圆锥曲线知识点

_

圆锥曲线的方程与性质

1．椭圆

（1）椭圆概念

平面内与两个定点

1

F、

2

F的距离的和等于常数2a（大于

2

1

||FF）的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆

的焦点，两焦点的距离2c叫椭圆的焦距。若M为椭圆上任意一点，则有

2

1

||||2MFMFa。

椭圆的标准方程为：

22

22

1

xy

ab

（0ab）（焦点在x轴上）或1

2

2

2

2



b

x

a

y

（0ab）（焦点在y轴

上）。

注：①以上方程中,ab的大小0ab，其中222bac；

②在

22

22

1

xy

ab

和

22

22

1

yx

ab

两个方程中都有0ab的条件，要分清焦点的位置，只要看2x和2y的分

母的大小。例如椭圆

22

1

xy

mn

（0m，0n，mn）当

mn

时表示焦点在

x

轴上的椭圆；当

mn

时

表示焦点在y轴上的椭圆。

（2）椭圆的性质

①范围：由标准方程

22

22

1

xy

ab

知||xa，||yb，说明椭圆位于直线xa，yb所围成的矩形里；

②对称性：在曲线方程里，若以y代替y方程不变，所以若点(,)xy在曲线上时，点(,)xy也在曲线上，

所以曲线关于

x

轴对称，同理，以

x

代替

x

方程不变，则曲线关于y轴对称。若同时以

x

代替

x

，y代替y

方程也不变，则曲线关于原点对称。

所以，椭圆关于

x

轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心

叫椭圆的中心；

③顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与

x

轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令

0x，得yb，则

1

(0,)Bb，

2

(0,)Bb是椭圆与y轴的两个交点。同理令0y得xa，即

1

(,0)Aa，

_

2

(,0)Aa是椭圆与

x

轴的两个交点。

所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。

同时，线段

2

1

AA、

2

1

BB分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长

半轴长和短半轴长。

由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a；在

22

RtOBF中，

2

||OBb，

2

||OFc，

22

||BFa，

且222

2222

||||||OFBFOB，即222cab；

④离心率：椭圆的焦距与长轴的比

c

e

a

叫椭圆的离心率。∵0ac，∴01e，且

e

越接近1，

c

就越

接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0，c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭

圆越接近于圆。当且仅当ab时，0c，两焦点重合，图形变为圆，方程为222xya。

2．双曲线

（1）双曲线的概念

平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线（

12

||||||2PFPFa）。

注意：①式中是差的绝对值，在

12

02||aFF条件下；

12

||||2PFPFa时为双曲线的一支；

21

||||2PFPFa时为双曲线的另一支（含

1

F的一支）；②当

12

2||aFF时，

12

||||||2PFPFa表示两条射

线；③当

12

2||aFF时，

12

||||||2PFPFa不表示任何图形；④两定点

12

,FF叫做双曲线的焦点，

12

||FF叫做

焦距。

（2）双曲线的性质

①范围：从标准方程1

2

2

2

2



b

y

a

x

，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线ax的外侧。即

22ax，ax即双曲线在两条直线ax的外侧。

②对称性：双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

关于每个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点

_

是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。

③顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的方程里，对称轴是,xy轴，所

以令0y得ax，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(

2

aAaA，他们是双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的顶点。

令0x，没有实根，因此双曲线和y轴没有交点。

1）注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的（椭圆有四个顶点），双曲线的顶点分别是实轴的两个

端点。

2）实轴：线段

2

AA

叫做双曲线的实轴，它的长等于2,aa叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段

2

BB

叫做双

曲线的虚轴，它的长等于2,bb叫做双曲线的虚半轴长。

④渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从

图上看，双曲线1

2

2

2

2



b

y

a

x

的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。

⑤等轴双曲线：

1）定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：ab；

2）等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：xy；（2）渐近线互相垂直。

注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即若题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时其

他几个亦成立。

3）注意到等轴双曲线的特征ab，则等轴双曲线可以设为：)0(22yx，当0时交点在

x

轴，

当0时焦点在y轴上。

⑥注意1

916

22



yx

与

22

1

916

yx

的区别：三个量,,abc中,ab不同（互换）

c

相同，还有焦点所在的坐标

轴也变了。

_

3．抛物线

（1）抛物线的概念

平面内与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l上)。定点F叫做抛

物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线。

方程022ppxy叫做抛物线的标准方程。

注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F（

2

p

,0），它的准线方程是

2

p

x；

（2）抛物线的性质

一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其

他几种形式：pxy22，pyx22，pyx22.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如

下表：

标准方程

22

(0)

ypx

p





22

(0)

ypx

p





22

(0)

xpy

p





22

(0)

xpy

p





图形

焦点坐标

(,0)

