电路vcr

Chapter3电阻电路的一般分析22

Chapter3电阻电路的一般分析

主要内容

1.图论的初步概念；

2.支路电流法；

3.网孔电流法和回路电流法；

4.结点电压法。

§3-1电路的图

1.求解电路的一般方法

1)选取合适的电路变量（电流和/或电压）；

2)根据KCL,KVL以及元件的电压、电流关系（VCR），建立独立方程组；

3)解出电路变量。

学习图论的初步知识，目的是研究电路的连接性质并讨论应用图的方法选择电路方

程的独立变量。

2.图

①G=(V,E)：表示G是结点和支路的一个集合。

结点（顶点，点）：支路的汇合处；

支路（线段，边）：是一个抽象的线段（代表一个电路元件）；

②孤立结点：不关联任何边的点；

③移去支路：移去该支路，但其所关联的两个结点保持不变；

④移去结点：把它所关联的全部支路同时移去。

3.电路的“图”

①电路的“图”：把电路中每一条支路画成抽象的线段,形成的一个结点和支路的

集合；

②用不同的元件结构定义电路的一条支路时，该电路以及它的图的结点数和支路

数将随之而不同；

③有向图：赋予支路方向的图；

,a指定电路中每条支路电流的参考方向，电压取关联参考方向；

,b指定电路的图中每一条支路的方向；

Chapter3电阻电路的一般分析23

§3-2KCL和KVL的独立方程数

一、KCL的独立方程数（1n）

可以证明，对于具有n个结点的电路，在任意（1n）个结点上可以得出（1n）

个独立的KCL方程，相应的（1n）个结点称为独立结点。

①∵0))()(()(

11





b

j

jj

n

k

k

iii

因为每一支路电流

j

i必然流出一个结点，并流入另一结点，故独立方程数n。

②从这n个方程中，去掉任意一个，余下的1n个方程一定互相独立，因去掉

一个方程后，必有某些支路电流不可能与其他支路电流相消。

二、KVL的独立方程数（1nb）

1.独立回路

①连通图：图G的任意两个结点之间至少存在一条路径。

②子图：如果G

1

的每个结点都是图G中的结点，G

1

的每条支路都是G中的支

路，则G

1

是G的子图。

③回路：如果一条路径的起点和终点重合，且经过的其他结点都相异，这条闭合

路径就构成G的一个回路。

④树：连通图G的一个树T，是指G的一个子图，它必须是：a，连通的；b,包

含G的全部结点；c，不包含回路。

可以证明，任一个具有N个结点的连通图，它的任何一个树的树支数为（1n）。

Chapter3电阻电路的一般分析24

回路：)6,2,1(;)6,5,4(;)5,3,2(;)4,3,1(树支:)5,4,3(树支:)5,4,1(

)6,4,3,2(;)6,5,3,1(;)5,4,2,1(连支:)6,2,1(连支:)6,3,2(

⑤单连支回路：G的任意一个树，加入一个连支后形成的一个回路.

