一个黑一个吉

2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案

（黑龙江吉林广西内蒙古新疆）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分第Ⅰ卷1至2页第Ⅱ卷3到

10页考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回

第Ⅰ卷

注意事项：

1．答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮

擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上

3．本卷共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的

参考公式：

如果事件A、B互斥，那么球是表面积公式

)()()(BPAPBAP24RS

如果事件A、Ｂ相互独立，那么其中R表示球的半径

)()()(BPAPBAP球的体积公式

如果事件A在一次试验中发生的概率是P，那么3

3

4

RV

n次独立重复试验中恰好发生k次的概率其中R表示球的半径

()(1)kKnk

nn

PkCPP

一、选择题

（１）函数()sincosfxxx的最小正周期是

（A）

4



（B）

2



（C）（D）2

（２）正方体

1111

ABCDABCD中，P、Q、R分别是AB、AD、

11

BC的中点．那么，

正方体的过P、Q、R的截面图形是

（A）三角形（B）四边形（C）五边形（D）六边形

（３）函数3

21(0)yxx的反函数是

（A）3(1)(1)yxx（B）3(1)(1)yxx

（C）3(1)(0)yxx（D）3(1)(0)yxx

（４）已知函数tanyx在(,)

22



内是减函数，则

（A）０＜≤１（B）－１≤＜０（C）≥１（D）≤－１

（５）设

a

、b、

c

、dR，若

abi

cdi





为实数，则

（A）0bcad（B）0bcad

（C）0bcad（D）0bcad

（６）已知双曲线

22

1

63

xy

的焦点为

1

F、

2

F，点M在双曲线上且

1

MFx轴，则

1

F到

直线

2

FM的距离为

（A）

36

5

（B）

56

6

（C）

6

5

（D）

5

6

（７）锐角三角形的内角A、B满足

1

tantan

sin2

AB

A

，则有

（A）sin2cos0AB（B）sin2cos0AB

（C）sin2sin0AB（D）sin2sin0AB

（８）已知点

(3,1)A

，(0,0)B，

(3,0)C

．设BAC的平分线AE与BC相交于E，

那么有BCCE，其中等于

（A）２（B）

1

2

（C）－３（D）－

1

3

（９）已知集合23280Mxxx，260Nxxx，则MN为

（A）42xx或37x（B）42xx或37x

（C）2xx或3x（D）2xx或3x

（10）点P在平面上作匀速直线运动，速度向量(4,3)v（即点P的运动方向与

v

相同，

且每秒移动的距离为v个单位）．设开始时点P的坐标为（－１０，１０），则５秒

后点P的坐标为

（A）（-2，4）（B）（-30，25）（C）（10，-5）（D）（5，-10）

（11）如果

1

a，

2

a，…，

8

a为各项都大于零的等差数列，公差0d，则

（A）

1

a

8

a



45

aa（B）

8

a

1

a



45

aa（C）

1

a+

8

a



4

a+

5

a（D）

1

a

8

a=

45

aa

（12）将半径都为１的４个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最

小值为

（A）

326

3



（B）2+

26

3

（C）4+

26

3

（D）

4326

3



第Ⅱ卷

注意事项：

1．用钢笔或圆珠笔直接答在试题卷上

2．答卷前将密封线内的项目填写清楚

3．本卷共10小题，共90分

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上

（13）圆心为(1,2)且与直线51270xy相切的圆的方程为_____________．

（14）设

a

为第四象限的角，若

sin313

sin5

a

a

，则tan2a_____________．

（15）在由数字0，1，2，3，4，5所组成的没有重复数字的四位数中，不能被５整除的数

共有_____________个．

（16）下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．

③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥．

