交点

可能有0个交点、1个交点、2个交点.当有2个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵

坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根.

5一次函数0knkxy的图像l与二次函数02acbxaxy的图像G的交

点，由方程组

2

ykxn

yaxbxc











的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时

l与G

有两个交点;②方程组只有一组解时

l与G只有一个交点；③方程组无解时

l与G没

有交点.

6抛物线与

x

轴两交点之间的距离：若抛物线

cbxaxy2与

x

轴两交点为

00

21

，，，xBxA，由于

1

x、

2

x是方程02cbxax的两个根，故

a

c

xx

a

b

xx

2121

,



aa

acb

a

c

a

b

xxxxxxxxAB























44

4

2

2

21

2

21

2

2121

十四、二次函数图象的平移

平移规律

概括成八个字“左加右减，上加下减”．