a是b的必要条件

1.4充分条件与必要条件

最新课程标准：(1)通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关

系．(2)通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系．(3)通过对典

型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系.

知识点一充分条件与必要条件

一般地,“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可以推出q,记作

p⇒q,并且说,p是q的充分条件(sufficientcondition),q是p的必要条件(necessarycondition)．

状元随笔如果“若p,则q”为假命题,那么由条件p不能推出结论q,记作p



q．此时,我们就

说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件．

知识点二充要条件

如果“若p,则q”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题,即既有p⇒q,又有q⇒p,就记作p⇔q.此时,p

既是q的充分条件,也是q的必要条件,我们说p是q的充分必要条件,简称为充要条件(sufficientand

necessarycondition)．显然,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件．

状元随笔p与q互为充要条件时,也称“p等价于q”“q当且仅当p”等．

[教材解难]

1．教材P17思考

(1)(4)是真命题,(2)(3)是假命题．

2．教材P18思考

不唯一,两组对边分别平行,一组对边平行且相等．

3．教材P19思考

不唯一,两组对边分别平行,两组对边分别相等,一组对边平行且相等．

4．教材P20思考

命题(1)(4)和它的逆命题是真命题．

命题(2)是真命题,它的逆命题是假命题．

命题(3)是假命题,它的逆命题是真命题．

5．教材P21探究

“四边形的两组对角分别相等”“四边形的两组对边分别相等”“四边形的一组对边平行且相等”

和“四边形的对角线互相平分”既是“四边形是平行四边形”的充分条件,又是必要条件,所以它们都是

“四边形是平行四边形”的充要条件．

[基础自测]

1．钱大姐常说“便宜没好货”,她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：“便宜没好货”的意思是“好货”肯定“不便宜”,所以“不便宜”是“好货”的必要条件．

答案：B

2．设p：x<3,q：－1

A．充分必要条件B．充分不必要条件

C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件

解析：因为(－1,3)(－∞,3),所以p是q成立的必要不充分条件．

答案：C

3．设A、B是两个集合,则“A∩B＝A”是“A⊆B”的()

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：A、B是两个集合,则由“A∩B＝A”可得“A⊆B”,由“A⊆B”可得“A∩B＝A”,所以A、B是两

个集合,则“A∩B＝A”是“A⊆B”的充要条件．故选C.

答案：C

4．用符号“⇒”与“



”填空：

(1)x2>1________x>1；

(2)a,b都是偶数________a＋b是偶数．

解析：(1)命题“若x2>1,则x>1”是假命题,故x2>1



x>1.

(2)命题“若a,b都是偶数,则a＋b是偶数”是真命题,故a,b都是偶数⇒a＋b是偶数．

答案：(1)



(2)⇒

题型一充分条件、必要条件、充要条件的判断

[教材P18例1、P19例2]

例1(1)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的p是q的充分条件？

①若四边形的两组对角分别相等,则这个四边形是平行四边形；

②若两个三角形的三边成比例,则这两个三角形相似；

③若四边形为菱形,则这个四边形的对角线互相垂直；

④若x2＝1,则x＝1；

⑤若a＝b,则ac＝bc；

⑥若x,y为无理数,则xy为无理数．

(2)下列“若p,则q”形式的命题中,哪些命题中的q是p的必要条件？

①若四边形为平行四边形,则这个四边形的两组对角分别相等；

②若两个三角形相似,则这两个三角形的三边对应成比例；

③若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形；

④若x＝1,则x2＝1；

⑤若ac＝bc,则a＝b；

⑥若xy为无理数,则x,y为无理数．

【解析】(1)①这是一条平行四边形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件．

②这是一条相似三角形的判定定理,p⇒q,所以p是q的充分条件．

③这是一条菱形的性质定理,p⇒q,所以p是q的充分条件．

④由于(－1)2＝1,但－1≠1,p



q,所以p不是q的充分条件．

⑤由等式的性质知,p⇒q,所以p是q的充分条件．

⑥2为无理数,但2×2＝2为有理数,p



q,所以p不是q的充分条件．

p⇒q由充分条件的定义来判断．

(2)①这是平行四边形的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件．

②这是三角形相似的一条性质定理,p⇒q,所以,q是p的必要条件．

③如图,四边形ABCD的对角线互相垂直,但它不是菱形,p



q,所以,q不是p的必要条件．

④显然,p⇒q,所以,q是p的必要条件．

⑤由于(－1)×0＝1×0,但－1≠1,p



q,所以,q不是p的必要条件．

⑥由于1×2＝2为无理数,但1,2不全是无理数,p



q,所以,q不是p的必要条件.