a,除所加连支外均由树支组成；

b,由全部连支形成的单连支回路（基本回路）构成基本回路组。基本回路组是独

立回路组；

c,根据基本回路列出的KVL方程组是独立方程组；

d,选择不同的树，可以得到不同的基本回路组。

1

T：树支：（1，3，5）；回路：（2，3，5）；（1，3，4），（1，3，5，6）

2

T：树支：（3，4，5）；回路：（1，3，4）；（2，3，5）；（4，5，6）

3

T：树支：（1，2，4）；回路：（1，3，4）；（1，2，4，5）；（1，2，6）

2.网孔

①平面图：把一个图画在平面上，能使它的各条支路除连接的结点外不再交叉，

否则，称为非平面图。

②网孔：平面图的一个“网孔”是指它的一个自然“孔”，它限定的区域内不再

含有支路；

Chapter3电阻电路的一般分析25

③平面图的全部网孔是一组独立回路；

④平面图网孔数=独立回路数。

的独立方程数=独立回路数

①平面电路：找网孔，对网孔列KVL方程；

②非平面电路：先找树，再找单连支回路，对单连支回路列

KVL

方程；

§3-3支路电流法

1.b2法

以支路电压和电流为电路变量，共有

b2

个未知量。

①按KCL列出（1n）个独立电流方程；

②按KVL列出（)1(nb）个独立电压方程；

③按支路的电压、电流关系（VCR）列出

b

个VCR方程；

④由b2个方程求解b2个未知量。

2.支路电流法

①将

b

个支路电压、电流关系（VCR）方程代入（)1(nb）个KVL方程；消

去支路电压变量，得到()1(nb)个以支路电流表示的KVL方程，加上原有的（1n）

个独立的结点电流方程；

②b个方程求解b个支路电流。

Chapter3电阻电路的一般分析26

(2)

0

0

0

(1)

0

0

0

642

543

321

654

432

621

































uuu

uuu

uuu

KVL

iii

iii

iii

KCL

(3)

666

55555

444

333

222

1111



































iRu

iRiRu

iRu

iRu

iRu

iRuu

VCR

s

s

将式（3）代入式（2）得

















0

0

0

664422

55554433

3322111

iRiRiR

iRiRiRiR

iRiRiRu

S

S

(4)

0

664422

55554433

S1332211



















iRiRiR

iRiRiRiR

uiRiRiR

S

式（1）和式（4）联立求解可得支路电流。

方程的一般形式



Skkk

uiR

1）

kk

iR为回路中第k个支路电阻上的电压，

k

i参考方向与回路方向一致时，取“+”，

否则，取“-”；

2）

Sk

u为回路中第k支路的电源电压（既包括电压源电压，也包括电流源引起的电

压），当

Sk

u与回路方向一致时取“-”（因移到等号另一侧），否则取“+”。

4.列写支路电流法电路方程的步骤

1）选定各支路电流的参考方向；

2）根据KCL对)1(n个独立结点列写电流方程；

3）选取)1(nb个独立回路（平面电路取网孔），指定回路的绕行方向，列出KVL

方程。

§3-4网孔电流法

1.网孔电流是一组完备的独立电流变量。

①网孔电流是一种沿着网孔边界流动的假想电流，共)1(nb个。

a.

21

,

mm

ii为分析简便而设的假想电流

b.

