绝对可积

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

一、傅里叶变换

1、傅里叶积分存在定理：设ft定义在,内满足条件：

1）ft在任一有限区间上满足狄氏条件；

2）ft在,上绝对可积（即ftdt



收敛；

则傅氏积分公式存在，且有









,

1

[]11

00

2

,

2

iwiwt

fttft

fededw

ftft

tft



























是的连续点

是的第一类间断点

2、傅里叶变换定义式：[]()()iwtFftFwftedt







1-2

傅里叶逆变换定义式：1

1

[]()()

2

iwtFFwftFwedw











1-3

3、常用函数的傅里叶变换公式1

()F

F

ftF







矩形脉冲函数

1

,

2

2

()sin

2

0,

2

F

F

Et

E

ft

t



































1-4

单边指数衰减函数

1

,0

11

0,0

t

F

F

et

etFet

iwj

t



























1-5

单位脉冲函数1

1F

F

t







1-6

单位阶跃函数1

1F

F

utw

iw











1-7



1

12F

F

w







1-8



1

2F

F

tj









1-9

0

1

0

2F

jt

F

e









1-10



1

000

cosF

F

t













1-11



1

000

sinF

F

tj













1-12

4、傅里叶变换的性质

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

设[]FftFw，[]

ii

FftFw

（1）线性性：1

121

()()F

F

ftftFF









1-13

（2）位移性：0

1

0

F

jt

F

ftteF









1-14

0

1

0

()F

jt

F

eftF









1-15

（3）微分性：1

()F

F

ftjF









1-16



1

()F

n

n

F

ftjF







1-17



1

()F

F

jtftF











1-18





1

()F

n

n

F

jtftF









1-19

（4）积分性：1

1

()t

F

F

ftdtF

j









1-20

（5）相似性：

1

1

()F

F

fatF

aa















1-21

（6）对称性：1

()2F

F

Ftf









1-22

上面性质写成变换式如下面：

（1）线性性：1212

()()()()FftftFwFw1-13-1

1

1212

()()()()FFwFwftft（,是常数）1-13-2

（2）位移性：0

()Fftt0

iwteFw1-14

0

0

0

()()iwt

www

FeftFwFww









1-15

（3）微分性：设t时,0)t(f,则有

()()[]()FftiwFftiwFw



1-16

()()[]()n

n

nFftiwFftiwFw







1-17

()()

d

FtftjFw

dw

1-18

()()

n

nn

n

d

FtftjFw

dw







1-19

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

（4）积分性：()

()tFw

Fftdt

iw











1-20

（5）相似性：1

()()

w

FfatF

aa

1-21-1

翻转性:1a时wFtfF][1-21-2

（6）对称性:设wFtf，则

wftF2或2Ftfw1-22

5、卷积公式：)()(

21

tftf=dtff)()(

21





。1-23

12

0

12

()(),0

()()

0,0

tfftdt

ftutftut

t





















1-24

6、卷积定理：设11

()()FftFw

22

()()FftFw

1

1212

()()()()F

F

ftftFwFw









1-25

1

1212

()()()()F

F

ftftFwFw









1-26

7、单位脉冲函数:

筛选性：假设()ft在（，）上连续，则有：()()(0)tftdtf





1-27

更一般的有：

00

()()()ttftdtft





1-28

时间尺度变换性质：1

()()

c

ktct

kk

其中,0kc1-29

特殊的：1

()(),(0)kttk

k

和()()tt1-30

乘以时间的函数()ft性质：()()()()fttafata1-31

特殊的：()()(0)()fttft和()0tt

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

二、拉普拉斯变换

1、拉普拉斯变换定义式：tfL=

0

stftedt



=sF

拉普拉斯逆变换定义式：tfsFL1

2、常用函数的拉氏变换：







1

1

1

1

1

1

1

1

22

22

22

22

11

1

1

1u

1

sin

cos

1

!

L

L

L

L

L

kt

L

L

L

L

L

L

L

L

L

mN

L

m

mm

L

t

t

s

e

sk

k

kt

sk

s

kt

sk

k

shkt

sk

s

chkt

sk

m

m

t

ss





































































，







22

22

22

22

11

[]1

1

[1]

1

[]

[sin]

[cos]

[]

[]

1

!

[]

kt

mN

m

mm

Lt

LLut

s

Le

sk

k

Lkt

sk

s

Lkt

sk

k

Lshkt

sk

s

Lchkt

sk

m

m

Lt

ss







































3、基本性质：设11

,,1,2,LL

ii

LL

ftFsftFsi









是常数

（1）线性性质：1

1212

L

L

ftftFsFs









（2）微分性质：1

0L

L

ftsFsf















1

L

L

dFs

tft

ds







推广到n阶：

1

1

12000L

nn

nnn

L

ftsFssfsff

















1

n

L

n

n

L

dFs

tft

ds







（3）积分性质：



10

t

L

L

Fs

ftdt

s









1

L

s

L

ft

Fsds

t





-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

（4）位移性质：0

1

0

L

st

L

ftteFs











1

L

at

L

eftFsa









（5）相似性质：1

1

,0L

L

s

fatFa

aa













上面性质写成变换式如下面：

（1）线性性质：时域上：sFsFtftfL

2121



频域上：1LtftfsFsF

2121



（2）微分性质：时域上：0fssFtfL



推论：00001321







nnnnnnffsfsfssFstfL

频域上：



[]1

dFs

Ltft

ds



或1[]LFstft



推论：



n

n

n

ds

sFd

tftL][

（3）积分性质：时域上：



0

[]tFs

Lftdt

s



频域上：若

s

Fsds

收敛，则



[]

s

ft

LFsds

t



推广：如果积分



0

ft

dt

t



存在，则





00

[]

ft

dtLftds

t



（4）位移性质：时域上：0

0

[]stLftteFs

或：0

1

00

[]stLeFsfttutt



频域上：asFtfeLat][casRe

或：11atatLFsaeLFft





（5）相似性质：















a

s

F

a

atfL

1

][0a

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

更广泛：1

[]

b

s

a

s

LfatbeF

aa









4、卷积定理：1

1212

L

L

ftftFsFs









即：1212

[]LftftFsFs