向量夹角公式cos

1

一、怎么样求解向量的有关概念问题

掌握并理解向量的基本概念

１.判断下列各命题是否正确

(1)若cacbba







则,,；

(2)两向量ba





、相等的充要条件是ba





且共线、ba





；

(3)ba





是向量ba





的必要不充分条件；

(1)若DCBA、、、是不共线的四点，则CDBA





是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；

(2)DCBA



的充要条件是A与C重合，DB与重合。

二、向量运算及数乘运算的求解方法

两个不共线的向量,加法的三角形法则和平行四边形法则是一致的。两个有相同起点的向量的差是

连结两向量的终点，方向指向被减向量的向量，若起点不同，要平移到同一起点；重要结论：a



与

b



不

共线,则

baba









与

是以a



与b



为邻边的平行四边形两条对角线所表示的向量.在求解向量的坐标运

算问题时，注意向量坐标等终点坐标减起点坐标,即若),(),,(

2211

yxByxA，则

AOBOBA





),(),(),(

12121122

yyxxyxyx。

例1若向量_______2),1,0(),2,3(的坐标是则abba

例2若向量____)2,1(),1,1(),1,1(ccba则

baDbaCbaBbaA

2

1

2

3

.

2

1

2

3

.

2

3

2

1

.

2

3

2

1

.

例3在平面直角坐标系中,O为坐标原点，已知两点),3,1(),1,3(BA若点

满足CBOAOCO







,其中R,且1，则点C的轨迹为（）

052.02.

0)2()1.(01123.22





yxDyxC

yxByxA

例4O是平面上一定点，CBA、、是平面上不共线的三个点，动点P满足

)(

CA

CA

BA

BA

AOPO













，),0[，则P的轨迹一定过ABC的()

.A外心.B内心.C重心.D垂心

例5设G是ABC内的一点,试证明:

(1)若G是为ABC重心，则0







CBBGAG；

2

(2)若0







CBBGAG，则G是为ABC重心。

三、三点共线问题的证法

证明A,B，C三点共线，由共线定理（

共线与CABA





）,只需证明存在实数,使CABA





，，

其中必须有公共点。

共线的坐标表示的充要条件，若),(),,(

2211

yxbyxa





，则

)(0//

12211221

yxyxyxyxbaba











例1已知A、B两点，P为一动点，且BtAAOPO







，其中t为一变量。

证明：1。P必在直线AB上；2。t取何值时，P为A点、B点？

例2证明:始点在同一点的向量baba









23、、的终点在同一直线上

例3对于非零向量

babababa

















求证：、,

四、求解平行问题

两向量平行，即共线，往往通过“点的坐标"来实现;两向量是否共线与它们模长的大小无关，只

由它们的方向决定；两向量是否相等起点无关，只由模长和方向决定。

例1已知),1(),1,2(),1,0(),0,1(yQPNM且QPNM





//，求y的值。

例2已知点)2,1(A，若向量,132)3,2(BAaBA







同向，与则B点的坐标是____。

例3平面内给定三向量

)1,4(),2,1(),2,3(cba







，则：

（1）求;23cba（2）

nmcnbma、的实数求满足









（3)若

;),2//()(kabbka求实数









（4）设.,1)//()(),(dcdbacdyxd求且满足









例4

(1）已知点)6,2(),4,4(),0,4(CBA，求的坐标的交点，与PBDCA





。

(2）若平行四边形ABCD的顶点的坐标。求顶点DCBA),6,5(),1,3(),2,1(

五、向量的数量积的求法

求数量积:











•

••

2121

cos

yyxxba

baba













坐标法：

定义法：

当

1800//和时，ba





两种可能.故baba









••

3

一些重要的结论:2

2aaaa



•；2222)(bbaaba









•；22))((bababa















例1设cba







,,是任意的非零的向量,且相互不共线,则（）

2

249)23)(23(()(

;;0)()(

bababa④cbcaacb③

baba②baccba①





































•••

••

垂直不与）

其中是真命题的为（）

②④③④C②③B①②AD....