321

,,iii可用

21

,

mm

ii线性表示。

Chapter3电阻电路的一般分析27

②完备性：一旦求出了网孔电流，所有支路电流可根据KCL随之确定。

③独立性：因每个网孔电流沿着网孔流动，当它流到某个结点时，从该结点流入，

又从该结点流出，在该结点所列的KCL方程中相互抵消，因此，就KCL来说，各网孔

电流彼此独立无关。

④求网孔电流需要根据KVL及VCR来列方程。

2.求解过程及网孔电流方程的普遍形式

以网孔电流方向为列KVL方程时的绕行方向（顺时针）。











0)(

0)(

1222323

1221211

mmSSm

SSmmm

iiRUUiR

UUiiRiR

整理后可得











3223212

2122121

)(

)(

SSmm

SSmm

UUiRRiR

UUiRiRR

概括为一般形式











22222121

11212111

Smm

Smm

UiRiR

UiRiR

或







































22

11

2

1

2221

1211

S

S

m

m

U

U

i

i

RR

RR

推广到m个网孔的电路，其网孔电流方程普遍形式为





















Smmmmmmmmmm

Smmmmm

Smmmmm

uiRiRiR

uiRiRiR

uiRiRiR

2211

222222121

111212111









Chapter3电阻电路的一般分析28

这里：①自电阻,,2,1,0miR

ii

第i个网孔的全部电阻之和；

②互电阻,,,2,1,,,mjijiR

ij

第i个网孔与第j个网孔之间

的公共电阻，如果

mi

i与

mj

i通过公共电阻时方向一致，取“+”，相反，取“-”；

③总电压源电压

Sii

u：第i个网孔电压源电压升的代数和，mi,,2,1。

例3-1：用网孔分析法求解下图电路的各支路电流。

解：网孔电流方程为











10)3010(30

2030)305(

21

21

mm

mm

ii

ii













104030

203035

21

21

mm

mm

ii

ii

利用行列式法可求出











Ai

Ai

m

m

5.0

1

2

1

AiiiAiiAii

mmmm

5.0;5.0;1

1232211



例3-2：试求下图中电流I。

解：网孔电流方程为











2

4030)3020(

2

21

m

mm

i

ii

!4.0

21

方程已知，只需列一个KVLiAi

mm



AiiI

mm

6.1)2(4.0

21



Chapter3电阻电路的一般分析29

例3-3：试用网孔法求下图所示电路中受控源电流

X

I。

解：列网孔电流方程时先将受控电源等同于独立电源，写出网孔电流方程后，再

将受控源控制量用网孔电流表示。











Xmm

Xmm

III

III

8462

68212

21

21

又

2mX

II













422

6612

21

21

mm

mm

II

II

AIAIAI

Xmm

3,3,1

21



例3-4：试列写下图中所示电路的网孔电流方程。

解：因电流源两端有电压，假设为U，则

















0632

036

723

321

321

321

UIII

III

UIII

mmm

mmm

mmm

补充：7

31



mm

II

VUAIAIAI

mmm

5.13,0.2,5.2,9

321



将V7电压源移至图右侧，可不设电流源电压U，迅速求出各支路电流！

Chapter3电阻电路的一般分析30

§3-5回路电流法

1.回路电流法是以一组独立回路电流为电路变量的求解方法

①回路电流是在一个回路中连续流动的假想电流；

②选基本回路作为独立回路，回路电流就是连支电流；

a，树支：支路（4，5，6）连支：支路（1，2，3）

b

，回路电流（连支电流）为

321

,,

lll

iii分别在3个基本回路中流动；

3216315214

332211

,,

,,

lllllll

lll

iiiiiiiiii

iiiiii





③回路电流（连支电流）是完备的独立电流变量。

a,完备性:支路电流是流过的回路电流(连支电流)的代数和；树支电流可以通过

连支电流来表达。全部支路电流可用连支电流(回路电流)来表达；

b,独立性:因每个回路电流沿着回路流动,当它流到某个结点时，从该结点流

入，又从该结点流出，在该结点所列的KCL方程中相互抵消，因此，就KCL来说，

各回路电流彼此独立无关.

