复数练习题

高中数学复数练习题附答案

一、单选题

1

．复数

20222i

1i

z



（其中i为虚数单位），则

z

在复平面内对应的点位于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

2

．已知复数1

3iza，

2

2iz（

i

为虚数单位），若

12

zz是纯虚数，则实数a

（）

A

．

3

2

B

．

3

2

C

．6D

．6

3

．设复数

2

1i

z



，则

z

在复平面内对应的点的坐标为（）

A

．（

1

，

1

）

B

．（

-1

，

1

）

C

．（

1

，

-1

）

D

．（

-1

，

-1

）

4

．已知复数1

13iz的实部与复数

2

1iza的虚部相等，则实数

a

等于

（）

A

．

-3B

．

3

C

．

-1D

．

1

5

．在复平面内，复数

z

满足1i1i,zababR

，且

z

所对应的点在第一象

限或坐标轴的非负半轴上，则2ab的最小值为（）

A

．2B

．1C

．

1D

．

2

6

．设||

(12i)34iz，则

z

的共轭复数对应的点在（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

7

．如图，在复平面内，复数z对应的点为P，则复数i=z（）

A

．2iB

．12iC

．1+2iD

．2i

8

．已知复数z满足i232izz（

i

为虚数单位），则

z

在复平面内对应的点位

于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

9

．已知复数

2i

i





a

z（aR，

i

是虚数单位）的虚部是3，则复数

z

对应的点

在复平面的（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

10

．若复数

z

满足13i17iz

，则

z

在复平面内对应的点位于（）

A

．第一象限

B

．第二象限

C

．第三象限

D

．第四象限

11

．已知

z

1，

z

2∈

C

，

|z

1＋

z

2

|

＝

2

2

，

|z

1

|

＝

2

，

|z

2

|

＝

2

，则

|z

1－

z

2

|

等于

（）

A

．

1B

．1

2

C

．

2D

．

2

2

12

．设i为虚数单位，

1i2iz

，则复数z的虚部是（）

A

．

1

2

B

．

1

i

2

C

．

3

2

D

．

3

i

2



13

．复数2iz（i为虚数单位）的虚部为（）

A

．2B

．1C

．iD

．1

14

．若复数

z

满足

12i10z，则（）

A

．

24iz

B

．2z是纯虚数

C

．复数

z

在复平面内对应的点在第三象限

D

．若复数

z

在复平面内对应的点在角

α

的终边上，则

25

sin

5



15

．若复数2(1i)的实部为

a

，虚部为

b

，则ab（）

A

．3B

．2C

．

2D

．

3

16

．已知34iz，则izz

（）

A

．1117iB

．1917iC

．1117iD

．1923i

17

．设复数1iz（i是虚数单位），则复数2

2

z

z

（）

A

．1iB

．1iC

．2iD

．2i

18

．复数

z

在复平面内对应点的坐标为（－

2

，

4

），则1z

（）

A

．

3B

．

4C

．17D

．19

19

．已知复数z满足(2i)43iz（i为虚数单位），则z（）

A

．

2

＋

iB

．

2

－

iC

．

1

＋

2iD

．

1

－

2i

20

．若复数

2i,zababR，

在复平面内对应的点在直线

20xy

上，则

ab（）

A

．4B

．

0C

．

2D

．

4

二、填空题

21

．若复数(1i)+(2+3i)z

（

i

为虚数单位），则z__________.

22

．设复数i12z（i是虚数单位），则在复平面内，复数2z

对应的点的坐标

为

________.

23

．已知复数z满足

1i42iz，则z_________

（用代数式表示）

.

24

．已知i是虚数单位，则

2022

202221i

1i1i





















________.

25

．

18

世纪末期，挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数，

使复数及其运算具有了几何意义，例如，zOZ，也即复数

z

的模的几何意义

为

z

对应的点

Z

到原点的距离，在复数平面内，复数

0

2i

1i

a

z







(i

是虚数单位，

)aR

是纯虚数，其对应的点为

0

Z，

Z

为曲线1z上的动点，则

0

Z与Z之间的最

小距离为

________________.

26

．若i为虚数单位，复数3iz，则表示复数

1i

z



的点在第

_______

象限

.

