cos2π

三角公式及推导（祥尽解释）之宇文皓月创作

1-----诱导公式：

经常使用的诱导公式有以下几组：

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：

sin（2kπ＋α）＝sinα

cos（2kπ＋α）＝cosα

tan（2kπ＋α）＝tanα

cot（2kπ＋α）＝cotα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：

sin（π＋α）＝－sinα

cos（π＋α）＝－cosα

tan（π＋α）＝tanα

cot（π＋α）＝cotα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系：

sin（－α）＝－sinα

cos（－α）＝cosα

tan（－α）＝－tanα

cot（－α）＝－cotα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π－α）＝sinα

cos（π－α）＝－cosα

tan（π－α）＝－tanα

cot（π－α）＝－cotα

公式五：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：

sin（2π－α）＝－sinα

cos（2π－α）＝cosα

tan（2π－α）＝－tanα

cot（2π－α）＝－cotα

公式六：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系：

sin（π/2＋α）＝cosα

cos（π/2＋α）＝－sinα

tan（π/2＋α）＝－cotα

cot（π/2＋α）＝－tanα

sin（π/2－α）＝cosα

cos（π/2－α）＝sinα

tan（π/2－α）＝cotα

cot（π/2－α）＝tanα

sin（3π/2＋α）＝－cosα

cos（3π/2＋α）＝sinα

tan（3π/2＋α）＝－cotα

cot（3π/2＋α）＝－tanα

sin（3π/2－α）＝－cosα

cos（3π/2－α）＝－sinα

tan（3π/2－α）＝cotα

cot（3π/2－α）＝tanα

(以上k∈z)

诱导公式记忆口诀

※规律总结※

上面这些诱导公式可以概括为：

对于k·π/2±α(k∈z)的个三角函数值，

①当k是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k是奇数时，得到α相应的余函数值，即

sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan.

（奇变偶不变）

然后在前面加上把α看成锐角时原函数值的符号。

（符号看象限）

上述的记忆口诀是：

奇变偶不变，符号看象限。

公式右边的符号为把α视为锐角时，角k·360°+α（k∈z），-α、

180°±α，360°-α所在象限的原三角函数值的符号可记忆

水平诱导名不变；符号看象限。

各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正

弦；三为切；四余弦”．

这十二字口诀的意思就是说：

第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“＋”；

第二象限内只有正弦是“＋”，其余全部是“－”；

第三象限内切函数是“＋”，弦函数是“－”；

第四象限内只有余弦是“＋”，其余全部是“－”．

公式七：额外的定义

2---同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式

倒数关系:

tanα·cotα＝1

sinα·cscα＝1

cosα·cα＝1

商的关系：

sinα/cosα＝tanα＝cα/cscα

cosα/sinα＝cotα＝cscα/cα

平方关系：

sin^2(α)＋cos^2(α)＝1

1＋tan^2(α)＝c^2(α)

1＋cot^2(α)＝csc^2(α)