④

b

个支路，n个结点的电路，

b

个支路电流受)1(n个KCL方程的约束，仅

有))1((nb个支路电流是独立的；

⑤连支数恰好是))1((nb个，连支电流可以作为独立电流变量，由KVL提供

求解连支电流所需的)1(nb个独立方程。

2.求解过程及回路电流方程的一般形式

Chapter3电阻电路的一般分析31

①列出图示3个回路的回路电压方程，将所有电流均用回路电流表示；

②整理后可得

















43364326414

41

4134241

1

541

)()(

)()()(

)()(

SSlll

SSlll

SSlll

UUiRRRiRRiR

UUiRRiRRRRiRR

UUiRiRRiRRR

③一般形式（设)1(nbp）





















Spplppplplp

SlpPll

SlpPll

uiRiRiR

uiRiRiR

uiRiRiR

2211

222222121

111212111









这里：

,a自电阻,,,2,1,0piR

ii

第i个回路的全部电阻之和，

,b互电阻,,,2,1,,,pjijiR

ij

第i个回路与第j个回路的公共电阻之和，若

两个回路电流通过公共电阻时方向一致取“+”，否则取“-”；

,c电压源电压,,,2,1,piu

Sii

第i个回路电压源电压升的代数和（即电压源电

压的方向与回路电流方向一致时取“-”，否则取“+”。

3.电路中含有电流源的情况

①含有电流源和电阻的并联组合，可经等效变换成为电压源和电阻的串联组合再

列回路方程；

②存在无伴电流源时：

,a选取电流源支路作连支，则该回路的电流（连支电流）就是电流源电流（见

28

,13p例）；

b，把电流源的电压作为变量，增加一个独立的回路电流与电流源之间的约束关系

（见

29

,43p例）

4.电路中含有受控电压源的情况：

①将受控电压源作为独立电压源列出回路电流方程；

②再把受控电压源的控制量用回路电流表示；

③将用回路电流表示的受控源电压移至方程的左边。

Chapter3电阻电路的一般分析32

例3-5：试求下图中电流

1

I。

解：选树时，使电压源支路作为树支，并使电流源、受控电流源及受控源的控制

支路位于连支中，由于只有一个未知数

1

I，故只需对

1

I所流经的回路列写KVL方程

AI

II

12

3019255.144)42()425(

1

11





例3-6：下图所示电路中有无伴电流源

1S

i，无伴电流控制电流源,

2

ii

C

电压

控制电压源,

2

uu

C

电压源

32

,

SS

UU，列出回路电流方程。

解：选树支如粗实线所示，将连支电流作为回路电流，则

































34433323

23

32433323212

11

2122

22

)(

)(

)(

SClll

lCl

SSllll

Sl

ll

l

UuiRRiRiR

iii

UUiRiRiRRiR

ii

iiRu

ii



整理可得















123443232

123243232

)()1(

)1(

SSll

SSSll

iRUiRRiRR

iRUUiRiRR





R

1

对回路电流无影响!

5.回路电流法的步骤

①根据给定的电路，通过选择一个树确定一组基本回路（使电流源、受控电流源

Chapter3电阻电路的一般分析33

出现在连支中），指定各回路电流（即连支电流）的参考方向；

②按一般公式列出回路电流方程，自电阻总是正的，互电阻的正负由相关的两个

回路电流通过共有电阻时的参考方向是否相同而定。另外，要注意右边项取代数和时

有关电压源前面的“+”、“-”号；

③电路中含有受控源或无伴电流源时，按前述方法处理。

§3-6结点电压法

1.结点电压是一组完备的独立电压变量

①任选一个结点为参考点，其他结点到参考点的电压降，称为该结点的结点电压，

共1n个；

②完备性：一旦求出了1n个结点电压，全部b条支路电压均可根据KVL随

之确定，因一条支路必然关联两个结点。

③独立性：因沿任一回路的各支路电压如以结点电压表示，列写的KVL方程恒

等于零，因此，就KVL来说，各结点电压彼此独立无关。

图中所示回路：0)(0

2332423423



nnnn

uuuuuuu

④求结点电压需要根据KCL及VCR来列方程。

2.求解过程及结点电压方程的普遍形式

















0

0

0

:

543

321

51

iii

iii

iii

KCL

S

















5315

4343323

2221211

)(

,)(

,)(

:

iuuG

iuGiuuG

iuGiuuG

VCR

nn

nnn

nnn

整理可得

















0)(

0)(

)(

354323

1

5

33232111

3521151

nnn

nnn

Snnn

uGGGuGuG

uGuGGGuG

iuGuGuGG

Chapter3电阻电路的一般分析34

概括为一般形式

















33333232131

22323222121

Snnn

Snnn

Snnn

iuGuGuG

iuGuGuG

iuGuGuG

或































































33

22

11

3

2

1

333231

232221

131211

S

S

S

n

n

n

i

i

i

u

u

u

GGG

GGG

GGG

推广到n个结点的电路，其结点方程的普遍形式为



























)1)(1()1()1)(1(22)1(11)1(

22)1()1(2222121

11)1()1(1212111

nnSnnnnnnnn

Snnnnn

Snnnnn

iuGuGuG

iuGuGuG

iuGuGuG









这里：①自电导,1,,2,1,0niG

ii

连接到第i个结点的全部电导之和；

②互电导,1,,2,1,,,0njijiG

ij

连接在结点i和结点j之间的

电导之和的负值；

③注入电流,1,,2,1,nii

Sii

注入到第i个结点的电流源电流的代数和；

例3-7：列出下图的结点电压方程。

解：结点编号如图所示，则有















k

u

kkk

u

k

k

u

k

u

kkk

nn

nn

40

90

)