例2已知平面上三点A、B、C，满足,5,4,3ACCBBA





则BAACACCBCBBA







•••的

值等于________。

例3已知向量

ba





和

的夹角为120,且.______)2(,5,2•ababa











则

六、如何求向量的长度

形如ba





的模长求法：

开方转化为含数量积运算先平方

，即:

2222

22bbaaba









•

例1已知向量____,,60,4,,babababa

















则的夹角为与____,ba





其中

.___________,方向夹角为与方向的夹角为与abaaba













例2设向量的值。求满足babababa

















3,323,1,

七、如何求两向量的夹角

夹角公式:

2

2

2

2

2

1

2

1

2121cos

yxyx

yyxx

ba

ba

•





•













例1已知._____,,36)

5

1

()3(,12,10的夹角求且bababa













•

例2若

21

ee



与是夹角为60的单位向量，且

的夹角与及求babaeebeea













•,23,2

2121

.

八、垂直问题的求解

向量垂直的充要条件：

00

2121

•yyxxbaba









例1若向量所成的角。与则满足babababa

















,,

例2在ABC中

ABCkCABA且),,1(),3,2(





的一个内角为直角,求k的值。

4

例3已知垂直，求与且。babababa

















23.3,2,

例4已知

点的坐标。求于点DDBODABAO,),3,6(),5,0(),0,0(





九、向量的数量积的逆向应用

求解有关向量的问题，可设出该向量的坐标，列出方程或方程组求之。

例1已知

?,5,1),3,4(•bbaba









则且

例2求与向量

的坐标的向量２的夹角相等，且模长为和cba







)3,1()1,3(

例3若平面向量)(,53180)2,1(bbab







则，且的夹角是与向量

)3,6.()3,6.()6,3.()6,3.(DCBA

例4已知._______,15)4,3(bbab







则垂直，且与向量向量

十、线段定比分点公式的运用技巧

求解定比分点问题，要注意结合图形，分清是内分点是外分点，不能混淆起点和终点，

定比分点坐标公式：































1

1

21

21

yy

y

xx

x

中点坐标公式：



















2

2

21

21

yy

y

xx

x

，

重心坐标公式：



















3

3

321

321

yyy

y

xxx

x

例1设点P分有向线段



21

PP所成的比为

4

3

,则

1

P

分



PP

2

所成的比为________。

例2已知两点QPQP



则),3,2(),9,4(与y轴的交点分有向线段所成的比为QP



___。

十一、利用平移公式解题

点),(yxA按向量的图像按，而函数平移，得到点)(),(),(xfykyhxkha



向量

khxfykha)(),(式为平移得到的函数的解析



,解题时要注意理解图像平移前后的关系。

例1已知两个点则：向量),12,3(),14,2('),2,1(aPP



（1）把P按向量a



平移得_______.

（2)某点按a



，得到'P，求这个点坐标.

(3)P按某向量平移得到'P，求这个向量坐标.

例2将函数

4)12(log

3

xy的图像按向量a



平移后得到的是函数

)2(log

3

xy的图像，那么

a



的坐标是_______。

5

例3将函数平移，的图像按向量axy



2sin2得的图像，1)

3

2sin(2



xy则向量a



的坐标

是（)

)1,

6

()1,

3

()1,

6

.()1,

3

.(



DCBA

十二、怎样利用正、余弦定理求三角形的边与角

主要考查正、余弦定理,勾股定理、三角变换，诱导公式。

正弦定理：R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin

；ARasin2•,BRbsin2•，CRcsin2•

三角形面积公式:BacAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1





.

余弦定理：

bc

acb

AAbccba

2

cos;cos2

222

222





下面关系式需熟记：在ABC中

CBACBAcos)cos(sin)sin(

C

BACBA

sin)

2

cos(

2

cos)

2

sin(







例1在ABC中,?,4:3:2sin:sin:sinABCCBA则

例2已知ABC中的最大角A是最小角C的二倍，且cba、、成等差数列,则____::cba

例3已知cba、、是ABC中CBA,,的对边,cba、、成等差数列，30B，ABC的面

积为

2

3

,那么_____b。

例4在ABCRt中,

的值－求BAcbaC,

2

6

,

2











。

十三、如何判定三角形的形状

原则上是将角化成边或将边化成角,主要工具是正余弦定理和三角恒等变形及代数变形.

注意：做等式变形过程中因式不可直接约分！

例1在ABC中,若,sinsincos2CAB•则ABC的形状一定是（)

等边三角形等腰三角形直角三角形等腰直角三角形....DCBA

例2关于0

2

coscoscos2

c

BAxxx的方程有一根为1，则ABC的形状一定是（)

钝角三角形锐角三角形直角三角形等腰三角形....DCBA

例3在ABC中,则,tantan22AbBaABC是(）

6

等腰或直角三角形直角三角形等腰直角三角形等腰三角形....DCBA