证明：

同角三角函数关系六角形记忆法

六角形记忆法：（参看图片或参考资料链接）

构造以"上弦、中切、下割；左正、右余、中间1"的正六边形为模型。

（1）倒数关系：对角线上两个函数互为倒数；

（2）商数关系：六边形任意一顶点上的函数值等于与它相邻的两个顶点上

函数值的乘积。（主要是两条虚线两端的三角函数值的乘积）。由此，可得

商数关系式。

（3）平方关系：在带有阴影线的三角形中，上面两个顶点上的三角函数值

的平方和等于下面顶点上的三角函数值的平方。

3---两角和差公式

⒉两角和与差的三角函数公式

sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ

sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ

cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ

tan（α＋β）＝——————--

1－tanα·tanβ

tanα－tanβ

tan（α－β）＝——————

1＋tanα·tanβ

和差公式的证明：

(1)两角差的余弦

令AO=BO=r

点A的横坐标为

cos

A

xr

点A的纵坐标为

sin

A

yr

点B的横坐标为

cos

B

xr

点B的纵坐标为

sin

B

yr

y

A

B

OCx

β

β

(α-β

β

α









22

2

22

2222222222

22222

22222

2

sinsincoscos

sinsin2sinsincoscos2coscos

sinsin2sinsincoscos2coscos

sincossincos2sinsin2coscos

112s

ABAB

AByyxx

rrrr

rrrrrr

r

r

r

























2

2

insincoscos

22sinsincoscos

21sinsincoscos

r

r























由余弦公

式可得：

综上得：

cossinsincoscos

(2)两角和的余弦

(3)两角和的正弦

(4)两角差的正弦

(5)两角和的正切

(6)两角差的正切

4---二倍角公式

二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）

暗示一：sin2α＝2sinαcosα

证明：因为sin(+)=sincos+cossin，令==，

所以，可得：sin2=2sincos暗示二：（以正切暗示二倍

角）

sin2=

2tan

1+tan2

證明：sin2=2sincos=2

sin

cos

cos2=2tan(

1

c2

)=

2tan

1+tan2

余弦二倍角公式：

暗示一：

cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

证明：因为由和角公式：cos(+)=coscossinsin，令

==，

所以，可得：cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2暗

示二：cos2=

1tan2

1+tan2

證明：

cos2=2cos21=

2

c2

1=

2

1+tan2

1=

1tan2

1+tan2

2tanα

tan2α＝—————

1－tan^2(α)

证明：因为由和角公式：tan(+)=

tan+tan

1tantan

，令==，

所以，可得：tan2=

2tan

1tan2

結論：利用tan可以將sin2，cos2，tan2暗示出來，

整理如下：(a)sin2=

2tan

1+tan2

(b)cos2=

1tan2

1+tan2

(c)tan2=

2tan

1tan2

用三角形直观暗示如下：（图）

6---半角公式

1tan2

2tan

1+tan2

2

1tan2

2tan

1+tan2

2

半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα

或：sin^2(α/2)＝—————

2

1＋cosα

cos^2(α/2)＝—————

2

1－cosα

tan^2(α/2)＝—————

1＋cosα

7---万能公式

万能公式推导

附推导：

sin2α=2sinαcosα=2sinαcosα/(cos^2(α)+sin^2(α))......*，

（因为cos^2(α)+sin^2(α)=1）

再把*分式上下同除cos^2(α)，可得sin2α＝tan2α/(1＋tan^2(α))

然后用α/2代替α即可。

同理可推导余弦的万能公式。正切的万能公式可通过正弦比余弦得到。

8---三倍角公式

三倍角的正弦、余弦和正切公式

(a)sin3=3sin4sin3證明：

sin3=sin(+2)=sincos2+cossin2

=sin(12sin2)+cos(2sincos)=

sin(12sin2)+2sincos2=

sin(12sin2)+2sin(1sin2)

=3sin4sin3(b)cos3=4cos33cos

證明：

cos3=cos(+2)=coscos2sinsin2

=cos(2cos21)sin(2sincos)

=cos(2cos21)2sin2cos

=cos(2cos21)2(1cos2)cos

=4cos33cos

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

3tanα－tan^3(α)

tan3α＝——————

1－3tan^2(α)

三倍角公式推导

附推导：

tan3α＝sin3α/cos3α

＝(sin2αcosα＋cos2αsinα)/(cos2αcosα-sin2αsinα)

＝(2sinαcos^2(α)＋cos^2(α)sinα－sin^3(α))/(cos^3(α)－

cosαsin^2(α)－2sin^2(α)cosα)

上下同除以cos^3(α)，得：

tan3α＝(3tanα－tan^3(α))/(1-3tan^2(α))

sin3α＝sin(2α＋α)＝sin2αcosα＋cos2αsinα

＝2sinαcos^2(α)＋(1－2sin^2(α))sinα

＝2sinα－2sin^3(α)＋sinα－2sin^2(α)

＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝cos(2α＋α)＝cos2αcosα－sin2αsinα

＝(2cos^2(α)－1)cosα－2cosαsin^2(α)

＝2cos^3(α)－cosα＋(2cosα－2cos^3(α))

