内部收益率计算例题

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1

投资内部收益率法

1内部收益率的定义及其定义式：内部收益率（internalrateofreturn,简称IRR）

又称内部（含）报酬率。在所有的经济评价指标中，内部收益率是最重要的评价指标之一，它是

对项目进行盈利能力分析时采用的主要方法。进行财务评价，分析项目的财务盈利能力时，主要

计算和考察项目财务内部收益率；进行国民经济评价，分析项目的国民经济盈利能力时，主要计

算和考察项目经济内部收益率。

什么是内部收益率?简单说，就是净现值为零时的折现率。

定义：内部收益率IRR是指项目在整个计算期内各年净现金流量的现值累计等于零(或净年

值等于零)时的折现率。内部收益率是效率型指标，它反映项目所占用资金的盈利率，是考察项

目资金使用效率的重要指标。

其定义式为:







n

t

t

t

IRRCOCI

0

01

式中：IRR——内部收益率，或内部报酬率。由上述概念及计算式可以看出，内部收益率法实质

上也是基于现值计算方法的。

2内部收益率的计算：除通过公式(4-21)求得外，还可根据现金流量表中的累积净现值，用

线性内插法计算求得。从经济意义上讲，内部收益率IRR的取值范围应是：—1＜IRR＜∞，大多

数情况下的取值范围是0＜IRR＜∞。

3内部收益率法的判别准则：如果IRR≥i0,则项目在经济效果上可以接受；如果IRR＜

i0,则项目在经济效果上不可接受。上面的公式是一个高次方程，不能直接解出，通常使用计算

内插法求其近似解。

4求解方法为：先给出一个折现率i1,计算相应的NPV(i1),如果NPV(i1)＞0，说明要求的

IRR＞i1，如果，说明要求的IRR＜i1，根据这个信息，将折现率修正为i2，求NPV(i2)的值，

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2

反复计算，逐步逼近。最终得到两个比较接近的折现率im与in(im＜in)，使得NPV(im)＞0,

NPV(in)＜0,最后用插值的方法确定IRR的近似值。计算公式为:







mn

nm

m

m

ii

iNPViNPV

iNPV

iIRR





||||

||

例4-7：拟建一容器厂，初始投资为5000万元，预计在10年寿命期中每年可得净收益800万元，

第十年末残值2000万元，若基准收益率为10%，试用方法IRR评价该项目。

解：令净现值=0，即NPV=-5000+800(P/A,I*,10)+200(P/F,I*,10)=0

①首先进行试算：

设i=10%则[-5000+800（P/A,10%,10）+2000（P/F,10%,10）]=686.2万元

设i=i1=12%则[-5000+800（P/A,12%,10）+2000（P/F,12%,10）]=164.2万元

设i=i2=13%则[-5000+800（P/A,13%,10）+2000（P/F,13%,10）]=-69.8万元

②由内插法计算得：164.2*(13%-12%)/164.2+∣-69.8∣

即该项目IRR为12.7%，大于基准收益率，因而项目经济上可行。

5内部收益率的优缺点

（1）内部收益率指标优点：

①内部收益率法比较直观，概念清晰、明确，并可直接表明项目投资的盈利能力和反映投资使用

效率的水平。

②内部收益率是内生决定的，即由项目的现金流量系统特征决定的，不是事先外生给定的。这与

净现值法和净年值法等都需要事先设定一个基准折现率才能进行计算和比较来说，操作起来困难

小，容易决策，而基准收益率的确定则是十分困难的。目前国家已编制和确定了一些行业的基准

收益率可参照使用外，但还有大量的行业和部门至今未制定出可以参照的基准收益率。

（2）内部收益率指标缺点：

①内部收益率指标计算繁琐，对于非常规项目有多解和无解问题，分析、检验和判别比较复杂。

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3

②内部收益率指标虽然能明确表示出项目投资的盈利能力，但实际上当项目的内部收益率过高

或过低时，往往失去实际意义。

③内部收益率法适用于独立方案的经济评价和可行性判断，但多方案分析时，一般不能直接用于

比较和选优。

6内部收益率方程多解的讨论

内部收益率方程式是一元高次(n次)方程。若令:

