ex求导

2.2.1-2_求导法则与导数公式

求导法则与导数公式

2.2求导法则与导数公式

求导法则与导数公式

2.2.1若干基本初等函数的导数1.(C)0;2.(x)x1(R);3.

(sinx)cosx;4.(cosx)sinx;5.(logax)1xlna

;

(lnx)

1__

;

6.(ax)axlna;

(e)ex

求导法则与导数公式

2.2.2导数的四则运算法则定理1若函数f(x)、g(x)在

点x处可导，则(1)[(f(x)g(x)]f(x)g(x);

(2)[f(x)g(x)]f(x)g(x)f(x)g(x);

特别[cf(x)]Cf(x)(C为常数);(3)[f(x)g(x)]f(x)g

(x)f(x)g(x)[g(x)]2

,(g(x)0);

特别[

1g(x)

]

g(x)[g(x)]2

,(g(x)0).

求导法则与导数公式

证明：令yf(x)g(x),则只证公式(2)。ylimyxx0

lim

f(xx)g(xx)f(x)g(x)x

x0

lim[x0

f(xx)g(xx)f(x)g(xx)∵函数g(x)在x点可导，∴

函数g(x)在x点连续，

xf(x)g(xx)f(x)g(x)x

]

lim[x0

f(xx)f(x)

xg(xx)g(x)lim[f(x)]x0x

g(xx)]

∴limg(xx)g(x)。x0

f(x)g(x)f(x)g(x)

求导法则与导数公式

公式(1)、(2)可以推广到有限多个函数的情形，即

①[f1(x)f2(x)fn(x)](x)f2(x)fn(x);f1

②[C1f1(x)C2f2(x)Cnfn(x)]C1f1(x)C2f2(x)

Cnfn(x);

③[(f1(x)f2(x)fn(x)]f1(x)f2(x)fn(x)f1(x)f

2(x)fn(x)f1(x)f2(x)fn(x)

求导法则与导数公式

例1求下列函数的导数

(1)y2x3esin2__

(2)y

x5

x1x3

3cosx;x

(3)yxsinx(lnx3

1x

)

(4)y

lnxx

4

求导法则与导数公式

例1求下列函数的导数

(1)y2x3esin2__

解：y(2x3ex2sinxcosx)2(x)3(e)2[(sinx)cosxsin

x(cosx)]x

2

12x

3e2(cosxsinx)x22

1x

3e2cos2x.x

求导法则与导数公式

(2)y

x5

x1x23

3cosx;x

解：yxx2y(x)(x

52

x

3

3cosx,x

52

)(x)(3)cosx3

(cosx)xx

3

2x

52

72

x

3x

4

3ln3cosx3sinx。xx

求导法则与导数公式

(3)yxsinx(lnx3

1x1x

)

解：y[xsinx(lnx3

)]

(x)sinx(lnx3

1x

)x(sinx)(lnx3

1x

)xsinx(lnx3

1x

)

3xsinx(lnx2

1x1x

)xcosx(lnx3

1x1x

)xsinx(3

1x

1x2

)

3xsinx(lnx2

)xcosx(lnx3

)(xx)sinx.2

求导法则与导数公式

(4)y

lnxx

4

解：yy4

lnxx

4

4lnxx2

(lnx)xlnx(x)x

4

1lnxx2

4(1lnx)x2

.

求导法则与导数公式

例2.求函数ytanx的导数。

解：y(tanx)(22

sinxcosx

)1cx.2

cosxsinxcosx2

cosx2

2

(tanx)cx类似地可得：(cotx)csc2x,(cx)cxtan

x,(cscx)cscxcotx.

求导法则与导数公式

例3.求下列函数的导数(1)y101x

101x

(2)yshx注：shx

121

(eex

x

)

(双曲正弦函数)

chx

thx

2shx

(eex

x

)xx

chx

eex

eex

cthx

chxshx

eex

xx

eex

求导法则与导数公式

例3.求下列函数的导数(1)y101x

101x

解法1:yx

(101)(101)(101)(101)xxxx

(101)__x

2

10ln10(101)(101)10ln10x

(101)x

2

210ln10x

(101)x

2

.

解法2:y

101x

101x

1

2101__

,210ln10x

y(1

2101x

)

2(101)(101)x2

(101)x

2

.

求导法则与导数公式

(2)yshx解：y(shx)[(ee)]x

1

x

12x

2

(ex

1ex

)

12

(ex

ee

x

2x

)

12

(eex

)chx,

即

(shx)chx

类似可得到(chx)shx,(thx)1chx2

,

(cthx)

1shx2

求导法则与导数公式

例4.设f(x)x(x1)(x2)(x100),求f(0)。

解法1:(利用乘积的求导法则)f(x)x[(x1)(x2)(x100)]

x[(x1)(x2)(x100)][(x1)(x2)(x100)]x[(x1)(x2)(x

100)]

f(0)(1)(2)(3)(100)100!.

解法2:(利用导数的定义)f(0)limf(x)f(0)x0x0

lim

x(x1)(x2)(x100)0x

x0

lim(x1)(x2)(x100)100!.x0

求导法则与导数公

式

例5.已知f(x)g(x)sin(xx0)(1),其中g(x)在点x

0处连续，证明f(x)在点x0处可导。分析：仅知g(x)连

续，故不能用乘法求导公式，只能从导数的定义出发来证明。

证明：f(x0)0,f(x0)limf(x)f(x0)xx0xx0

lim

g(x)sin(xx0)xx0

xx0

g(x0),1.10,

∴f(x)在点x0处可导。

求导法则与导数公式

1e2x,x0,例6.设f(x)2求f(x)。x0.x,

解：当x0时,f(x)(1e2x)[(e2)x]2x22xelne2e,

当x0时，f(x)(x2)2x,当x0时，∵f(00)f(00)f(0)0,

∴f(x)在点x0连续。∵f(0)limx0

f(x)f(0)x0

limx0

1e2

2x

0

x0

2,

f(0)limx0

f(x)f(0)x0

limx0

x0x0

0,

2e2x,x0,∴f(x)在点x0不可导。故f(x)x0.2x,

求导法则与导数公式

续上

1e2x,x0,例6.设f(x)2求f(x)。x0.x,

错解：当x0时，f(x)2e2x,

当x0时，f(x)2x,

当x0时，∵f(0)0,f(0)0,2e2x,x0,∴f(x)0,x0,

x0.2x,

错解分析：对于分段函数，关键是用定义对分段点求导，f(0)

[f(0)]0是不对的。

求导法则与导数公式

作业习题二(P51)1(4)(5)(7)(8)(10)(11);

2(1);3;4;5;7;12;15;17。