2

p

(,0)

2

p

(0,)

2

p

(0,)

2

p



准线方程

2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

范围0x0x

0y0y

对称性

x

轴

x

轴y轴y轴

顶点(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)

o

F

x

y

l

o

x

y

F

l

x

y

o

F

l

_

离心率1e1e1e1e

说明：（1）通径：过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径；（2）抛物线的几何性质的特点：有一个顶

点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，无对称中心，没有渐近线；（3）注意强调p的几何意义：是焦点到准线

的距离。

4.高考数学圆锥曲线部分知识点梳理

一、方程的曲线：

在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作适合某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实

数解建立了如下的关系：(1)曲线上的点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的

点，那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线。

点与曲线的关系：若曲线C的方程是f(x,y)=0，则点P

0

(x

0

,y

0

)在曲线C上f(x

0

,y

0

)=0；点P

0

(x

0

,y

0

)不在曲线C

上f(x

0

,y

0

)≠0。

两条曲线的交点：若曲线C

1

，C

2

的方程分别为f

1

(x,y)=0,f

2

(x,y)=0,则点P

0

(x

0

,y

0

)是C

1

，C

2

的交点

{

0),(

0),(

002

001





yxf

yxf

方程组有n个不同的实数解，两条曲线就有n个不同的交点；方程组没有实数解，曲线就没

有交点。

二、圆：

1、定义：点集｛M｜｜OM｜=r｝，其中定点O为圆心，定长r为半径.

2、方程：(1)标准方程：圆心在c(a,b)，半径为r的圆方程是(x-a)2+(y-b)2=r2

圆心在坐标原点，半径为r的圆方程是x2+y2=r2

(2)一般方程：①当D2+E2-4F＞0时，一元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程，圆心为)

2

,

2

(

ED



半径是

2

422FED。配方，将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0化为(x+

2

D

)2+(y+

2

E

)2=

4

4F-ED22

②当D2+E2-4F=0时，方程表示一个点(-

2

D

,-

2

E

);

_

③当D2+E2-4F＜0时，方程不表示任何图形.

（3）点与圆的位置关系已知圆心C(a,b),半径为r,点M的坐标为(x

0

,y

0

)，则｜MC｜＜r点M在圆C内，｜

MC｜=r点M在圆C上，｜MC｜＞r点M在圆C内，其中｜MC｜=2

0

2

0

b)-(ya)-(x。

（4）直线和圆的位置关系：①直线和圆有相交、相切、相离三种位置关系：直线与圆相交有两个公共点；直

线与圆相切有一个公共点；直线与圆相离没有公共点。

②直线和圆的位置关系的判定：(i)判别式法；(ii)利用圆心C(a,b)到直线Ax+By+C=0的距离

22BA

CBbAa

d





与

半径r的大小关系来判定。

三、圆锥曲线的统一定义：

平面内的动点P(x,y)到一个定点F(c,0)的距离与到不通过这个定点的一条定直线l的距离之比是一个常数e(e＞

0),则动点的轨迹叫做圆锥曲线。其中定点F(c,0)称为焦点，定直线l称为准线，正常数e称为离心率。当0＜e

＜1时，轨迹为椭圆；当e=1时，轨迹为抛物线；当e＞1时，轨迹为双曲线。

四、椭圆、双曲线、抛物线：

椭圆双曲线抛物线

定义

1．到两定点F

1

,F

2

的距离之

和为定值2a(2a>|F

1

F

2

|)的

点的轨迹

2．与定点和直线的距离之

比为定值e的点的轨迹.

（0

1．到两定点F

1

,F

2

的距离之差

的绝对值为定值

2a(0<2a<|F

1

F

2

|)的点的轨迹

2．与定点和直线的距离之比为

定值e的点的轨迹.（e>1）

与定点和直线的距离相等的

点的轨迹.

轨迹条件

点集：({M｜｜MF

1

+｜

MF

2

｜=2a,｜F

1

F

2

｜＜2a}.

点集：{M｜｜MF

1

｜-｜MF

2

｜.

=±2a,｜F

2

F

2

｜＞2a}.

点集{M｜｜MF｜=点M到

直线l的距离}.