xIRR11

；令

ntaCOCI

t

t

,3,2,1,0

，则内部收益率方程式可改写为

如下形式：

03

3

2

210

n

n

xaxaxaxaa

这是一个一元n次多项式，是n次方程。n次方程应该有n个解(其中包括复数根和重根)，

明显，负根无经济意义。只有正实数根才可能是项目的内部收益率，而方程的正实根可能不止一

个。n次方程式的正实数根的数目可用笛卡尔符号规则进行判断，即正实数根的个数不会超过项

目净现金流量序列(多项式系数序列)a0,a1,a2,…,an的正负号变化的次数p(如遇有系数为零，

可视为无符号)。

如果p=0（正负号变化零数），则方程无根；

如果p=1（正负号变化一数），则方程有唯一根。

也就是说，在-1＜IRR＜∞的域内，若项目净现金流序列(CI-CO)t(t=0，1，2，…，n)的正负号

仅变化一次，内部收益率方程肯定有唯一解，而当净现金流序列的正负号有多次变化（两次或两

次以上），内部收益率方程可能有多解。

例4-8：表4-8给出了几种典型的NCF序列，试分析其IRR。

表4-8几种典型的NCF序列单位：千元

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4

分析：上述习题IRR的计算涉及一元多项式的计算，根据数学中的狄思卡滋符号法则，一个具

有实数系数的n阶多项式，其正实根的数目不会多于其系数序列列中符号变动的次数（0系数视

为无符号）因此，可根据NCF系数符号变动的情况，来判断IRR的解的个数。

1、若方案的NCF0<0，NCFt序列仅改变一次符号，且NCFt>0，此时为常规现金流量，则方案必

有唯一的IRR解。

2、若方案的NCF0<0，NCFt序列仅改变一次符号，且NCFt<0，此时为常规现金流量，则方案

必有唯一的负IRR解。此方案经济不可行。

3、若方案的NCFt序列不改变符号，则方案的IRR不存在，不能用IRR来评价此方案。

4、若方案的NCF0<0，NCFt序列符号变化多次，则方案的IRR的个数不超过NCFt序列符号变化的

次数。在这种情况下，也可能有唯一的IRR解。

因此，习题的IRR解的情况如下：

A方案：有唯一的IRR解，计算得出IRRA=20.3%

B方案：有唯一的-IRR解，计算得出IRRB=20.3%。

C方案：IRR解不存在。

D方案：NCFt序列符号变化2次，计算得出IRR1=9.8%,IRR2=11.5%.

