广东省学业水平测试

1

2023年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟测试卷(四）

(时间90分钟，总分150分)

一、选择题(本大题共15小题，每小题6分，共90分．在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的)

1.已知全集U＝{1,2,3,4}，集合A＝{1,2}，B＝{2,3}，则∁U(A∪B)等于()

A．{1,2,3,4}B．{3,4}

C．{3}D．{4}

2.函数f(x)＝lg(2x－1)的定义域是()

A．(1,2)B．













1

2

，1

∪(1，＋∞)

C．













1

2

，＋∞

D．













1

2

，2

∪(2，＋∞)

3.一个等腰三角形绕着底边上的高所在的直线旋转180°所形成的几何体的名称是()

A．圆柱B．圆锥

C．圆台D．圆柱的一部分

4.已知x∈













－

π

2

，0

，cosx＝

4

5

，则tan2x＝()

A．

7

24

B．－

7

24

C．

24

7

D．－

24

7

5.下列存在量词命题是假命题的是()

A.存在x∈Q，使2x－x3＝0B.存在x∈R，使x2＝0

C.存在钝角三角形的内角不是锐角或钝角D.有的有理数没有倒数

6.已知复数z满足(z－1)i＝1＋i，则z等于()

A．－2－iB．－2＋i

C．2－iD．2＋i

7.10名工人某天生产同一种零件，生产的件数分别是15,17,14,10,15,17,17,16,14,12，设其平均

数为a，中位数为b，众数为c，则有()

A．a＞b＞cB．b＞c＞a

C．c＞a＞bD．c＞b＞a

8.函数f(x)＝2x＋

1

4

x的零点所在区间为()

A．(－3，－2)B．(－2，－1)

C．(－1,0)D．(0,1)

9.小波一星期的总开支分布如图1所示，一星期的食品开支如图2所示，则小波一星期的鸡蛋

开支占总开支的百分比为()

2

图1图2

A．1%B．2%C．3%D．5%

10.函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)与g(x)＝－x＋a的图象大致是()

11.已知向量a＝













3

2

，sinα

，b＝













sinα，

1

6

，若a∥b，则锐角α为()

A．30°B．60°

C．45°D．75°

12.掷一枚骰子，出现偶数点或出现不小于4的点数的概率是()

A．

2

3

B．

3

4

C．

5

6

D．

4

5

13.某商场的某种商品的年进货量为10000件，分若干次进货，每次进货的量相同，且需运费

100元，运来的货物除出售外，还需租仓库存放，一年的租金按一次进货量的一半来计算，每

件2元，为使一年的运费和租金最省，每次进货量应为()

A．200件B．5000件

C．2500件D．1000件

14.设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)













ω＞0，0＜φ＜

π

2

，已知函数f(x)的图象相邻的两个对称中心的距

离是2π，且当x＝

π

3

时，f(x)取得最大值，则下列结论正确的是()

A.函数f(x)的最小正周期是4πB.函数f(x)在













0，

π

2

上单调递增

C.f(x)的图象关于直线x＝

3π

8

对称D.f(x)的图象关于点













3π

8

，0

对称

15.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝25，则

异面直线BD与AC所成的角为()

A．30°B．45°C．60°D．90°

3

二、填空题(本大题共4小题，每小题6分，共24分)