p⇒q由必要条件的定义来判断．

教材反思

充分条件、必要条件、充要条件的判断方法

1．定义法

(1)分清命题的条件和结论：分清哪个是条件,哪个是结论．

(2)找推式：判断“p⇒q”及“q⇒p”的真假．

(3)根据推式及条件得出结论．

2．等价转化法

(1)等价法：将命题转化为另一个与之等价的且便于判断真假的命题．

(2)逆否法：这是等价法的一种特殊情况．

若綈p⇒綈q,则p是q的必要条件,q是p的充分条件；

若綈p⇒綈q,且綈q



綈p,则p是q的必要不充分条件；

若綈p⇔綈q,则p与q互为充要条件；

若綈p



綈q,且綈q



綈p,则p是q的既不充分也不必要条件．

3．集合法：写出集合A＝{x|p(x)}及B＝{x|q(x)},利用集合间的包含关系进行判断．

4．传递法：若问题中出现若干个条件和结论,应根据条件画出相应的推式图,根据图中推式的传递性

进行判断．

5．特殊值法：对于选择题,可以取一些特殊值或特殊情况,用来说明由条件(结论)不能推出结论(条件),

但是这种方法不适用于证明题．

跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条

件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)．

(1)p：x－3＝0,q：(x－2)(x－3)＝0；

(2)p：两个三角形相似,q：两个三角形全等；

(3)p：a>b,q：a＋c>b＋c.

解析：(1)x－3＝0⇒(x－2)(x－3)＝0,但(x－2)(x－3)＝0



x－3＝0,故p是q的充分不必要条件．

(2)两个三角形相似



两个三角形全等,但两个三角形全等⇒两个三角形相似,故p是q的必要不充

分条件．

(3)a>b⇒a＋c>b＋c,且a＋c>b＋c⇒a>b,故p是q的充要条件．

判断p⇒q，q⇒p是否成立→结合定义得出结论

题型二求条件(充分条件、必要条件和充要条件)

[经典例题]

例2使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是()

A．x≥0

B．x<0或x>2

C.x∈{－1,3,5}

D．x≤－

1

2

或x≥3

【解析】由2x2－5x－3≥0,得x≥3或x≤－

1

2

,所以选项中只有x∈{－1,3,5}是使不等式2x2－5x－

3≥0成立的一个充分不必要条件．

【答案】C

先求出满足题意的充要条件―――――――→

结合集合关系

从选项中选出充分不必要条件

方法归纳

本题易错的地方是颠倒充分性和必要性,根据{x|x≥3或x≤－

1

2

}{x|x>2或x<0},误选B.事实

上,“不等式2x2－5x－3≥0成立”为结论q,我们只需找到条件p使p⇒q且q



p即可．

跟踪训练22x2－5x－3<0的必要不充分条件是()

A．－

1

2

B．0

C．－1

D．－

1

2

解析：2x2－5x－3<0⇒－

1

2

∵













－

1

2

，3













－

1

2

，4

,

∴－

1

2

答案：D

使2x2－5x－3<0成立的x为－

1

2

题型三充分条件、必要条件、充要条件的应用

[经典例题]

例3已知p：2x2－3x－2≥0,q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0,若p是q的充分不必要条件．求实数a

的取值范围．

【解析】令M＝{x|2x2－3x－2≥0}＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0}＝





















x







x≤－

1

2

或x≥2

；

N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}＝{x|x≤a－2或x≥a},

由已知p⇒q且q



p,得MN.

∴











a－2≥－

1

2

，

a<2

或











a－2>－

1

2

，

a≤2，

解得

3

2

≤a<2或

3

2

3

2

≤a≤2,

即所求a的取值范围是











3

2

，2

.

状元随笔

构造集合M＝{x|px}；N＝{x|qx}

―――→

求解

M、N

由已知MN―――→

构造a的

不等式

解关于a的不等式组―→结果

方法归纳

根据充分条件、必要条件、充要条件求参数的取值范围时,主要根据充分条件、必要条件、充要条件

与集合间的关系,将问题转化为相应的两个集合之间的包含关系,然后建立关于参数的不等式(组)进行求

解．

跟踪训练3已知M＝{x|(x－a)2<1},N＝{x|x2－5x－24<0},若M是N的充分条件,求a的取值范围．

解析：由(x－a)2<1得,x2－2ax＋(a－1)(a＋1)<0,

∴a－1

则M＝{x|a－1

又由x2－5x－24<0得－3

则N＝{x|－3

∵M是N的充分条件,∴M⊆N,

∴









a－1≥－3，

a＋1≤8，

解得－2≤a≤7.