E方案：NCFt序列符号变化3次，计算得出IRR1=20%,IRR2=50%,IRR3=100%,IRR1=9.8%,

F方案：NCFt序列符号变化2次，但计算得出有唯一的IRR=10.3%

七追加投资内部收益率（△IRR）法

1.概念：指两个方案净现值相等时的收益率，表示一方案相对于另一方案的多投资部分的平均

盈利能力

2.计算：用内插法或试算法求出

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5

∑[(CI2t-CI1t)-(CO2t-CO1t)](P/F,i*,t)=0或∑(NCF2t-NCF1t)(P/F,i*,t)=0

3.评价：

△IRR﹤I0，追加投资不合理，投资小方案较优；

△IRR≥I0追加投资合理，投资大的方案较优

例4-9：用追加投资内部收益率法评价例5-1中的两方案

解：将已知量代入公式

-（7000-4000）+（1000-1000）（P/F,i*,1）+（2000-1000）（P/F,i*,2）+（6000-3000）（P/F,i*,3）

+(4000-3000)(P/F,i*,4)=0

令上式左边为△NPV，即△NPV=-3000+1000(P/F,i*,2)+3000(P/F,i*,3)+1000(P/F,i*,4)=0

经试算，当i1=18%时，△NPV1=59.86万元；

当i2=19%时，△NPV2=-14.92万元；

内插法计算得：59.86*(19%-18%)/59.86+∣-14.92∣

说明投资大者为优，即A方案较优

八外部收益率（补充知识）

外部收益率实际上是对内部收益率的一种修正，计算外部收益率时也假定项目寿命期内所获得的

净收益全部可用于再投资，所不同的是假定再投资的收益等于基准折现率。求解外部收益率的方

程如下：

式中：ERR——外部收益率；Kt——第t年的净投资；

NBt——第t年的净收益；i0——基准折现率；

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6

上式不会出现多个正数解得情况，而且通常可以用代数方法直接求解。ERR指标用于评价投资方

案经济效果时，需要与基准折现率i0相比较，判别准则是：

若ERR〉i0,则项目可以被接受；若ERR

例4-9：某重型机械公司为一项工程提供一套大型设备，合同签订后，买方要分两年先预付一

部分款项，待设备交货后再分两年支付设备价款的其余部分。重型机械公司承接该项目预计各年

的净现金流量如表所示。基准折现率i0为10%，试用收益率指标评价该项目是否可行。

某大型设备项目的净现金流量表单位：万元

年份012345

净现金

流

19001000-56000

解：该项目是一个非常规项目，其IRR方程有两个解：i1=10.2%,i2=47.3%,不能用IRR指标评价，

可计算其ERR。据外部收益率的方程式列出如下方程：

1900（1+10%）5+1000（1+10%）4+2000（1+10%）+6000=5000（1+ERR）3+5000（1+ERR）2

可解得：ERR=10.1%，ERR〉i0，项目可接受。

ERR指标的使用并不普遍，但是对于非常规项目的评价，ERR有其优越之处。

净现值、内部收益率指标的比较

内部收益率是进行盈利能力分析时采用的主要方法一。从经济意义上，内部收益率IRR

的取值范围应是：—1＜IRR＜∞，大多数情况下的取值范围是0＜IRR＜∞。求得的内部收益率

IRR要与项目的设定基准收益率i0相比较。当IRR≥i0时，则表明项目的收益率已达到或超过设

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定折现率水平，项目可行，可以考虑接受。内部收益率可通过方程求得,但该式是一个高次方程，