其中，真命题的编号是_____________．（写出所有真命题的编号）

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

（17）（本小题满分12分）

设函数11()2xxfx，求使()22fx的

x

取值范围．

（18）（本小题满分12分）

已知

n

a是各项均为正数的等差数列，

1

lga、

2

lga、

4

lga成等差数列．又

2

1

n

n

b

a

，

1,2,3,n…．

（Ⅰ）证明

n

b为等比数列；

（Ⅱ）如果无穷等比数列

n

b各项的和

1

3

S，求数列

n

a的首项

1

a和公差d．

（注：无穷数列各项的和即当

n

时数列前项和的极限）

（19）（本小题满分12分）

甲、乙两队进行一场排球比赛．根据以往经验，单局比赛甲队胜乙队的概率为0.6，本场比

赛采用五局三胜制，即先胜三局的队获胜，比赛结束．设各局比赛相互间没有影响．令为

本场比赛的局数．求的概率分布和数学期望．（精确到0.0001）

（20）（本小题满分12分）

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD垂直于底面

ABCD，AD=PD，E、F分别为CD、PB的中点．

（Ⅰ）求证：EF垂直于平面PAB；

（Ⅱ）设AB=2BC，求AC与平面AEF所成的角的大小．

（21）（本小题满分14分）

P、Q、M、N四点都在椭圆1

2

2

2

y

x上，F为椭圆在y轴正半轴上的焦点．已知PF与FQ

共线，MF与

FN

共线，且

0•MFPF

．求四边形PMQN的面积的最小值和最大值．

（22）（本小题满分12分）

已知0a，函数xeaxxxf)2()(2．

（Ⅰ）当x为何值时，f(x)取得最小值？证明你的结论；

（Ⅱ）设f(x)在[-1,1]上是单调函数，求a的取值范围．

F

E

A

B

C

D

P

2005年高考理科数学全国卷Ⅱ试题及答案

（必修+选修Ⅱ）

（黑龙江吉林广西内蒙古新疆）

参考答案

1-6:CDBBCC7-12:ACACBC

(2)分析：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力，

通过画图，可以得到这个截面与正方体的六个面都相交，所以截面为六边形，故选D.

(12)解析一：由题意，四个半径为1的小球的球心

1234

,,,OOOO,恰好构成一个棱长为

2的正四面体，并且各面与正四面体的容器PABC的各对应面的距离都为1

如图一所示显然1HO设,NT分别为

23

,ABOO的中点，

在棱长为2的正四面体

1234

OOOO中，

1

3

3,

3

OTHT,

∴

1

26

3

OH，且

1

1

sin

3

TOH.

作

1

OMPN，则

1

1OM，

由于

11

OPMTOH,

∴11

1

11

3

sinsin

OMOM

PO

OPMTOH





∴

11

2626

314

33

POPOOOHO

故选C

解析二：由题意，四个半径为1的小球的球心

1234

,,,OOOO,恰好构成一个棱长为2的

正四面体，并且各面与正四面体的容器PABC的各对应面的距离都为1如图二所示,

正四面体

1234

OOOO与PABC有共同的外接球球心O的相似正四面体，其相似比为：

126

43

126

1

43

OH

k

OQ





,所以1

126

1

326326

43

()3

4343

126

43

OO

OP

k





T

O

1

O

4

O

3

O

2

N

P

A

B

C

O

H

M

图一

所以

32612626

()3(1)4

43433

PQOPOQ

解析三：由题意，四个半径为1的小球的球心

1234

,,,OOOO,恰好构成一个棱长为2的

正四面体，并且各面与正四面体的容器

PABC的各对应面的距离都为1如图二所

示,正四面体

1234

OOOO与PABC有共同的

外接球球心O的相似正四面体，从而有

113

OPOO

HQOH

,

又1HQ,所以

1

3OP

由于

1

26

3

OH,

所以

11

2626

134

33

PQOPOQOHHQOP

13.22(1)(2)4xy；14.

3

4

；15.192；16.①，④

(13)分析：本题就是考查点到直线的距离公式，所求圆的半径就是圆心(1,2)到直线5x

－12y－7=0的距离：

22

511227

2

5(12)

r







，再根据后面要学习的圆的标准方程，就容

易得到圆的方程：222(1)(2)2xy

（16）分析：②显然不对，比如三条侧棱中仅有一条不与底面边长相等的情况，侧面都是等腰三角形

的三棱锥但不是正三棱锥．③底面是等边三角形，侧面的面积都相等，说明顶点到底面三边的距离(斜高)

