指数函数求导公式

1数学术语

指数函数是数学中重要的函数。应用到值e上的这个函数写为exp(x)。还可以等价的

写为e，这里的e是数学常数，就是自然对数的底数，近似等于2.718281828，还称为欧

拉数。

当a>1时，指数函数对于x的负数值非常平坦，对于x的正数值迅速攀升，在x等于

0的时候y等于1。当0

常平坦，在x等于0的时候等于1。在x处的切线的斜率等于此处y的值乘上lna。即由导

数知识：

作为实数变量x的函数，

的图像总是正的(在x轴之上)并递增(从左向右看)。它永不触及x轴，尽管它可以任

意程度的靠近它(所以，x轴是这个图像的水平渐近线。它的反函数是自然对数ln(x)，它定

义在所有正数x上。

有时，尤其是在科学中，术语指数函数更一般性的用于形如

的

指数函数

函数，这里的a叫做“底数”，是不等于1的任何正实数。本文最初集中于带有底数为

欧拉数e的指数函数。

指数函数的一般形式为

(a>0且≠1)(x∈R)，从上面我们关于幂函数的讨论就可以知道，要想使得x能够取整

个实数集合为定义域，则只有使得a>0且a≠1

如图所示为a的不同大小影响函数图形的情况。

在函数中可以看到

：

（1）指数函数的定义域为所有实数的集合，这里的前提是a大于0且不等于1。对

于a不大于0的情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑，

同时a等于0函数无意义一般也不考虑。

（2）指数函数的值域为大于0的实数集合。

（3）函数图形都是下凸的。

（4）a>1时，则指数函数单调递增；若0

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过

指数函数

程中（不等于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的

位置，趋向分别接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直

线y=1是从递减到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴,并且永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点,(若

,则函数定过点(0,1+b))

（8）指数函数无界。

（9）指数函数是非奇非偶函数

（10）当指数函数中的自变量与因变量一一映射时，指数函数具有反函数。

2公式推导

e的定义：

设a>0,a≠1

方法一：

(

)'

指数函数

=

=

=

=

=

=

特殊地，当a=e时，(

)'=(lnx)'=1/x。

方法二：

设

，两边取对数lny=xlna

两边对x求导：y'/y=lna，y'=ylna=a^xlna

特殊地，当a=e时，y'=(a^x)'=(e^x)'=e^xlne=e^x。

eº=1

3函数图像

指数函数

（1）由指数函数y=a^x与直线x=1相交于点（1，a)可知：在y轴右侧，图像从下到

上相应的底数由小变大。

（2）由指数函数y=a^x与直线x=-1相交于点（-1，1/a）可知：在y轴左侧，图像

从下到上相应的底数由大变小。

（3）指数函数的底数与图像间的关系可概括的记忆为：在y轴右边“底大图高”；在y

轴左边“底大图低”。（如右图）。

(4)

与

的图像关于y轴对称。

4幂的比较

比较大小常用方法：（1）比差（商）法：（2）函数单调性法；（3）中间值法：要

比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递

性得到A与B之间的大小。

比较两个幂的大小时，除了上述一般方法之外，还应注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来

判断。

例如：

，

因为3大于1所以函数单调递增（即x的值越大，对应的y值越大），因为5大于

4，所以

大于

。

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可

指数函数

以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：

,

,因为1/2小于1所以函数图像在定义域上单调递减；3大于1，所以函数图像在定义

域上单调递增，在x=0是两个函数图像都过（0，1）然后随着x的增大，y1图像下降，而

y2上升，在x等于4时，y2大于y1.

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较。

如：

<1>对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与

0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

<2>在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大

小），就可以快速的得到答案。那么如何判断一个幂与“1”大小呢？由指数函数的图像和性

质可知“同大异小”。即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向（例如：a〉1且

x〉0，或0〈a〈1且x〈0）时，

大于1，异向时

小于1.

〈3〉例：下列函数在R上是增函数还是减函数？说明理由.

⑴

因为4>1，所以

在R上是增函数；

⑵

因为0<1/4<1,所以

在R上是减函数

5定义域

x∈R

指代一切实数

，就是R。

6值域

对于一切指数函数

来讲。他的a满足a>0且a≠1，即说明y>0。所以值域为（0,

)。a=1时也可以，此时值域恒为1。

7化简技巧

（1）把分子、分母分解因式，可约分的先约分

（2）利用公式的基本性质，化繁分式为简分式，化异分母为同分母

（3）把其中适当的几个分式先化简，重点突破.

指数函数

（4）可考虑整体思想，用换元法使分式简化

8对应关系

（1）曲线沿x轴方向向左无限延展〈=〉函数的定义域为

。

（2）曲线在x轴上方，而且向左或向右随着x值的减小或增大无限靠

指数函数

近X轴（x轴是曲线的渐近线）〈=〉函数的值域为（0，+∞）

（3）曲线过定点（0，1）〈=〉x=0时，函数

（零次方）=1（a>0且a≠1）

（4）当a>1时，曲线由左向右逐渐上升，即a>1时，函数在

上是单调递增函数；

当0

上是单调递减减函数。

9概念

（1）指数函数的定义域为实数的集R，这里的前提是a大于0，对于a不大于0的

情况，则必然使得函数的定义域不存在连续的区间，因此我们不予考虑。

（2）指数函数的值域为（0，+∞）。

（3）函数图形都是下凹的。[1]

（4）a大于1，则指数函数单调递增；a小于1大于0，则为单调递减的。

（5）可以看到一个显然的规律，就是当a从0趋向于无穷大的过程中（当然不能等

于0），函数的曲线从分别接近于Y轴与X轴的正半轴的单调递减函数的位置，趋向分别

接近于Y轴的正半轴与X轴的负半轴的单调递增函数的位置。其中水平直线y=1是从递减

到递增的一个过渡位置。

（6）函数总是在某一个方向上无限趋向于X轴，永不相交。

（7）函数总是通过（0，1）这点。

（8）显然指数函数无界。