27

．若复数z满足i2022iz（i是虚数单位），则z的虚部是

___________.

28

．若复数

z

满足

i3

i=

i

z



，则z________.

29

．在复平面内，复数1

z和

2

z

对应的点分别是

(21)A，

和

(01)B，

，则1

2

z

z

_______.

30

．若复数2(2)9i()zmmmR是正实数，则实数m的值为

________

．

31

．

已知i是虚数单位，复数z满足322iz

，则z___________.

32

．已知复数



3i

R

i

b

zb



的实部和虚部相等，则z___________

．

33

．已知复数

13i

13i

z







，则复数

z

的虚部为

__________.

34

．甲､乙､丙､丁四人对复数z的陈述如下（i为虚数单位）：甲：25zz；

乙：

2zz

；丙：

2

6;:

4

zz

zz

z

丁，在甲､乙､丙､丁四人陈述中，有且只有两

个人的陈述正确，则

z___________.

35

．复数

1515

cos

77

isin



的辐角主值是

________

．

36

．下列命题：

①

若aR，则

1ia

是纯虚数；

②

若22132ixxxxR

是纯虚数，则1x；

③

两个虚数不能比较大小．

其中正确命题的序号是

________

．

37

．若i是虚数单位，则复数

3

10i

3i





________

．（写成最简结果）

38

．设

i

是虚数单位，复数

44i

13

z







，则z___________.

39

．设

i

为虚数单位，则复数

2(1i)

1i





=____

．

40

．已知复数

ππ

sinicos

33

z，则z________

．

三、解答题

41

．设实部为正数的复数z，满足10z，且复数

(12i)z

在复平面上对应的点

在第一、三象限的角平分线上

.

(1)

求复数z；

(2)

若

i

()

1i

m

zmR







为纯虚数，求实数

m

的值

.

42

．已知复数

z

1＝3＋

i

，

z

2＝

13

22

i

(1)

求

|z

1

|

及

|z

2

|

并比较大小；

(2)

设Cz，满足条件

|z

2

|≤|z|≤|z

1

|

的点

Z

的轨迹是什么图形？

43

．已知复数22(6)(215)izmmmm（i是虚数单位）

.

(1)

若复数z是实数，求实数m的值；

(2)

若复数z是纯虚数，求实数m的值

.

44

．根据要求完成下列问题：

(1)

关于x

的方程2(2i)i10xaxa有实根，求实数a

的取值范围；

(2)

若复数22(2)(23)izmmmm（Rm）的共轭复数

z

对应的点在第一象

限，求实数

m

的集合．

45

．（

1

）已知设方程

，



是方程220xxa的两根，其中aR，则||||

的值；

（

2

）关于x的方程243i0xax有实根，其中aC，求||a的最小值，并求取

得最小值时方程的根．

【参考答案】

一、单选题

1

．

B

2

．

A

3

．

D

4

．

C

5

．

B

6

．

D

7

．

D

8

．

A

9

．

D

10

．

D

11

．

D

12

．

C

13

．

D

14

．

D

15

．

B

16

．

B

17

．

A

18

．

C

19

．

B

20

．

B

二、填空题

21

．13

22

．34，

23

．13i##3i+1

24

．2

25

．

1

26

．四

27

．2022

28

．5

29

．12i##2i+1

30

．

3

31

．2

32

．

32

33

．

3

2



34

．2

35

．

7



36

．

③

37

．13i##3i1

38

．2622

39

．1i

40

．

1

三、解答题

41

．

(1)3iz；

(2)6m.