相等，根据射影长的关系，可以得到顶点在底面的射影(垂足)到底面三边所在直线的距离也相等。由于在

底面所在的平面内，到底面三边所在直线的距离相等的点有4个：内心(本题的中心)1个、旁心3个。因此

不能保证三棱锥是正三棱锥．

17.本小题主要考查指数函数的性质、不等式性质和解法，考查分析问题的能力和运算能力

解：∵f(x)=2|

x

+1|－|

x－1|≥22=

3

22,即|x+1|－|x－1|≥

3

2

当x≤－1时，原不等式化为：－2≥

3

2

(舍)；

当－1

3

2

∴x≥

3

4

O

H

P

A

B

C

O

4

O

3

O

2

Q

O

1

图二

∴此时，

3

4

≤x≤1

当x>1时,原不等式化为：2≥

3

2

,

此时,x>1

故原不等式的解集为：

3

[,)

4



18.本小题主要考查等差数列、等比数列的基本知识以及运用这些知识的能力

⑴证明：设{a

n

}中首项为a

1

，公差为d.

∵lga

1

,lga

2

,lga

4

成等差数列∴2lga

2

=lga

1

·lga

4

∴a

2

2=a

1

·a

4

.

即(a

1

+d)2=a

1

(a

1

+3d)∴d=0或d=a

1

当d=0时,a

n

=a

1

,b

n

=

1

2

11

n

aa

,∴11n

n

b

b

，∴

n

b为等比数列；

当d=a

1

时,a

n

=na

1

,b

n

=

1

2

11

2

n

naa

，∴1

1

2

n

n

b

b

，∴

n

b为等比数列

综上可知

n

b为等比数列

⑵∵无穷等比数列{b

n

}各项的和

1

3

S

∴|q|<1,由⑴知，q=

1

2

,d=a

1

.b

n

=

1

2

11

2

n

naa



∴121

1

11

2

11

1

113

1

2

baa

S

qqa







,∴a

1

=3

∴1

3

3

a

d











19.本小题考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念，考查运用概率知识解决实际问题

的能力

解：ξ的所有取值为3,4,5

P(ξ=3)=330003

33

(0.6)(0.4)(0.6)(0.4)0.28CC

；

P(ξ=4)=221112

33

(0.6)(0.4)0.6(0.6)(0.4)0.40.3744CC

；

P(ξ=5)=222122

23

(0.6)(0.4)0.6(0.6)(0.4)0.40.3456CC

∴ξ的分布列为：

ξ345

P0.280.37440.3456

∴Eξ=3×0.28+4×0.3744+5×0.3456=0.84+1.4976+1.728=4.0656

20.本小题主要考查直线与平面垂直、直线与平面所成角的有关知识、及思维能力和空间想

象能力，考查应用向量知识解决数学问题的能力

解：方法一：

⑴取PA中点G,连结FG,DG

//

//

//

1

2

1

2

BFFPFGAB

FGDE

CEEDDEAB



























//

DEFGEFDG



四边形为平行四边形

PDABCDPADABCD

ABPAD

ABAD













平面平面平面

平面

又

PABPAD

PDAD

AGPADGPAB

EFPAB

PGGA

AGPAD

EFDG















































平面平面

平面

平面

平面

⑵设AC,BD交于O，连结FO.

//

1

2

PFBF

FOPD

FOABCD

BOOD

PDABCD

























平面

平面

设BC=a,则AB=2a,∴PA=2a,DG=

2

2

a=EF,∴PB=2a,AF=a.

设C到平面AEF的距离为h.

∵V

C－AEF

=V

F－ACE

,∴

1111

3232

EFAFhCEADFO

O

G

F

E

A

B

C

D

P

即

22

222

a

aahaa∴

2

a

h

∴AC与平面AEF所成角的正弦值为

/23

6

3

ha

AC

a

.