_

图形

方

程

标准

方程

1

2

2

2

2



b

y

a

x

(ba>0)1

2

2

2

2



b

y

a

x

(a>0,b>0)

pxy22

参数

方程

为离心角）参数





(

sin

cos











by

ax

为离心角）参数





(

tan

c











by

ax











pty

ptx

2

22

(t为参数)

范围─axa，─byb|x|a，yRx0

中心原点O（0，0）原点O（0，0）

顶点

(a,0),(─a,0),(0,b),(0,

─b)

(a,0),(─a,0)(0,0)

对称轴

x轴，y轴；

长轴长2a,短轴长2b

x轴，y轴;

实轴长2a,虚轴长2b.

x轴

焦点F

1

(c,0),F

2

(─c,0)F

1

(c,0),F

2

(─c,0)

)0,

2

(

p

F

准线

x=±

c

a2

准线垂直于长轴，且在椭圆

x=±

c

a2

准线垂直于实轴，且在两顶点的

x=-

2

p

准线与焦点位于顶点两侧，

且到顶点的距离相等.

_

外.内侧.

焦距

2c（c=22ba）2c（c=22ba）

离心率

)10(e

a

c

e)1(e

a

c

e

e=1

【备注1】双曲线：

⑶等轴双曲线：双曲线222ayx称为等轴双曲线，其渐近线方程为

xy

，离心率2e.

⑷共轭双曲线：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线，叫做已知双曲线的共轭双曲线.

2

2

2

2

b

y

a

x

与



2

2

2

2

b

y

a

x

互为共轭双曲线，它们具有共同的渐近线：0

2

2

2

2



b

y

a

x

.

⑸共渐近线的双曲线系方程：)0(

2

2

2

2



b

y

a

x

的渐近线方程为0

2

2

2

2



b

y

a

x

如果双曲线的渐近线为

0

b

y

a

x

时，

它的双曲线方程可设为)0(

2

2

2

2



b

y

a

x

.

【备注2】抛物线：

（1）抛物线2y=2px(p>0)的焦点坐标是(

2

p

,0)，准线方程x=-

2

p

，开口向右；抛物线2y=-2px(p>0)的焦点

坐标是(-

2

p

,0)，准线方程x=

2

p

，开口向左；抛物线2x=2py(p>0)的焦点坐标是(0,

2

p

)，准线方程y=-

2

p

，

开口向上；

抛物线2x=-2py（p>0）的焦点坐标是（0,-

2

p

），准线方程y=

2

p

，开口向下.

（2）抛物线2y=2px(p>0)上的点M(x0,y0)与焦点F的距离

20

p

xMF；抛物线2y=-2px(p>0)上的点

M(x0,y0)与焦点F的距离

02

x

p

MF

（3）设抛物线的标准方程为2y=2px(p>0)，则抛物线的焦点到其顶点的距离为

2

p

，顶点到准线的距离

2

p

，焦

点到准线的距离为p.

（4）已知过抛物线2y=2px(p>0)焦点的直线交抛物线于A、B两点，则线段AB称为焦点弦，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

则弦长AB=

21

xx+p或

2sin

2p

AB(α为直线AB的倾斜角)，2

21

pyy，

2

,

41

2

21

p

xAF

p

xx(AF

叫做焦半径).

_

五、坐标的变换：

（1）坐标变换：在解析几何中，把坐标系的变换(如改变坐标系原点的位置或坐标轴的方向)叫做坐标变换.实施

坐标变换时，点的位置，曲线的形状、大小、位置都不改变，仅仅只改变点的坐标与曲线的方程.

（2）坐标轴的平移：坐标轴的方向和长度单位不改变，只改变原点的位置，这种坐标系的变换叫做坐标轴的平

移，简称移轴。

（3）坐标轴的平移公式：设平面内任意一点M，它在原坐标系xOy中的坐标是（x,y)，在新坐标系x′O′y′中的

坐标是),(''yx.设新坐标系的原点O′在原坐标系xOy中的坐标是(h,k)，则

kyy

hxx





'

'

或

kyy

hxx





'

'

叫做平移(或移轴)公式.

（4）中心或顶点在(h,k)的圆锥曲线方程见下表：

方程焦点焦线对称轴

椭圆

2

2h)-(x

a

+

2

2k)-(y

b

=1

(±c+h,k)

x=±

c

a2

+h

x=h

y=k

2

2h)-(x

b

+

2

2k)-(y

a

=1

(h,±c+k)

y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

双曲线

2

2h)-(x

a

-

2

2k)-(y

b

=1

(±c+h,k)

x=±

c

a2

+k

x=h

y=k

2

2k)-(y

a

-

2

2h)-(x

b

=1

(h,±c+h)

y=±

c

a2

+k

x=h

y=k

抛物线

(y-k)2=2p(x-h)

(

2

p

+h,k)x=-

2

p

+h

y=k

(y-k)2=-2p(x-h)

(-

2

p

+h,k)x=

2

p

+h

y=k

_

(x-h)2=2p(y-k)

(h,

2

p

+k)y=-

2

p

+k

x=h

(x-h)2=-2p(y-k)

(h,-

2

p

+k)y=

2

p

+k

x=h

六、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的

两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

上，则过

0

P的椭圆的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

6.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

外，则过

0

P作椭圆的两条切线切点为P

1

、P

2

，则切点弦P

1

P

2

的直线方程是

00

22

1

xxyy

ab

.

