全国卷1

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绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷）

理科数学

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共6页．考试时间120分钟．满分150分．

答题前，考生务必用0.5毫米的黑色签字笔将自己的姓名、座号、考号填写在第Ⅰ卷答题卡和第Ⅱ卷答题纸

规定的位置．

参考公式：

样本数据

n

xxx,,

21

的标准差

n

xxxxxx

sn

22

2

2

1

)()()(





其中x为样本平均数

球的面积公式

24RS

第Ⅰ卷（选择题共60分）

注意事项：

1．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其它答案，不能答在试题卷上．

2．第Ⅰ卷只有选择题一道大题．

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的．

1.复数

i

i





1

21

（i是虚数单位）的虚部是

A．

2

3

B．

2

1

C．3D．1

2.已知R是实数集，11,1

2















xyyN

x

xM，则MCN

R



A．)2,1(B．2,0C.D．2,1

3.现有10个数，其平均数是4，且这10个数的平方和是200，那么这个数组的标准差是

A．1B．2C．3D．4

4.设

n

S

为等比数列

{}

n

a

的前

n

项和，

08

52

aa

，

则

2

4

S

S

A．5B．8C．8D．15

5.已知函数)

6

2sin()(



xxf，若存在),0(a，使得)()(axfaxf恒成立，则

a

的值是

A．

6



B．

3



C．

4



D．

2



6.已知m、n表示直线，,,表示平面，给出下列四个命题，其中真命题为

（1）则,,,mnnm

（2）mnnm则,,,

（3）,,mm则



∥

（4）则,,,nmnm

A．（1）、（2）B．（3）、（4）C．（2）、（3）D．（2）、（4）

7.已知平面上不共线的四点CBAO,,,，若

||

||

,23

BC

AB

OCOBOA则等于

A．1B．2C．3D．4

8.已知三角形ABC的三边长成公差为2的等差数列，且最大角的正弦值为

2

3

，则这个三角形的周长是

A．18B．21C．24D．15

9.函数

x

xxf

1

lg)(的零点所在的区间是

A．1,0B．10,1C．100,10D．),100(

10.过直线yx上一点P引圆22670xyx的切线，则切线长的最小值为

A．

2

2

B．

2

23

C．

2

10

D．2

11.已知函数baxxxf2)(2.若ba,都是区间4,0内的数，则使0)1(f成立的概率是

A．

4

3

B．

4

1

C．

8

3

D．

8

5

12.已知双曲线的标准方程为1

169

22



yx

，F为其右焦点，

21

,AA是实轴的两端点，设P为双曲线上不同于

21

,AA的任意一点，直线PAPA

21

,与直线

ax

分别交于两点NM,,若

0FNFM

,则

a

的值为

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-2-__________________________________________________

否

开始

输出

结束

是

10i

1,2ia

a

a





1

1

题图第13

1ii

a

A．

9

16

B．

5

9

C．

9

25

D．

5

16

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

注意事项：

1．请用0.5毫米的黑色签字笔将每题的答案填写在第Ⅱ卷答题纸的指定位置．书写的答案如需改动，要先

划掉原来的答案，然后再写上新答案．

2．不在指定答题位置答题或超出答题区域书写的答案无效．在试题卷上答题无效．

3．第Ⅱ卷共包括填空题和解答题两道大题．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．

13.如图所示的程序框图输出的结果为__________.

14.若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如下图所示，其顶点都在一个球面上，

则该球的表面积为__________.

15.地震的震级R与地震释放的能量E的关系为)4.11(lg

3

2

ER．2011年3月11日，日本东海岸发生了9.0

级特大地震，2008年中国汶川的地震级别为8.0级，那么2011年地震的能量是2008年地震能量的倍．

16.给出下列命题：

①已知,,abm都是正数，且

b

a

b

a







1

1

，则ab；

②已知()fx



是()fx的导函数，若,()0xRfx



，则(1)(2)ff一定成立；

③命题“xR，使得2210xx”的否定是真命题；

④“1,1yx且”是“2yx”的充要条件.

其中正确命题的序号是.(把你认为正确命题的序号都填上)

三、解答题：本大题共６小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17．（本小题满分12分）

已知向量),

2

cos

2

sin3()

2

cos,1(y

xx

b

x

a



与共线，且有函数)(xfy．

（Ⅰ）若1)(xf，求)2

3

2

cos(x



的值；

（Ⅱ）在ABC中，角CBA,,,的对边分别是cba,,，且满足bcCa2cos2，求函数)(Bf的取值范围.

18．（本小题满分12分）

已知等差数列

n

a的前

n

项和为

n

S，公差

,50,0

53

SSd且

1341

,,aaa成等比数列．

（Ⅰ）求数列

n

a的通项公式；

（Ⅱ）设













n

n

a

b

是首项为1，公比为3的等比数列，求数列

n

b的前

n

项和

n

T.

19.（本小题满分12分）

已知四棱锥BCDEA，其中1BEACBCAB，2CD，ABCCD面，BE∥CD，F为AD

的中点.

（Ⅰ）求证：EF∥面ABC；

（Ⅱ）求证：面ACDADE面；

（III）求四棱锥BCDEA的体积.

20.（本小题满分12分）

在某种产品表面进行腐蚀性检验，得到腐蚀深度y与腐蚀时间

x

之间对应的一组数据：

时间

x

（秒）

51015203040

第14题图

1

1

1

A

B

C

D

E

F

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深度y（微米）

61010131617

现确定的研究方案是：先从这6组数据中选取2组，用剩下的4组数据求线性回归方程，再对被选取的2组

数据进行检验．

（Ⅰ）求选取的2组数据恰好不相邻的概率；

（Ⅱ）若选取的是第2组和第5组数据，根据其它4组数据，求得y关于

x

的线性回归方程

26

139

13

4

ˆ

xy，

规定由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2微米，则认为得到的线性回

归方程是可靠的，判断该线性回归方程是否可靠．

21.（本小题满分12分）

已知函数

1

)(

2





x

bax

xf在点))1(,1(f的切线方程为03yx.

（Ⅰ）求函数()fx的解析式；

（Ⅱ）设xxgln)(，求证：)()(xfxg在),1[x上恒成立.

22.（本小题满分14分）

实轴长为

34

的椭圆的中心在原点，其焦点

1,2

,FF

在

x

轴上.抛物线的顶点在原点O，对称轴为y轴，两曲

线在第一象限内相交于点A,且

12

AFAF，△

12

AFF的面积为3.

（Ⅰ）求椭圆和抛物线的标准方程；

（Ⅱ）过点A作直线l分别与抛物线和椭圆交于CB,,若

ABAC2

,求直线l的斜率k.

Bx

y

A

F

1

F

2

C

o