8省联考

2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

1．已知M，N均为R的子集，且∁

R

M⊆N，则M∪（∁

R

N）＝（）

A、∅B、MC、ND、R

2．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，

则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为（）

A、

6

1

B、

3

1

C、

2

1

D、

3

2

3．关于x的方程x2＋ax＋b＝0，有下列四个命题：

甲：x＝1是该方程的根；

乙：x＝3是该方程的根；

丙：该方程两根之和为2；

丁：该方程两根异号．

如果只有一个假命题，则该命题是（）

A、甲B、乙C、丙D、丁

4．椭圆

12

2

m

x

＋

2

2

m

y

＝1（m＞0）的焦点为F

1

，F

2

，上顶点为A，若∠F

1

AF

2

＝

3



，则

m＝（）

A、1B、2C、3D、2

5．已知单位向量a，b满足a•b＝0，若向量c＝7a＋2b，则sin＜a，c＞＝（）

A、

3

7

B、

3

2

C、

9

7

D、

9

2

6．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是（）

A、60B、80C、84D、120

7．已知抛物线y2＝2px上三点A（2，2），B，C，直线AB，AC是圆(x−2)2＋y2＝1的两

条切线，则直线BC的方程为（）

A、x＋2y＋1＝0B、3x＋6y＋4＝0

C、2x＋6y＋3＝0D、x＋3y＋2＝0

8．已知a＜5且ae5＝5ea，b＜4且be4＝4eb，c＜3且ce3＝3ec，则（）

A、c＜b＜aB、b＜c＜a

C、a＜c＜bD、a＜b＜c

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合

题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9．已知函数f（x）＝xln（1＋x），则（）

A、f（x）在（0，＋∞）单调递增

B、f（x）有两个零点

C、曲线y＝f（x）在点（−

2

1

，f（−

2

1

））处切线的斜率为−1−ln2

D、f（x）是偶函数

10．设z

1

，z

2

，z

3

为复数，z

1

≠0．下列命题中正确的是（）

A、若|z

2

|＝|z

3

|，则z

2

＝±z

3

B、若z

1

z

2

＝z

1

z

3

，则z

2

＝z

3

C、若

2

z＝z

3

，则|z

1

z

2

|＝|z

1

z

3

|D、若z

1

z

2

＝|z

1

|2，则z

1

＝z

2

11．如图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中（）

A、AE∥CD

B、CH∥BE

C、DG⊥BH

D、BG⊥DE

12．设函数f（x）＝

xx

x

cossin2

2cos



，则（）

A、f（x）＝f（x＋π）B、f（x）的最大值为

2

1

C、f（x）在（−

4



，0）单调递增D、f（x）在（0，

4



）单调递减

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13．圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上，其上、下底面半径分别为4和5，

则该圆台的体积为___________．

14．若正方形一条对角线所在直线的斜率为2，则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别

为__________，_____________．

15．写出一个最小正周期为2的奇函数f（x）＝__________．

16．对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果．已知最后

结果的误差ε

n

～N（0，

n

2

），为使误差ε

n

在（−0.5，0.5）的概率不小于0.9545，至少要

测量_________次．（若X～N（μ，σ2），则P（|X−μ|＜2σ）＝0.9545）．

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．已知各项都为正数的数列{a

n

}满足a

2n

＝2a

1n

＋3a

n

．

（1）证明：数列{a

n

＋a

1n

}为等比数列；

（2）若a

1

＝

2

1

，a

2

＝

2

3

，求{a

n

}的通项公式．

18．在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝BD＝CD＝1．

（1）若AB＝

2

3

，求BC；

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC．

19．一台设备由三个部件构成，假设在一天的运转中，部件1，2，3需要调整的概率分别为

0.1，0.2，0.3，各部件的状态相互独立．

（1）求设备在一天的运转中，部件1，2中至少有1个需要调整的概率；

（2）记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X，求X的分布列及数学期望．

20．北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用．刻画空间的弯曲性是几何研

究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲

率等于2π与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫

做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为

零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和．例如：正

四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是

3



，所以正四面体在

各顶点的曲率为2π−3×

3



＝π，故其总曲率为4π．

（1）求四棱锥的总曲率；

（2）若多面体满足：顶点数−棱数＋面数＝2，证明：这类多面体的总曲率是常数．

21．双曲线C：

2

2

a

x

−

2

2

b

y

＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，动点B在C上．当

BF⊥AF时，|AF|＝|BF|．

（1）求C的离心率；

（2）若B在第一象限，证明：∠BFA＝2∠BAF．

22．已知函数f（x）＝ex−sinx−cosx，g（x）＝ex＋sinx＋cosx．

（1）证明：当x＞−

4

5

时，f（x）≥0；

（2）若g（x）≥2＋ax，求a．