＝4cos^3(α)－3cosα

即

sin3α＝3sinα－4sin^3(α)

cos3α＝4cos^3(α)－3cosα

三倍角公式联想记忆

记忆方法：谐音、联想

正弦三倍角：3元减4元3角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音

似“正弦”)）

余弦三倍角：4元3角减3元（减完之后还有“余”）

☆☆注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦暗示，余弦的三倍角都用余弦暗

示。

9---积化和差公式

积化和差公式推导

附推导：

首先,我们知道sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-

cosa*sinb

我们把两式相加就得到sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb

所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

同理,若把两式相减,就得到cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

同样的,我们还知道cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-

b)=cosa*cosb+sina*sinb

所以,把两式相加,我们就可以得到cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb

所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

同理,两式相减我们就得到sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

这样,我们就得到了积化和差的四个公式:

sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b))/2

cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b))/2

cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b))/2

sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b))/2

也可以这样证：

10---和差化积公式

和差化积的公式推导：

好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积

的四个公式.我们把上述四个公式中的a+b设为x,a-b设为y,那么

a=(x+y)/2,b=(x-y)/2

把a,b分别用x,y暗示就可以得到和差化积的四个公式:

sinx+siny=2sin((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

sinx-siny=2cos((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

cosx+cosy=2cos((x+y)/2)*cos((x-y)/2)

cosx-cosy=-2sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2)

11---辅助角公式

22sincossin()abab

，其中

tan

b

a



，



的象限由

,ab

的符号确定。

12---任意三角形面积公式：

13---余弦定理：

任意三角形一角的余弦等于两邻边的平方和减对边的平方之差与两邻边

积的两倍之比。

证明：

C

ab

h

d

BcA

如FigureII,

（证完）

14---正弦定理

如FigureIII,

c为ΔABC外接圆的直径,

同理：

15---海伦公式（任意三角形已知三边求面积）

证明

16---特殊的三角函数值（表）

0015

12











30

6











45

4











60

3











5

75

12











90

2











sin0

62

4



1

2

2

2

3

2

62

4



1

cos1

62

4

3

2

2

2

1

2

62

4



0

tan0

23

3

3

1

323

N/A

17：其它一些恒等变换的有用公式：也必须熟记

(a)cos2=cos2sin2=2cos21=12sin2(b)

cos=2cos2

2

1=12sin2

2

(c)cos2=

1+cos2

2

，

sin2=

1cos2

2

18：一些经常使用的高次方降次---有用的公式：

(a)sin4+cos4=(sin2+cos2)22sin2cos2=12sin2cos2

(b)sin6+cos6=(sin2+cos2)33sin2cos2(sin2+cos2)=13

A

c

O

BaC

1tan2

2tan

1+tan2

2

sin2cos2(c)tan+cot=

1

sincos

=

2

sin2

(d)(sincos)2=

sin2+cos22sincos=1sin2

19：三角函数公式集中记忆表：

和差的三角函数积化和差公式

sin()sincoscossin

cos()coscossinsin

tantan

tan()

1tantan













1

sincossin()sin()

2





1

cossinsin()sin()

2





1

coscoscos()cos()

2





1

sinsincos()cos()

2



证明：

sin()sincoscossin

①

sin()sincoscossin

②

①+②，得

sin()sin()2sincos



1

sincossin()sin()

2



①-②得：

sin()sin()2cossin



1

cossinsin()sin()

2



另两式证明方法相同。

倍角、半角的三角函数

sin22sincos

2222cos2cossin2cos112sin

2

2tan

tan2

1tan











22

1cos

cos12sinsin

222









22

1cos

cos2cos1cos

222









将上面两式左右两边分别相除，得：

2

1cos

tan

21cos











1cos

sin

22





1cos

cos

22





1cos1cossin

tan=

21cossin1cos











（证明：

sin2sinsin

1cos

222

tan

2sin

cos2sincos

222

















）

和差化积公式

sinsin2sincos

22









sinsin2cossin

22









coscos2coscos

22









coscos2sinsin

22









证明：

sin()sincoscossin

①

sin()sincoscossin

②

①+②，得

sin()sin()2sincos

③

万能公式

2

2tan

sin

1tan











2

2

1tan

cos

1tan













2

1cos

tan

21cos











三倍角公式

3sin33sin4sin

3cos34cos3cos

3

2

3tantan

tan3

1tan













令















，则

2

2































，代人③式，得

sinsin2sincos2sincos.

22









另三式