7.椭圆

22

22

1

xy

ab

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F

1

，F

2

，点P为椭圆上任意一点

12

FPF，则椭圆的焦

点角形的面积为

12

2tan

2FPF

Sb





.

8.椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的焦半径公式

10

||MFaex,

20

||MFaex(

1

(,0)Fc,

2

(,0)Fc

00

(,)Mxy).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦

点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A

1

、A

2

为椭圆长轴上的顶点，A

1

P和A

2

Q交于点M，A

2

P

和A

1

Q交于点N，则MF⊥NF.

是椭圆

22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

2

2

OMAB

b

kk

a

，即

_

0

2

0

2

ya

xb

K

AB

。

12.若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

内，则被Po所平分的中点弦的方程是

22

0000

2222

xxyyxy

abab

；

【推论】：

1、若

000

(,)Pxy在椭圆

22

22

1

xy

ab

内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

22

00

2222

xxyy

xy

abab

。椭圆

22

22

1

xy

ab



（a＞b＞o）的两个顶点为

1

(,0)Aa,

2

(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P

1、

P

2

时A

1

P

1

与A

2

P

2

交点的轨迹

方程是

22

22

1

xy

ab

.

2、过椭圆

22

22

1

xy

ab

(a＞0,b＞0)上任一点

00

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则直

线BC有定向且

2

0

2

0

BC

bx

k

ay

（常数）.

3、若P为椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

1

,F

2

是焦点,

12

PFF,

21

PFF，

则tant

22

ac

co

ac







.

4、设椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的两个焦点为F

1

、F

2

,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△PF

1

F

2

中，

记

12

FPF,

12

PFF,

12

FFP，则有

sin

sinsin

c

e

a









.

5、若椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F

1

、F

2

，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在椭圆

上求一点P，使得PF

1

是P到对应准线距离d与PF

2

的比例中项.

6、P为椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上任一点,F

1

,F

2

为二焦点，A为椭圆内一定点，则

211

2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当

2

,,AFP三点共线时，等号成立.

7、椭圆

22

00

22

()()

1

xxyy

ab



与直线0AxByC有公共点的充要条件是

_

22222

00

()AaBbAxByC.

8、已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为

22

22

4ab

ab

;（3）

OPQ

S



的最小值是

22

22

ab

ab

.

9、过椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线交x轴

于P，则

||

||2

PFe

MN

.

10、已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

0

(,0)Px,

则

2222

0

abab

x

aa



.

11、设P点是椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F

1

、F

2

为其焦点记

12

FPF，则

(1)

2

12

2

||||

1cos

b

PFPF







.(2)

12

2tan

2PFF

Sb





.

12、设A、B是椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)

2

222

2|cos|

||

s

ab

PA

acco









.(2)

2tantan1e.(3)

22

22

2

cot

PAB

ab

S

ba









.

13、已知椭圆

22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、

B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

_

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

七、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF

1

F

2

在点P处的内角.

2、PT平分△PF

1

F

2

在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除去长轴的两

个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF

1

为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5、若

000

(,)Pxy在双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上，则过

0

P的双曲线的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

6、若

000

(,)Pxy在双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P

1

、P

2

，则切点

弦P

1

P

2

的直线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

7、双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F

1

，F

2

，点P为双曲线上任意一点

12

FPF，则双

曲线的焦点角形的面积为

12

2t

2FPF

Sbco





.

8、双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(

1

(,0)Fc,

2

(,0)Fc）当

00

(,)Mxy在右支上时，

10

||MFexa,

20

||MFexa；当

00

(,)Mxy在左支上时，

10

||MFexa,

20

||MFexa。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相

应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A

1

、A

2

为双曲线实轴上的顶点，A

1

P和A

2

Q交于点M，

A

2

P和A

1

Q交于点N，则MF⊥NF.

_

11、AB是双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

0

2

0

2

ya

xb

KK

ABOM

，即

0

2

0

2

ya

xb

K

AB

。

12、若

000

(,)Pxy在双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

22

0000

2222

xxyyxy

abab

.

