椭圆切线方程公式推导

O

“椭圆的切线方程”教学设计

马鞍山二中刘向兵

一、教学目标

知识与技能：1、能根据已知条件求出已知椭圆的切线方程；

2、让学生可以运用研究圆的切线方程的方法类比到椭圆切线方程的研究。

过程与方法：尝试用椭圆的切线方程解决椭圆的切线性质问题。

情感态度与价值观：通过对椭圆的切线方程问题的探究，培养学生勤于思考，勇于探索的

学习精神。

二、教学重点与难点

教学重点：应用特殊化（由特殊到一般）方法解决问题。

教学难点：椭圆的切线方程的探究。

三、教学流程设计

(一）创设情境

复习：怎样定义直线与圆相切？

设计意图：温故而知新。由前面学习过的直线与圆相切引出直线与椭圆相切。定义做类比，

都是“直线与其有且只有一个交点”来定义相切，从而通过解析法中联立方程组，消元，一

元二次方程中的判别式等于零来解决。

(二）探究新知

基础铺垫：

问题1、已知椭圆

22

:1

82

xy

C与直线l只有一个公共点

（1）请你写出一条直线l的方程；

（2）若已知直线l的斜率为1k，求直线l的方程；

（3）若已知切点(2,1)P,求直线l的方程；

（4）若已知切点

5

(3,)

2

P,求直线l的方程。

设计意图：（1）根据椭圆的特征，可以得到特殊的切线方程如

22,2xy

。先由

特殊情况过渡到一般情况。切线确定，切点确定。

（2）已知斜率求切线，有两条，并且关于原点对称。利用斜截式设直线，联立方程组，消

元，得到一元二次方程，判别式0。切线斜率确定，切线不确定。

（3）已知切点求切线，只有唯一一条。利用点斜式设直线，联立方程组，消元，得到一元

二次方程，判别式0。由于切点是整数点，运算简洁。切点确定，切线确定。可总结由

（2）（3）两道小题得到求切线方程的一般步骤：设直线，联立方程组，消元，得到一元二

次方程，判别式0。

（4）同（3）的方法，但是切点不是整数点，运算麻烦，学生运算有障碍，所以要引出由切

点得到椭圆切线的一般方法。

问题一般化：

猜想：椭圆

22

22

:1

xy

C

ab

与直线l相切于点

00

(,)Pxy，则切线l的方程？

（椭圆的切线方程的具体求法，详情请见微课）

设计意图：类比经过圆上一点P(x

0

，y

0

)的切线的方程为2

00

xxyyr进行猜想，培

养学生合情推理的能力。由于具体的求解过于繁琐，思想方法同问题1，所以上课时没必要

花费时间进行求解，做成微课方便学生课后时间自己解决。

探究：在椭圆中，有关切线问题，还可以求哪些量？

例：已知圆的方程是x2+y2=r2，求经过圆上一点P(x

0

，y

0

)的切线的方程。

x

y

O

P

经过圆上一点P(x

0

，y

0

)的切线的方程为2

00

xxyyr，且直线OP垂直于切线，

所以，=-1

op

kk

切线

，

1.点与圆

设点P(x

0

，y

0

)，圆222()()xaybr则

点在圆内222

00

()()xaybr，

点在圆上222

00

()()xaybr，

点在圆外222

00

()()xaybr

由圆C方程及直线l的方程，消去一个未知数，得一元二次方程，设一元二次方程的根的判

别式为Δ，则

l与圆C相交0，

l与圆C相切0，

l与圆C相离0

类比到圆中：

已知圆222:Cxyr与直线l相切于点

00

(,)Pxy，且点

00

(,)Pxy在第一象限，若直线l与

x轴、y轴分别交于点BA、.

x

y

O

B

A

P

结论（1）过点P的切线方程为2

00

xxyyr；

（2）OPABQ1

OPAB

kk；（可以用极限的思想理解，当椭圆中的

ab

时，椭圆圆，所以

2

2

1

OPAB

b

kk

a

）

（3）过点P的切线方程为2

00

xxyyr与x轴、y轴分别交于点BA、,

2

0

(0,)

r

A

y

，

2

0

(,0)

r

B

x

，所以0

0

AB

x

k

y

；（椭圆中

2

0

2

0

AB

bx

k

ay

也可理解为

a

趋于b时，

AB

k趋于0

0

x

y

）

（4）2||||||2||||2||2ABAPBPAPBPOPr，当且仅当||||APBPr时，

取“=”

由2014年浙江高考题最后一道题

[2014·浙江卷]如图，设椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

，动直线l与椭圆C只有一个公共

点P，且点P在第一象限.

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

（2）若过原点O的直线l1与l垂直，证明：点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

如图，设椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且点P在

第一象限.

（1）已知直线l的斜率为k，用a，b，k表示点P的坐标；

y

x

O

P

(1)解：设直线l的方程为y＝kx＋m(k<0)，由









y＝kx＋m，

x2

a2

＋

y2

b2

＝1，

联立消去y得(b2＋a2k2)x2＋2a2kmx＋a2m2－a2b2＝0.