40

1

10

1

20

1

(

10

1

20

120

10

1

)

10

1

40

1

20

1

(

21

21

VuVu

nn

10,40

21



例3-8：试列出下图所示电路的结点电压方程。

Chapter3电阻电路的一般分析35

解：列结点电压方程时，如果电压源跨接在两个结点之间，怎么办？先设一个未

知电流！

















IuGGuG

uGuGGGuG

IuGuGG

nn

nnn

nn

3

54

2

4

3

4

2

43111

2

1

1

21

)(

0)(

)(

Snn

Uuu

3

1

补充：，

如果将结点3选作参考结点，则只需列两个结点方程！

3.求得各结点电压后，可以根据VCR求出各支路电流；

列结点电压方程时，不需要事先指定支路电流的参考方向，如要检验答案，应按支

路电流用KCL进行。

列写结点电压方程（例3-5）。

用结点电压法求各支路电流（例3-6）。

4.电路中含有无伴电压源的情况：

1）选无伴电压源的一端连接点作为参考点，则关于另一端的结点电压已知，无

需再列方程！

2）把无伴电压源的电流作为附加变量列入KCL方程，增加结点电压与无伴电压

源电压之间的关系。

例3-9：试列出下图所示电路的结点电压方程。

解法一：











223213

11

)(

Snn

Sn

IuGGuG

Uu

解法二：设无伴电压源电流为i，则











223213

23131

)(

)(

Snn

nn

IuGGuG

iuGuGG

补充：

1

1Sn

Uu

G

1

对u

n1

,u

n2

无影响!

Chapter3电阻电路的一般分析36

5.电路中含有受控电源的情况

①含有受控电流源时，暂时把它当作独立电流源，再把控制量用结点电压表示，

按上述方法列出结点电压方程后，然后把用结点电压表示的受控电流源电流移到方程的

左边；

②含有有伴受控电压源时，把控制量用有关结点电压表示并变换为等效受控电流

源；

③含有无伴受控电压源，参照无伴独立电压源的处理方法；

例3-10：下图中含有VCCS，其电流

2

gui

C

,其中

2

u为电阻

2

R上电压，试

列写结点电压方程。

解：结点编号如图所示（与教材不同），则



















Cnn

Snn

iu

RR

u

R

iu

R

u

RR

2

32

1

2

12

2

1

21

)

11

(

1

1

)

11

(

补充：)(

21nnC

uugi

整理可得)3,2,1,

1

(i

R

G

i

i

令











0)()(

)(

23212

122

1

21

nn

Snn

ugGGugG

iuGuGG

例3-11：试为下图所示含受控电流源电路（晶体管放大电路的微变等效电路）列写

结点电压方程。

Chapter3电阻电路的一般分析37

解：出现受控源时，暂将其看作独立电源列方程，然后把受控源的控制量用结点电

压表示，代回原方程进行整理。

















xn

xnn

Snn

guuG

guuGGuG

iuGuGG

34

23212

22121

)(

)(

补充：

21nnx

uuu

















0

0)()(

)(

3421

23212

22121

nnn

nn

Snn

uGgugu

ugGGugG

iuGuGG

R

4

对u

n1

,u

n2

无影响!

6.结点电压法的步骤

①指定参考结点，其余结点对参考结点之间的电压就是结点电压；

②列出结点电压方程（按普遍形式）。注意，自电导总为正，互电导总为负，另

要注意注入电流前面的“+”、“-”号；

③当电路中含有无伴电压源或受控源时按前述方法处理。