什么是正实数

第二章实数

6．实数（一）

一、学生起点分析

实数是在有理数和勾股定理等知识基础上实行的第二次数系扩张，在教学中注意使用类比方法，

使学生明确新旧知识之间的联系，如实数的相反数、倒数、绝对值等概念可完全类比有理数建立，并

通过例题和习题来巩固，适当加深对它们的理解。

二、教学任务分析

本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级上册第二章《实数》的第六节。这节内容

教材安排了3个课时，本节课为第一课时。主要是建立实数的概念并能对实数按要求实行不同的分类，

同时了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义，让学生在动手操作中明确实数和数轴上的点是

一一对应的。

教材地位及作用

在本节之前学生已学习了平方根、立方根，理解了无理数，了解了无理数是客观存有的，从而将

有理数扩充到实数范围，使学生对数理解进一步深入。中学阶段相关数的问题多是在实数范围内实行

讨论的，同时实数内容也是今后学习一元二次方程、函数的基础。

三、教学目标分析

教学目标

知识与技能目标

1．了解实数的意义，能对实数按要求实行分类；

2．了解实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的

意义完全一样。

3．了解实数和数轴上的点一一对应，能根据实数在数轴上的位置比较大小。

过程与方法目标

1．通过对实数分类的探究，增强学生的分类意识；

2．在利用数轴上的点来表示实数的过程中，将数和图形结合在一起，让学生进一步体会数形结

合的思想。

情感与态度目标

1．通过对实数实行分类的练习、进一步领会分类的思想方法；

2．在探究利用数轴上的点表示实数的过程中，训练学生多角度思维，培养和发展学生的合作意

识。

教学重点

1．了解实数意义，能对实数实行分类；

2．在实数范围求相反数、倒数和绝对值；

3．明确数轴上的点与实数一一对应并能用数轴上的点来表示无理数。

教学难点

建立实数概念及分类

四、教法学法

1．教学方法：自主探究—交流—发现

2．课前准备：多媒体课件、投影仪、电脑

五、教学过程：

本节课设计了八个教学环节：第一环节：复习引入新课；第二环节：实数概念；第三环节：实数

分类；第四环节：实数相关概念；第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系；第六环节：

课堂练习；第七环节：课堂小节；第八环节：作业布置。

第一环节：复习引入新课

内容：问题：（1）什么是有理数？有理数怎样分类？

（2）什么是无理数？带根号的数都是无理数吗？

意图：回顾以前学习过的内容，为进一步学习引入无理数后数的范围的扩充作准备。

效果：学生主动思考并积极回答，通过相互补充完善了旧知识的复习掌握，通过对有理数分类

的复习，使学生进一步明确了分类要按同一标准不重不漏。通过举例明确了无理数的表现形式，野味

后续判断或者对实数实行分类提供了认知准备。

第二环节：实数概念

内容：把下列各数分别填入相对应的集合内：

32，

4

1

，

7

，



，

2

5

，2，

3

20

，

5

，38

，

9

4

，0，0.3737737773……（相邻两

个3之间7的个数逐次增加1）

知识整理：有理数和无理数统称为实数。

意图：通过将以上各数填入有理数集合和无理数集合，建立实数概念。

效果：学生动手填写，并实行小组交流讨论，对带根号的数是否是无理数有了进一步理解。

第三环节：实数分类

内容：1．你能把上面各数分别填入下面相对应的集合内吗？

…

有理数集合

…

无理数集合

…

正数集合

…

负数集合

2．0属于正数吗？0属于负数吗？

知识整理：无理数和有理数一样，也有正负之分。

1．从符号考虑，实数能够分为正实数、0、负实数，即：











负实数

正实数

实数0

2．另外从实数的概念也能够实行如下分类：







无理数

有理数

实数

意图：在实数概念形成的基础上对实数实行不同的分类。上面的数中有0，0不能放入上面的任

何一个集合中，学生容易遗漏，强调0也是实数，但它既不是正数也不是负数，应单独作一类。提醒

学生分类能够有不同的方法，但要按同一标准不重不漏。

效果：让学生讨论回答，形成共识：实数也能够分为正实数、0、负实数，并体会到了分类中不