13、若

000

(,)Pxy在双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是

22

00

2222

xxyy

xy

abab

.

【推论】：

1、双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的两个顶点为

1

(,0)Aa,

2

(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P

1、

P

2

时A

1

P

1

与A

2

P

2

交点的轨迹方程是

22

22

1

xy

ab

.

2、过双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）上任一点

00

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点，

则直线BC有定向且

2

0

2

0

BC

bx

k

ay

（常数）.

3、若P为双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F

1

,F

2

是焦点,

12

PFF,

21

PFF，则tant

22

ca

co

ca







（或tant

22

ca

co

ca







）.

4、设双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F

1

、F

2

,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，在△PF

1

F

2

中，记

12

FPF,

12

PFF,

12

FFP，则有

sin

(sinsin)

c

e

a









.

5、若双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F

1

、F

2

，左准线为L，则当1＜e≤21时，可在

双曲线上求一点P，使得PF

1

是P到对应准线距离d与PF

2

的比例中项.

6、P为双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上任一点,F

1

,F

2

为二焦点，A为双曲线内一定点，则

_

21

||2||||AFaPAPF,当且仅当

2

,,AFP三点共线且P和

2

,AF在y轴同侧时，等号成立.

7、双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.

8、已知双曲线

22

22

1

xy

ab

（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为

22

22

4ab

ba

;（3）

OPQ

S



的最小值是

22

22

ab

ba

.

9、过双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂直平分

线交x轴于P，则

||

||2

PFe

MN

.

10、已知双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点

0

(,0)Px,

则

22

0

ab

x

a



或

22

0

ab

x

a



.

11、设P点是双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F

1

、F

2

为其焦点记

12

FPF，则

(1)

2

12

2

||||

1cos

b

PFPF







.(2)

12

2cot

2PFF

Sb





.

12、设A、B是双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)

2

222

2|cos|

||

|s|

ab

PA

acco









.

(2)2tantan1e.(3)

22

22

2

cot

PAB

ab

S

ba









.

13、已知双曲线

22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双曲线相

交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线

_

垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂直.

16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

八、抛物线的常用结论：

①xcbyay2顶点)

24

4

(

2

a

b

a

bac





.

②)0(22ppxy则焦点半径

2

P

xPF

;)0(22ppyx则焦点半径为

2

P

yPF

.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④pxy22（或pyx22）的参数方程为











pty

ptx

2

22（或











22

2

pty

ptx

）（t为参数）.

pxy22pxy22pyx22pyx22

图形

▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

▲

y

x

O

焦点)0,

2

(

p

F)0,

2

(

p

F)

2

,0(

p

F)

2

,0(

p

F

准线

2

p

x

2

p

x

2

p

y

2

p

y

范围Ryx,0Ryx,00,yRx0,yRx

对称轴x轴y

轴

顶点（0,0）

离心率

1e

_

焦点

12

x

p

PF

12

x

p

PF

12

y

p

PF

12

y

p

PF

圆锥曲线的性质对比

圆锥曲线椭圆双曲线抛物线

标准方程(x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1a>b>

0

(x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1a>0,b>

0

y^2=2pxp>0

范围x∈[-a,a]y∈[-b,b]x∈(-∞,-a]∪[a,+∞)y∈Rx∈[0,+∞)y∈R

对称性关于x轴,y轴,原点对称关于x轴,y轴,原点对称关于x轴对称

顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)

焦点(c,0),(-c,0)

【其中c^2=a^2-b^2】

(c,0),(-c,0)

【其中c^2=a^2+b^2】

(p/2,0)

准线x=±(a^2)/cx=±(a^2)/cx=-p/2

渐近线——————————y=±(b/a)x—————

离心率e=c/a,e∈(0,1)e=c/a,e∈(1,+∞)e=1

焦半径∣PF1∣=a+ex∣PF2∣=a-ex∣PF1∣=∣ex+a∣∣PF2∣=∣ex-a∣∣PF∣=x+p/2

_

焦准距p=(b^2)/cp=(b^2)/cp

通径(2b^2)/a(2b^2)/a2p

参数方程x=a·cosθy=b·sinθ，θ为参数x=a·cθ

y=b·tanθ,θ为参数

x=2pt^2y=2pt,

t为参数

过圆锥曲

线上一点

(x0·x/a^2)+(y0·y/b^2)=1

(x0,y0)的切线方程

(x0x/a^2)-(y0·y/b^2)=1y0·y=p(x+x0)

斜率为k

的切线方

程

y=kx±√[(a^2)·(k^2)+b^2]y=kx±√[(a^2)·(k^2)-b^2]y=kx+p/2k