通常采用“试算内插法”求IRR的近似解。

内部收益率被普遍认为是项目投资的盈利率，反映了投资的使用效率，概念清晰明确。比起

净现值与净年值来，各行各业的实际经济工作者更喜欢采用内部收益率。内部收益率指标的突出

优点就是在计算时不需事先给定基准折现率，避开了这一既困难又易引起争论的问题。内部收益

率不是事先外生给定的，是内生决定的，即由项目现金流计算出来的，当基准折现率入不易确定

其准确取值，而只知其大致的取值区间时，则使用内部收益率指标就较容易判断项目的取舍，IRR

优越性是显而易见的。

但是，内部收益率也有诸多缺陷和问题，如多解和无解问题、与净现值指标的冲突问题等，

给我们带来了诸多不便和困惑。

1．对净现值和内部收益率指标的关系和冲突问题的讨论

净现值ＮＰＶ（Netprentvalue）是一个价值型指标，其经济涵义是投资项目在整个

寿命期内获得的超过最低期望收益水平的超额净收益现值总和。净现值的含义较为明确，也易于

理解，净现值ＮＰＶ是基准折现率i0的函数，并且随着i0的增大而减小。内部收益率ＩＲＲ是

一个效率型指标，其经济涵义的表述方式较多，常见的表述是投资项目寿命期内尚未收回投资余

额的盈利率，反映了投资额的回收能力，内部收益率与基准折现率i0的大小无关。但是采用两

个指标对投资方案进行评价时，它们的评价结论均受基准折现率i0大小的影响，其中内部收益

率ＩＲＲ方法是以基准折现率i0为判别标准的。净现值和内部收益率指标都隐含了投资项目的

各年净现金流量全部用于再投资的假说。但净现值指标假设投资项目各年（各期）净现金流量（投

资净收益）均按基准折现率i

0

再投资。而内部收益率则假设投资项目各年（各期）净现金流量（投

资净收益）均按内部收益率再投资，将ＩＲＲ的定义式进行简单的变换即可。明显，一般情况下

投资项目各年投资净收益是很难再按该项目的内部收益率再投资的，故内部收益率的再投资假设

是不合理的，而前者净现值指标的按投资者期望达到的最低贴现率水平i0再投资的假设要更为

合理。

一般情况下，净现值和内部收益率指标对投资方案的采纳与否的结论是一致的，即当方案

的ＮＰＶ≥０时，ＩＲＲ≥i0。但是，当对互斥方案组进行评价排序时，净现值和内部收益率指

标可能产生不一致的结论（产生冲突）。究其原因，正是两种方法再投资假设的不同所致。

近年来，有不少学者对于净现值和内部收益率的冲突问题及解决方法进行了深入研究，并

就IRR指标的改进和修正方法等问题发表了诸多文章。但影响技术方案评价决策问题的因素繁

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多，单靠一个指标的能力和作用是有限的，需要诸多指标相互配合综合分析。问题的关键是让决