即AC与平面AEF所成角为

3

arcsin

6

方法二：以D为坐标原点，DA的长为单位，建立如图所示的直角坐标系，

（1）证明：

设,0,0Ea，其中

0a

，则

11

2,0,0,0,1,0,2,1,0,0,0,1,,,

22

CaABaPFa







，



11

0,,,2,1,1,2,0,0,0,

22

EFPBaABaEFPBEFPB









，

0,ABEFABEF

又

,,PBPABABPABPBABB平面平面

，

EFPAB平面

（2）解：由2,ABBC得

2

2

a

，

可得2,1,0,2,1,1ACPB

3

cos,

6

ACPB

ACPB

ACPB







，

则异面直线AC，PB所成的角为

3

arccos

6

，

211

,,,0,

222

AFAFPBAFPB











，

又PBEF，AF为平面AEF内两条相交直线，

PBAEF平面，

AC与平面AEF所成的角为

33

arccosarcsin

266













，

即AC与平面AEF所成的角为

3

arcsin

6

21.本小题主要考查椭圆和直线的方程与性质，两条直线垂直的条件、两点间的距离、不等

式的性质等基本知识及综合分析能力

x

F

E

A

B

C

D

P

y

z

解：∵0PFMFPFMF.即MNPQ.

当MN或PQ中有一条直线垂直于x轴时，另一条直线必垂直于y轴.

不妨设MN⊥y轴，则PQ⊥x轴.

∵F(0,1)∴MN的方程为：y=1，PQ的方程为：x=0分别代入椭圆

2

21

2

y

x中得：

|MN|=2,|PQ|=22

∴S四边形PMQN

=

1

2

|MN|·|PQ|=

1

2

×2×22=2

当MN,PQ都不与坐标轴垂直时，设MN的方程为y=kx+1(k≠0)，

代入椭圆

2

21

2

y

x中得

(k2+2)x2+2kx－1=0,

∴x

1

+x

2

=

2

2

2

k

k





,x

1

·x

2

=

2

1

2k





∴

2

2222

1212

222

2422(1)

||(1)[()4](1)[()]

222

kk

MNkxxxxk

kkk







同理可得：

2

2

22(1)

||

22

k

PQ

k







∴S四边形PMQN

=

1

2

|MN|·|PQ|=

42

42

241

2

252

kk

kk







=

2

4222

116

2(1)2(1)

2522(1/)59

k

kkkk





(当且仅当2

2

1

k

k

即1k时，取等号).

又S四边形PMQN

=

2

42

2(1)2

252

k

kk





，∴此时,

16

9

S四边形PMQN2

综上可知：(S四边形PMQN

)

max

=2,(S四边形PMQN

)

min

=

16

9

22.本小题主要考查导数的概念和计算，应用导数研究函数性质的方法及推理和运算能力

解：⑴令()fx



=0即[x2－2(a－1)x－2a]ex=0∴x2－2(a－1)x－2a=0

∵△=[2(a－1)]2+8a=4(a2+1)>0∴x

1

=211aa,x

2

=211aa

又∵当x∈(－∞,211aa)时，()fx



>0；

N

P

Q

F

M

o

y

x

当x∈(211aa,211aa)时，()fx



<0；

当x∈(211aa,+∞)时，()fx



>0

∴x

1

,x

2

分别为f(x)的极大值与极小值点.

又∵lim()0

x

fx



；当x时,()fx.

而f(211aa)=22112(11)aaae<0.

∴当x=211aa时，f(x)取得最小值

⑵f(x)在[－1,1]上单调，则()fx



≥0(或≤0)在[－1,1]上恒成立

而()fx



=[x2－2(a－1)x－2a]ex,令g(x)=x2－2(a－1)x－2a=[x－(a－1)]2－(a2+1).

∴()fx



≥0(或≤0)即g(x)≥0(或≤0)

当g(x)≥0在[－1,1]上恒成立时，有

①当－1≤a－1≤1即0≤a≤2时,g(x)

min

=g(a－1)=－(a2+1)≥0(舍)；

②当a－1>1即a≥2时,g(x)

min

=g(1)=3－4a≥0∴a≤

3

4

(舍).

当g(x)≤0在[－1,1]上恒成立时，有

①当－1≤a－1≤0即0≤a≤1时,g(x)

max

=g(1)=3－4a≤0,∴

3

4

≤a≤1；

②当0

max

=g(－1)=－1≤0,∴1

③当12时,g(x)

max

=g(－1)=－1≤0,∴a>2

故a∈[

3

4

,+∞)