上海交大自主招生

交通大学2000年自主招生考试

数学试题

一、选择题（本题共15分，每小题3分．在每小题给出的4个选项中，只有一项正确，

把所选项的字母填在括号内）

1．若今天是星期二，则31998天之后是

（）

A．星期四B．星期三C．星期二D．星期一

2．用13个字母A，A，A，C，E，H，I，I，M，M，N，T，T作拼字游戏，若字母的各种排

列是随机的，恰好组成“MATHEMATICIAN”一词的概率是

（）

A．

48

13!

B．

216

13!

C．

1728

13!

D．

8

13!

3．方程cos2x2x+sinx＝m+1有实数解，则实数m的取值范围是

（）

A．

1

8

mB．mC．mD．

1

3

8

m

4．若一项数为偶数2m的等比数列的中间两项正好是方程x2+px+q＝0的两个根，则此数

列各项的积是（）

A．pmB．p2mC．qmD．q2m

5．设f’（x0）＝2，则00

0

()()

lim

h

fxhfxh

h



（）

A．B．2C．D．4

二、填空题（本题共24分，每小题3分）

1．设f（x）的原函数是1x，则

1

0

(2)fxdx__________．

2．设(0,)

2

x



，则函数（22

22

11

sin)(cos)

sincos

xx

xx

的最小值是__________．

3．方程316281536xxx的解x＝__________．

4．向量2aij在向量34bij上的投影()

b

a__________．

5．函数3

223yxx的单调增加区间是__________．

6．两个等差数列200，203，206，…和50，54，58…都有100项，它们共同的项的个数

是__________．

7．方程7x2（k+13）x+k2k＝0的两根分别在区间（0,1）和（1,2）内，则k的取

值范围是__________．

8．将3个相同的球放到4个盒子中，假设每个盒子能容纳的球数不限，而且各种不同的

放法的出现是等可能的，则事件“有3个盒子各放一个球”的概率是________．

三、证明与计算（本题61分）

1．（6分）已知正数列a1，a2，…，an，且对大于1的n有

12

3

2n

aaan，

12

1

2n

n

aaa



．

试证：a1，a2，…，an中至少有一个小于1．

2．（10分）设3次多项式f（x）满足：f（x+2）＝f（x），f（0）＝1，f（3）＝4，

试求f（x）．

3．（8分）求极限

1

12

lim(0)

ppp

p

n

n

p

n





．

4．（10分）设

2,0

()

,0

xbxcx

fx

lxmx













在x＝0处可导，且原点到f（x）中直线的距

离为

1

3

，原点到f（x）中曲线部分的最短距离为3，试求b，c，l，m的值．（b,c>0）

5．（8分）证明不等式：

3

41sincos2xx，[0,]

2

x



．

6．（8分）两名射手轮流向同一目标射击，射手甲和射手乙命中目标的概率都是

1

2

．若射

手甲先射，谁先命中目标谁就获胜，试求甲、乙两射手获胜的概率．

7．（11分）如图所示，设曲线

1

y

x

上的点与x轴上的点顺次构成等腰直角三角形△OB1A1，

△A1B2A2，…，直角顶点在曲线

1

y

x

上．试求An的坐标表达式，并说明这些三角形的面积之

和是否存在．

O

y

x

B

1

A

2

A

1

B

2