策者充分了解各个评价指标的经济涵义并能认识到它们固有的缺陷，以恰当运用和防止决策失

误。如果一味地对ＩＲＲ指标进行修正完善，反而会给原指标的经济涵义带来混乱，计算也越来

越烦琐而不实用，更给决策者带来困惑，因而不易提倡。且有些修正方法与已有指标如外部收益

率ERR等基本趋同，缺乏新意。

因此应将研究的重点放在技术方案之间相互关系和评价指标体系优化的问题上来，实践中

应强调各个指标（如净现值、净现值率、内部收益率、差额净现值、差额内部收益率、投资回收

期等）的灵活选用，取长补短、相互补充、综合评价、科学决策。

2．举例分析

例题4-10：有A、B、C、D、E、F、G七个方案,现金流量情况如表4-9。表中对各个方案的NPV

和IRR等指标进行了计算。其中：A、B、C三方案的投资额相同，D、E、F、G的投资额相同。G

方案的IRR无解。

⑴对A、B、C三个投资额相同方案的分析

累计净现金流量∑NCFt对比：A方案﹤B方案﹤C方案；

净现值NPV对比：A方案﹤B方案﹤C方案；

内部收益率IRR对比：B方案﹥A方案﹥C方案。

由C、B两方案可以看出，C方案∑NCFt和NPV较高，但B方案的IRR较高，所以IRR有利

于前期收益高的方案；D、E方案也同样具有此种现象。

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表4-9七个方案的现金流量及有关指标分析

年份技术方案及其现金流量NCFt=（CI-CO）t（单位：万

元）

ABCDEFG

0

1

2

3

4

-2500

1500

1000

700

500

-2500

1300

1300

1300

0

-2500

0

500

1500

2800

-1200

500

500

500

500

-1200

900

900

0

0

-1200

600

600

600

0

-1200

3200

-2100

0

0

∑NCFt120600600-100

NPV(i

0

=10%)556.7733.1951.9385.0362.4292.2-25.8

IRR(%)22.4126.0721.1924.1931.9423.38

16.67；

50.00

无解

NPVI0.220.290.380.320.300.24-0.02

按NPVI排序6412357

按IRR排序526314/

⑵不同投资规模的方案的比较，NPVI排序（如表）较合理。但是，就A、C两方案而言，

C方案的风险较大，保守者将倾向于A，冒险者将倾向于C。

⑶若结合净现值函数曲线分析各个方案有关指标的变化情况，特征更为明显。

内部收益率解的问题

由内部收益率的定义式知，它对应于一个一元高次多项式（IRR的定义式）的根。该一元高

次多项式的根的问题，也就是内部收益率的多解或无解问题，是内部收益率指标一个突出的缺陷。

利用笛斯卡尔（Desdartes）判别准则可以判断一元高次多项式实根的个数。对于内部收益率的

多解或无解问题，目前学术界说法不一，但其中有些说法是欠妥的，诸如“内部收益率的不存在

是由于项目再投资造成的”，“当一元高次多项式多解，但存在唯一正根时，这一正根就是项目

的内部收益率”等等。

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这里就一元高次多项式出现多根问题后，内部收益率的存在性及判断问题进行

重点讨论。容易证明，常规投资项目必定存在内部收益率，而非常规投资项目无论一元高次多项

式的解有多少，其内部收益率则有可能不存在。究其原因，显然是与项目的投资结构和全部现金

流量紧密相关，是由于项目投资的不连续（出现了追加投资）而造成的。

如前所述，根据内部收益率的定义，可以得出它的经济涵义和再投资假设。进

一步地，通过验证其投资回收过程也不难发现如下结论：内部收益率ＩＲＲ经济涵义的进一步解

释——“即按内部收益率ＩＲＲ换算，投资项目在整个寿命期内始终处于投资回收状态，寿命期

内各年始终存在未回收的投资”，由于各年始终存在未回收的投资，所以根本就不需要考虑项目

收益的再投资问题。这样也进一步验证了再投资假说。内部收益率解的判别等问题必须基于这一

结论。

如前面所述，大多数项目都是在建设期集中投资，直到投产初期可能还出现入不

付出，净现金流量为负值，但进入正常生产或达产后就能收入大于支出，净现金流量为正值。因

而，在整个计算期内净现金流量序列的符号从负值到正值只改变一次，我们把在计算期内，净现

金流量序列的符号只变化一次的项目称为常规项目。对于常规项目，若累计净现金流量大于零，

一般会有一个正实数根，则其应当是该项目的内部收益率。

在计算期内，如果项目的净现金流量序列的符号正负变化多次时，则称此类项目

为非常规项目。一般地讲，如果在生产期大量追加投资，或在某些年份集中偿还债务，或经营费

用支出过多等，都有可能导致净现金流量序列的符号正负多次变化，构成非常规项目。非常规投

资项目内部收益率方程的解显然不止一个。这些解中是否有真正的内部收益率呢?这需要按照内

部收益率的经济涵义进行检验：即以这些根作为盈利率，看在项目寿命期内是否始终存在未被回

收的投资。

首先看一元高次多项式是否有正实数根，如果有多个正实数根，则须经过检验，符合内部

收益率经济涵义的根才是项目的内部收益率；如果只有一个正实数根，则可能是该项目的内部收

益率，也可能不是，同样需要检验。如果无正实数根，或所有实数根都不能满足内部收益率的经

济涵义的要求，则该项目无解。对这类投资项目，一般地讲，内部收益率法已失效，不能用它来

进行项目的评价和选择。

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目前，对于非常规投资项目内部收益率方程多根时，这些根中是否有真正的内部收益率解