16.已知f(x)是奇函数，且当x<0时，f(x)＝－eax．若f(ln2)＝8，则a＝________

17.若等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，则AE

→

·EC

→

＝________

18．《九章算术》中有文：今有鳖臑，下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺．问积几何．文

中所述鳖臑是指四个面皆为直角三角形的三棱锥．在如图所示的鳖臑A-BCD中，若AB＝BD

＝CD＝1，则该鳖臑的体积为________

19.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边．若A＝

π

3

，b＝1，△ABC的面积为

3

2

，

则a的值为________

三、解答题(本大题共3小题，共36分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

20.(8分)如图，在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，

点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD．

求证：(1)直线PA∥平面BDE；(2)平面BDE⊥平面PCD．

21.(14分)已知函数f(x)＝ax－1(x≥0)的图象经过点













2，

1

2

，其中a>0且a≠1．

(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)(x≥0)的值域．

22.(14分)已知函数f(x)＝3sin













2x＋

π

3

－4cos2x，将函数f(x)的图象向左平移

π

6

个单位长度，再

4

向上平移2个单位，得到函数g(x)的图象长度．

(1)求函数g(x)的解析式；

(2)求函数g(x)在













π

12

，

π

2

上的最大值和最小值．

参考答案及解析：

一、选择题

5

1.D解析：A∪B＝{}1，2，3

，∴∁

U

(A∪B)＝

{}4

．故选D．

2.C解析：由题意得2x－1＞0，解得x＞

1

2

，故函数的定义域是









1

2

，＋∞

．故选C．

3.B

4.D解析：由cosx＝

4

5

，x∈









－

π

2

，0

，得到sinx＝－

3

5

，∴tanx＝－

3

4

，

则tan2x＝

2tanx

1－tan2x

＝

2×









－

3

4

1－









－

3

4

2

＝－

24

7

．故选D．

5.C解析：因为对任意的钝角三角形，其内角是锐角或是钝角，所以选项C不正确．

6.C解析：由(z－1)i＝1＋i，两边同乘－i，则有z－1＝1－i，所以z＝2－i．

7.D解析：由已知得a＝

1

10

×(15＋17＋14＋10＋15＋17＋17＋16＋14＋12)＝14.7，

b＝

1

2

×(15＋15)＝15，c＝17，∴c＞b＞a．故选D．

8.B解析：∵f(x)＝2x＋

1

4

x是连续递增的，f(－2)＝2－2＋

1

4

×(－2)＝

1

4

－

1

2

<0，f(－1)＝2－1－

1

4

＝

1

2

－

1

4

>0，

∴函数f(x)的零点所在区间为(－2，－1)．故选B．

9.C解析：由题图2知，小波一星期的食品开支为300元，其中鸡蛋开支为30元，占食品开支的10%，

而食品开支占总开支的30%，所以小波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为3%．故选C．

10.A解析：∵g(x)＝－x＋a是R上的减函数，∴排除选项C，D．由选项A，B的图象知，a>1，

∴g(0)＝a>1．故选A．

11.A解析：∵a∥b，∴sin2α＝

3

2

×

1

6

＝

1

4

．∴sinα＝±

1

2

．又∵α为锐角，∴α＝30°．

12.A解析：对立事件为出现1点或3点，所以P＝1－

2

6

＝

2

3

．

13.D解析：设每次进货x件，费用为y元．

由题意y＝100×

10000

x

＋2×

x

2

＝

1000000

x

＋x≥2

1000000

x

×x＝2000，当且仅当x＝1000时取等号，y最

小．故选D．

14.A解析：由题意，f(x)的最小正周期为4π，∴ω＝

2π

4π

＝

1

2

．

∵当x＝

π

3

时，f(x)取得最大值，即

1

2

×

π

3

＋φ＝2kπ＋

π

2

，k∈Z．∴φ＝2kπ＋

π

3

，k∈Z．

∵0＜φ＜

π

2

，∴φ＝

π

3

．∴f(x)＝2sin









1

2

x＋

π

3

．对于A，正确．

对于B，当x∈









0，

π

2

时，

1

2

x＋

π

3

∈









π

3

，

7π

12

，由正弦函数的单调性可知错误．

对于C，由2sin









1

2

×

3π

8

＋

π

3

≠2，故错误．对于D，由2sin









1

2

×

3π

8

＋

π

3

≠0，故错误．

15.C解析：如图，取B

1

C

1

的中点E，连接BE，DE，则AC∥A

1

C

1

∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与

AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝5，所以∠BDE＝60°．故选C．

二、填空题

16.答案：－3解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝－e－ax．

因为函数f(x)为奇函数，所以当x>0时，f(x)＝－f(－x)＝e－ax，

6

所以f(ln2)＝e－aln2＝









1

2

a

＝8，所以a＝－3．

17.答案：1解析：∵等边三角形ABC的边长为4，E是中线BD的中点，∴AE

→

＝AD

→

－ED

→

＝

1

2

AC

→

－

1

2

BD

→

，

CE

→

＝DE

→

－DC

→

＝－

1

2

BD

→

－

1

2

AC

→

．∴AE

→

·EC

→

＝

1

4

(AC

→

2－BD

→

2)＝

1

4

×(16－12)＝1．

18．答案：

1

6

解析：依题意，在Rt△ABD中，∠ABD＝90°，AB＝BD＝1，在Rt△BCD中，BD＝CD＝

1，∠BDC＝90°，所以AB⊥底面BCD，得S△BCD

＝

1

2

BD·CD＝

1

2

，所以V

A-BCD

＝

1

3

S△BCD

·AB＝

1

6

．

19.答案：3解析：由已知得

1

2

bcsinA＝

1

2

×1×c×sin

π

3

＝

3

2

，∴c＝2，则由余弦定理可得a2＝4＋1－

2×2×1×cos

π

3

＝3，∴a＝3．

三、解答题

20.证明：(1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，

所以O为AC的中点．

又E为PC的中点，所以OE∥PA．

因为OE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以直线PA∥平面BDE．

(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD．

因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC．

又PD⊂平面PCD，PC⊂平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD．

因为OE⊂平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD．

21.解：(1)∵f(2)＝

1

2

，∴a2－1＝

1

2

．∴a＝

1

2

．

(2)∵f(x)＝









1

2

x－1

，x≥0，∴x－1≥－1，故0<









1

2

x－1

≤









1

2

－1

＝2．

∴函数f(x)的值域为(0,2]．

22.解：(1)∵f(x)＝3sin









2x＋

π

3

－4cos2x＝3









sin2xcos

π

3

＋cos2xsin

π

3

－4×

1＋cos2x

2

＝

3

2

sin2x＋

3

2

cos2x－2cos2x－2＝

3

2

sin2x－

1

2

cos2x－2＝sin









2x－

π

6

－2，

∴由题意可得g(x)＝sin









2









x＋

π

6

－

π

6

－2＋2＝sin









2x＋

π

6

．

(2)∵x∈









π

12

，

π

2

，可得2x＋

π

6

∈









π

3

，

7π

6

，∴sin









2x＋

π

6

∈









－

1

2

，1

．

∴当x＝

π

6

时，函数g(x)有最大值1；当x＝

π

2

时，函数g(x)有最小值－

1

2

．