由于l与C只有一个公共点，所以42222222244()()0akmambbak，化简

得2222makb(*)，解得点P的坐标为













－

a2km

b2＋a2k2

，

b2m

b2＋a2k2.

又点P在第一象限，故222makb,

所以点P的坐标为

22

222222

(,)

akb

P

akbakb





.

（2）设点

00

(,)Pxy，且点

00

(,)Pxy在第一象限，用点P的坐标

00

,xy表示椭圆的切线

方程；

(2)解：

00

(,)Pxy，则由（1）知

22

00

222222

,

akb

xy

akbakb





，

则可设过点P切线l的方程为

00

()yykxx消参得

2

2

00

22

00

xbx

ak

k

ybay

代

入

00

()yykxx得

2

0

00

2

0

()

bx

yyxx

ay



化为整式22222222

0000

ayybxxaybxab（因为点P在椭圆上，所以

22

222222

00

00

22

1

xy

aybxab

ab

），

两边同除以22ab得椭圆的切线方程00

22

1

xxyy

ab

，与圆的切线方程做类比，形式相仿。

所以，过切点

00

(,)Pxy的椭圆的切线方程00

22

1

xxyy

ab

.

(3)连接OP，切线l的斜率为

k

切线

，直线OP的斜率为

OP

k,求证=

op

kk

切线

定值；

(3)由（2）中所得的

2

2

00

22

00

xbx

ak

k

ybay



又因为00

00

0

0OP

yy

k

xx







，所以

2

2

OPAB

b

kk

a

=定值

（与圆的

=-1

op

kk

切线

做类比，可以用极限的思想理解，当椭圆中的

ab

时，

椭圆加强为了圆，所以

2

2

1

OPAB

b

kk

a

）

问题2、已知椭圆

22

22

:1

xy

C

ab

与直线l相切于点

00

(,)Pxy，且点

00

(,)Pxy在第一象限，

若直线l与

x

轴、y轴分别交于点BA、，求线段||AB的最小值。

x

y

B

A

O

P

直线AB的方程设为,(0,),(,0)

m

ykxmAmB

k

，则根据两点间的距离公式可得

2

22

2

||

m

ABm

k

，又因为前面根据直线和椭圆相切已求出2222makb(*)，代入可得

222

2222222222222

222

||()2()

mbb

ABmakbaabakababab

kkk



，线段||AB的最小值为ab.当且仅当

22

2242

22

bbb

akkk

kaa

时，取到“=”.

下面再继续讨论“=”取到时的条件。

由前面已证过的

2

2

OPAB

b

kk

a

知，此时

2

3

23232

0

00

23

0

OP

y

b

kbxay

xa



2

3

322322

0

000

2

(1),

x

a

abbxaaxx

aab





代入

2

3

2

0

23

0

OP

y

b

k

xa

得

3

2

0

b

y

ab





，

所以可得到，222

00

||()PAxym22222

0000

()(1)(1)

b

xkxkxx

a

，代入

3

2

0

,

a

x

ab





得2||PA

3

2

aba

a

aab







.||,||PAaPBb

问题3、已知椭圆

22

22

:1

xy

C

ab

与直线l相切于点

00

(,)Pxy，且点

00

(,)Pxy在第一象限，

若直线l与

x

轴、y轴分别交于点BA、.若过原点O的直线l1与l垂直交与点D，证明：

||||PDAB定值.

y

x

D

O

A

B

P

证明：由于过点P的切线l方程为00

22

1

xxyy

ab

，直线l与x轴、y轴分别交于点BA、，

所以

22

00

(0,),(,0)

ba

AB

yx

，则

44

22

00

||

ab

AB

xy



由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的

距离00

2

||

||

1

kyx

PD

k







，前面已证过

2

0

2

0

bx

k

ay

，代入得

2

0

22

22

0

2

000000

242424244

000

22

42

00

0

||

||||

||

||

1

1

bx

x

kyxaxybxy

ab

a

PD

kbxaybxab

xy

ay















22222||||||PDABababc=定值（c为椭圆的半焦距）

问题4、如图，设椭圆

22

22

:1(0)

xy

Cab

ab

，动直线l与椭圆C只有一个公共点P，且

点P在第一象限.若过原点O的直线

1

l与l垂直，证明：点P到直线

1

l的距离的最大值为ab.

y

x

l

1

l

D

O

P

证明：方法一、

由于直线l1过原点O且与l垂直，故直线l1的方程为x＋ky＝0，所以点P到直线l1的

距离d＝











－a2k

b2＋a2k2

＋

b2k

b2＋a2k2

1＋k2

，

整理得d＝

a2－b2

b2＋a2＋a2k2＋

b2

k2

.

因为a2k2＋

b2

k2

≥2ab，所以

a2－b2

b2＋a2＋a2k2＋

b2

k2

≤

a2－b2

b2＋a2＋2ab

＝a－b，

当且仅当k2＝

b

a

时等号成立．

所以，点P到直线l1的距离的最大值为a－b.

方法二、由前面证过的问题2与问题3的结论，线段||AB的最小值为ab，

2222||||||PDABabab=定值，可得点P到直线l1的距离||PD的最大值为a－b.

y

x

D

O

A

B

P

y

x

O

A

B

P