的问题，即解的存在性问题，还没有一个判别定理。下面，就此问题深入讨论。

对于非常规投资项目（或技术方案），若在其整个寿命期内除初始投资之外，还存在多

次追加投资或净现金流量为负（设有Ｋ次，Ｋ≥１）,则一元高次多项式会产生多个实根。为了

表述方便，这里引入两个概念：①追加投资维持期。所谓追加投资维持期是指从该次（第k次，

k=1,2,3,……,K）追加投资发生时点起直至整个投资项目寿命期末的时间。特别地，k=K时，指

最后一次追加投资维持期；k=０时，指整个投资项目寿命期；②追加投资净现值。是指在第k

次追加投资维持期内全部现金流量的贴现之和（贴现至第k次追加投资发生初时点），且记为：

ＮＰＶk（i）。

【IRR存在性判别定理】：当一元高次多项式（IRR定义式）多根(设有M个正实根，

分别是IRR1、IRR2、IRR3、……IRRM)，其中，若有某一正实根ＩＲＲm(m=1,2,3,……,M)能使所有

的追加投资净现值大于等于零，即：

ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥0k=0,1,2,3,……,K

则这一正实根ＩＲＲm就是整个投资项目的内部收益率。

明显，当k=0时,ＮＰＶk（ＩＲＲm）＝0。

定理证明：若ＩＲＲm使某一次（第k次）追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）＜0

（k不为零时）。则表明第k次追加投资在其维持期内收益过低，按ＩＲＲm贴现计算的净现值

为负值，不能弥补本次追加投资。对于其产生的亏空，必然需要前期投资全部回收并有盈余来予

以弥补。这样若对整个投资回收过程进行验证，就会在此次追加投资时点之前出现盈余资金，以

弥补后期追加投资的亏空。投资项目在整个寿命期内就不会始终处于投资回收状态，而是出现了

局部的盈余，也就不可能始终存在未回收的投资，则与再投资假说相饽,所以ＩＲＲm就不是投

资项目的内部收益率。

若ＩＲＲm能使各个追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥0，就可以保证投资项目在整

个寿命期内就始终处于投资回收状态，始终存在未回收的投资，则与内部收益率娘经济涵义及再

投资假说相符,所以此时的ＩＲＲm就是投资项目的内部收益率。

由此定理，我们可以得到如下结论：

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结论一：当一元高次多项式多根时，可用使所有的追加投资净现值ＮＰＶk（ＩＲＲm）≥

0准则来判断整个投资项目内部收益率的存在性。

结论二：投资项目之所以不存在内部收益率是由于项目追加投资在其维持期内的投资收

益过低，不能弥补追加投资而造成的。

结论三：当一元高次多项式多根，但只存在唯一正根时，它不一定就是项目的内部收益

率。需要用结论一来判明。

四、几个主要指标的优缺点对比（重点）

在这里我们选择4个典型指标进行优缺点的比较，它们是NPV、AC、IRR和投资回收期指标，

而且它们都是世界银行等国际金融组织在对项目进行论证评估时常用的指标。结果见表4-10，

比较结果再次说明，对任何方案都没有一个通用的指标可以衡量。因此，为了更客观地评价方案，

许多人常对方案应用几个指标分析评价，综合考虑后再做出决策，甚至给出一个较优的范围解。

表4-104个典型指标优缺点的比较

指标NPVACIRRTp（静态）

使用

条件

NCFt、n已知；

i

0

给定。

COt、已知。

i

0

给定。

NCFt、n已知。NCFt已知；

(i

0

给定)。

评价

准则

NPV→maxAC→min最大回收能力最快回收速度

优点①考虑TVM；

②考虑整个寿

命期；

③表明了企业

的价值。

①考虑TVM；

②考虑整个寿命

期；

③可用于寿命期

不同的方案。

①考虑TVM；

②考虑整个寿

命期；

③不需事先给

定i

0

。

①计算简单；

②衡量了投资风

险。

缺点①需事先给定

i

0

；

②倾向投资大

方案；

③倾向长寿命

方案。

①只考虑了方案

的COt；

②只用于方案的

排序。

①再投资假设

不合理；

②不适宜排序；

③无解和多根

问题。

①忽略了TVM

②忽略了偿还期

之后的现金流；

③忽略了残值收

益。

表中：NCFt——净现金流量；COt——现金流出；CIt——现金流入；

n——项目计算期；i0——基准收益率；TVM——资金的时间价值。