故a的取值范围是－2≤a≤7.

先求M、N,再利用充分条件得M⇒N,即M⊆N来求a的取值范围．

课时作业5

一、选择题

1．已知集合A＝{1,a},B＝{1,2,3},则“a＝3”是“A⊆B”的()

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件

解析：因为A＝{1,a},B＝{1,2,3},若a＝3,则A＝{1,3},所以A⊆B,所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B,则a

＝2或a＝3,所以A⊆B



a＝3,所以“a＝3”是“A⊆B”的充分而不必要条件．

答案：A

2．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是()

A．m＝－2B．m＝2

C．m＝－1D．m＝1

解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于x＝1对称⇔－

m

2

＝1⇔m＝－2.

答案：A

3．王昌龄的《从军行》中有两句诗：“黄沙百战穿金甲,不破楼兰终不还”．其中后一句中“攻破楼

兰”是“返回家乡”的()

A．充分条件B．必要条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

解析：“攻破楼兰”是“返回家乡”的必要条件．故选B.

答案：B

4．已知p：x>1或x<－3,q：x>a,若q是p的充分不必要条件,则a的取值范围是()

A．[1,＋∞)B．(－∞,1]

C．[－3,＋∞)D．(－∞,－3]

解析：令A＝{x|x>1或x<－3},B＝{x|x>a},

∵q是p的充分不必要条件,

∴BA,

∴a≥1.

答案：A

二、填空题

5．从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合

适的填空．

(1)“x2－1＝0”是“|x|－1＝0”的________；

(2)“x<5”是“x<3”的________．

解析：(1)设A＝{x|x2－1＝0}＝{－1,1},B＝{x||x|－1＝0}＝{－1,1},所以A＝B,即“x2－1＝0”是

“|x|－1＝0”的充要条件．

(2)设A＝{x|x<5},B＝{x|x<3},因为AB,所以“x<5”是“x<3”的必要不充分条件．

答案：(1)充要条件(2)必要不充分条件

6．如果命题“若A则B”的否命题是真命题,而它的逆否命题是假命题,则A是B的________条件．

解析：因为逆否命题为假,那么原命题为假,即A



B,又因否命题为真,所以逆命题为真,即B⇒A,所

以A是B的必要不充分条件．

答案：必要不充分

7．函数y＝x2＋bx＋c(x∈[0,＋∞))是单调函数的充要条件是________．

解析：对称轴x＝－

b

2

≤0,即b≥0.

答案：b≥0

三、解答题

8．指出下列各题中,p是q的什么条件(在“充分不必要条件”,“必要不充分条件”,“充要条

件”,“既不充分又不必要条件”中选出一种作答)．

(1)在△ABC中,p：∠A>∠B,q：BC>AC；

(2)对于实数x,y,p：x＋y≠8,q：x≠2或y≠6；

(3)已知x,y∈R,p：(x－1)2＋(y－2)2＝0,q：(x－1)(y－2)＝0.

解析：(1)在△ABC中,显然有∠A>∠B⇔BC>AC,所以p是q的充要条件．

(2)因为p⇒q,但q



p,所以p是q的充分不必要条件．

(3)因为p：A＝{(1,2)},q：B＝{(x,y)|x＝1或y＝2},AB,所以p是q的充分不必要条件．

9．已知p：x2－8x－20>0,q：x2－2x＋1－m2>0(m>0),若p是q的充分而不必要条件,求正实数m的取

值范围．

解析：由命题p得：x>10或x<－2,

由命题q得：x2－2x＋1－m2>0(m>0)⇔[x－(1＋m)]·[x－(1－m)]>0⇔x<1－m,或x>1＋m(m>0)．

因为p是q的充分不必要条件,

所以p⇒q,且q



p,{x|x>10或x<－2}{x|x<1－m或x>1＋m(m>0)},

所以









1－m≥－2，

1＋m≤10，

两等号不能同时成立,解得









m≤3，

m≤9，

即m≤3.

所以正实数m的取值范围为(0,3]．

[尖子生题库]

10．求关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件．

解析：(1)a＝0时,可得x＝－

1

2

,符合题意．

(2)当a≠0时,方程为一元二次方程,若方程有两个异号的实根,

则









Δ＝4－4a>0，

1

a

<0，

解得a<0；

若方程有两个负的实根,

则必须满足









1

a

>0，

－

2

a

<0，

Δ＝4－4a≥0，

解得0

综上知,若方程至少有一个负的实根,则a≤1.

反之,若a≤1,则方程至少有一个负的实根．

因此,关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是a≤1.