能出现遗漏和重复的要求。

第四环节：实数的相关概念

内容1：1．在有理数中，数a的相反数是什么？绝对值是什么？当a不为0时，它的倒数是什

么？

2．2的相反数是什么？35

的倒数是什么？

3

，0，—π的绝对值分别是什么？

意图：从复习入手，类比有理数中的相关概念，建立实数的相反数、倒数和绝对值等概念，它

们的意义和有理数范围内的意义是一致的。

效果：学生类比有理数中相关概念，体会到了实数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义。

内容2：想一想：

1．3—π的绝对值是。

2．想一想：a是一个实数，它的相反数是，它的绝对值是，当a≠0时，

它的倒数是。

知识整理

（1）相反数：a与—a互为相反数；0的相反数仍是0；

（2）倒数：当a≠0时，a与

a

1

互为倒数（0没有倒数）；

（3）绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0；

即：



















)0(

)0(0

)0(

||

aa

a

aa

a

意图：加深学生对相关概念的理解。

效果：学生在讨论交流中进一步掌握了实数的相反数、倒数、绝对值等知识。

第五环节：探究——实数与数轴上点之间的对应关系

内容1：如图所示，认真观察，探讨下列问题：

议一议：

（1）如图，OA=OB，数轴上A点对应的数表示什么？它介于哪两个整数之间？

（2）如果将所有有理数都标到数轴上，那么数轴被填满了吗？

知识整理

（1）每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数，

即实数与数轴上的点是一一对应的；

（2）在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。

意图：探讨用数轴上的点来表示实数，将数和图形联系在一起，让学生进一步领会数形结合的

思想，利用数轴也可以直观地比较两个实数的大小。

效果：经过学生的探讨，认识到了数轴上点A表示的数是2，它是一个无理数，这表明有理

数不能将整个数轴填满。进而观察到点A在表示数1和2的点之间，因此“数轴上，右边的点表示的

数总比左边的点表示的数大”在实数范围内仍然适用。

第六环节：课堂练习

内容：1．判断下列说法是否正确：

（1）无限小数都是无理数；

（2）无理数都是无限小数；

（3）带根号的数都是无理数。

2．求下列各数的相反数、倒数和绝对值：

（1）

7

；（2）38

；（3）

49

．

3．在数轴上作出

5

对应的点。

意图：通过以上练习，检测学生对实数相关知识的掌握情况。

效果：

第1，2题学生能较好地完成，在解决第第3题时遇到了一定的困难，通过回顾2的作法，学生

相互讨论、交流，确定了作长、宽分别为2和1的长方形，其对角线为即为

5

，从而能在数轴上作

出相应的点。

第七环节：课时小结

内容：议一议，本节课我们学习了哪些知识？

知识整理：

1．实数的定义；

0

1

2

-1

-2

A

B

2．实数的两种分类方法；

3．实数的相关概念；

4．实数的大小比较；

5．实数与数轴上点之间的对应关系。

意图：鼓励学生结合本节课的学习谈自己的收获。

效果：学生交流，互相补充，完成本节知识的梳理。

第八环节：布置作业

内容：课本习题2.8。

六、评析

实数作为有理数的扩张，其具体研究内容和有理数完全类似，因此学习中，本课时设计中，十分

关注前后知识之间的内在联系，关注运用类比的思想学习新的知识，这是本课设计中一个十分显著的

特点。实际上，类似的问题在其他知识学习中同样存在，注意体会。

此外，根据学生的认知状况，借助类比学习实数有关知识，还可以有一些不同的尝试，如果学生

整体认知水平较高，可以要求学生首先回忆有关有理数学习内容和顺序，并根据这个知识框架思考是

否可以构建实数的有关顺序，思考在各个具体内容如何研究等问题，然后再打开书本比照学习。当然

也可以首先提出一些思考的问题，让学生自学，整理有关框架，并和旧的框架建立联系等。教无定法，

关键在于适应你的学生状况。

附：板书设计

6．实数（一）

一、实数定义

二、实数分类：







无理数

有理数

实数或











负实数

正实数

实数0

三、实数的相关概念：

相反数倒数绝对值

四、实数和数轴上的点一一对应