【解析】

【分析】

（

1

）根据复数的模公式，结合复数乘法的运算法则、第一、三象限的角平分线

的性质进行求解即可；

（

2

）根据纯虚数的定义，结合共轭复数的定义、复数除法的运算法则进行求解

即可

.

(1)

设22i(0,),10,(12i)2(2)izababRzabzabba，

由题意得，

22

223

,

101

abbaa

abb













，

即3iz；

(2)

ii

3i3(1)i

1i222

mmmmm

z







为纯虚数，

30,6

2

m

m.

42

．

(1)1212

2,1,zzzz

(2)

以

O

为圆心，以

1

和

2

为半径的两圆之间的圆环（包含圆周）

【解析】

【分析】

（

1

）根据复数模的计算公式可求得

1

||z，

2

||z的值；

（

2

）根据复数几何意义可解决此问题．

(1)

解：（

1

）

1

3iz，

2

13

i

22

z，

22

1

||(3)12z，22

2

13

||()()1

22

z，

∴

12

zz

；

(2)

解：由

21

||||||zzz，得

1||2z

，

根据复数几何意义可知复数

z

对应的点到原点的距离，

所以

|z|≥1

表示

|z|

＝

1

所表示的圆外部所有点组成的集合，

|z|≤2

表示

|z|

＝

2

所表示的圆内部所有点组成的集合，

所以复数z对应的点Z的轨迹是以原点O为圆心，以

1

和

2

为半径的圆之间的部

分（包括两边界）．

43

．

(1)5或3

(2)2

【解析】

【分析】

（

1

）根据复数是实数得到虚部为零即可求解；

（

2

）根据复数为纯虚数得到实部为零且虚部不为零即可求解

.

(1)

由22(6)(215)izmmmm是实数，得

22150mm，即

530mm

，解得5m或3m，

所以实数m的值为5或3.

(2)

由22(6)(215)izmmmm是纯虚数，得

2

2

60

2150

mm

mm











，解得

23

53

mm

mm













或

且

，即2m，

所以实数

m

的值为2.

44

．

(1)1a

(2)

3

1

2

（，）

【解析】

【分析】

（

1

）设方程的根为

0

x，并代入方程中，根据复数相等得到方程组，解得答案；

（

2

）写出22(2)(23)izmmmm的共轭复数，根据

z

对应的点在第一象

限，列出不等式组，解得答案

.

(1)

设

0

x是其实根，代入原方程变形为2

000

21()i0xaxax，

由复数相等的定义，得

2

00

0

210

0

xax

ax











，解得1a；

(2)

由题意得22(2)(23)izmmmm，

∴

2

2

20

(23)0

mm

mm











，即

2

2

20

230

mm

mm











，解得

3

1

2

m，

故实数m的集合为

3

(1,)

2

.

45

．（

1

）







210

20

21

aa

aa

aa



















；（

2

）

min

||32a，

5

(43i)

5

或

5

(43i)

5

．

【解析】

【分析】

（

1

）求出判别式4(1)a，对

a

分类讨论：当01a时，当0a时，当1a时三

种情况，分别求出||||；

（

2

）设

0

x为方程的实根，代入原方程，表示出

a

，利用基本不等式求出||a的最

小值，并求取得最小值时方程的根．

【详解】

（

1

）判别式444(1)aa，

①

若0，即1a，则



，



是实根，

则2，

a

，

则2222(||||)2||()22||422||aa，

故||||422||aa，

当01a时，||||2，

当0a时，||||21a；

②

若，即1a，则



，



是虚根，

11ia，11ia，

故||||2112aa．

综上：







210

20

21

aa

aa

aa



















.

（

2

）设

0

x为方程的实根，则2

00

43i0xax，

所以0

00

43

iax

xx



，

则2

00

2

000

4325

||2()2()2818axx

xxx

，

当2

0

2

0

25

x

x



即

0

5x时，||32

min

a，

当

0

5x时，另一个根为

5

(43i)

5

，

当

0

5x时，另一个根为

5

(43i)

5

．