等差数列练习题

一、等差数列选择题

1．在数列

n

a

中，

1

29a

，*

1

3

nn

aan



N

，则

1220

aaa

（）

A

．

10B

．

145

C

．

300D

．

320

2．在等差数列

n

a

中，

39

14aa

，

2

3a

，则

10

a

（）

A

．11B

．10C

．6D

．3

3．已知

n

S

为等差数列

n

a

的前

n

项和，

35

18aS

，

63

3aa

，则

n

a

（）

A

．1nB

．

n

C

．21nD

．2n

4．等差数列

{},{}

nn

ab

的前

n

项和分别为

,

nn

ST

，若

2

31

n

n

a

n

bn





，则

21

21

S

T

的值为（）

A

．

13

15

B

．

23

35

C

．

11

17

D

．

4

9

5．已知数列

n

a

的前

n

项和221

n

Snn

，则

13525

aaaa

（）

A

．

350B

．

351C

．

674D

．

675

6．已知数列

n

a

是公差不为零的等差数列，且

1109

aaa

，则129

10

aaa

a





（）

A

．

27

8

B

．

5

2

C

．

3D

．

4

7．已知等差数列

n

a

中，前

n

项和215

n

Snn

，则使

n

S

有最小值的

n

是（）

A

．

7B

．

8C

．

7

或

8D

．

9

8．已知等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S

，若9

3

6

S

S



，则

6

12

S

S



（）

A

．

17

7

B

．

8

3

C

．

14

3

D

．

10

3

9．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：

“

今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四

斤，斩末一尺，重二斤

.

问次一尺各重几何

?”

意思是

:“

现有一根金锤，长五尺，一头粗一头

细

.

在粗的一端截下一尺，重四斤

;

在细的一端截下一尺，重二斤

.

问依次每一尺各重几斤

?”

根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为（）

A

．

3

斤

B

．

6

斤

C

．

9

斤

D

．

12

斤

10．已知等差数列

{}

n

a

的前

n

项和为

n

S

，

3156

7aaa

，则

23

S

（）

A

．

121B

．

161C

．

141D

．

151

11．《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：

“

今有五人分五钱，令上二人

所得与下三人等

.

问各得几何

.”

其意思为

“

已知甲、乙、丙、丁、戊五人分

5

钱，甲、乙两人

所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列

.

问五人各得

多少钱？

”

（

“

钱

”

是古代的一种重量单位）

.

这个问题中，戊所得为（）

A

．

5

4

钱

B

．

4

3

钱

C

．

2

3

钱

D

．

5

3

钱

12．已知等差数列

n

a

的公差d为正数，

11

1,211,

nnn

aaatnat





为常数，则

n

a

（）

A

．21nB

．43nC

．54nD

．

n

13．在等差数列

{a

n}

中，已知

a5=3

，

a9=6

，则

a13=

（）

A

．

9B

．

12C

．

15D

．

18

14．等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S

，已知

5

8a

，

3

6S

，则

107

SS

的值是（）

A

．

48B

．

60C

．

72D

．

24

15．已知等差数列

n

a

中，

16

1,11aa

，则数列

n

a

的公差为（）

A

．

5

3

B

．

2C

．

8D

．

13

16．设等差数列

n

a

的前

n

项之和为

n

S

，已知

10

100S

，则

47

aa

（）

A

．12B

．20C

．40D

．100

17．设等差数列

{}

n

a

的公差

d

≠

0

，前

n

项和为

n

S

，若

42

5Sa

，则9

9

S

a



（）

A

．

9B

．

5C

．

1D

．

5

9

18．已知数列

n

a

是公差不为零且各项均为正数的无穷等差数列，其前

n

项和为

n

S

.

若

pmnq

且*,,,pqmnpqmnN

，则下列判断正确的是（）

A

．

2

2

pp

Spa

B

．

pqmn

aaaa

C

．

1111

pqmn

aaaa



D

．

1111

pqmn

SSSS



19．已知等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S，且

31017

9aaa，则

19

S

（）

A

．

51B

．

57C

．

54D

．

72

20．若两个等差数列

n

a

，

n

b

的前

n

项和分别为

n

S

和

n

T

，且

32

21

n

n

S

n

Tn







，则

12

15

a

b



（）

A

．

3

2

B

．

70

59

C

．

71

59

D

．

8

5

二、多选题

21．在等差数列

n

a

中，公差0d，前

n

项和为

n

S

，则（）

A

．

4619

aaaa

B

．

13

0S

，

14

0S

，则

78

aa

C

．若

915

SS

，则

n

S

中的最大值是

12

S

D

．若2

n

Snna

，则0a22．题目

文件丢失！

23．已知数列

n

a

中，

1

1a

，

1

11

1

nn

aa

nn









，*nN.

若对于任意的1,2t

，

不等式22212n

a

tataa

n



恒成立，则实数

a

可能为（）

A

．－

4B

．－

2C

．

0D

．

2

24．(

多选题

)

已知数列n

a

中，前

n

项和为

n

S

，且

2

3nn

n

Sa





，则

1

n

n

a

a



的值不可能为

（）

A

．

2B

．

5C

．

3D

．

4

25．已知递减的等差数列

n

a

的前

n

项和为

n

S

，

57

SS

，则（）

A

．

6

0a

B

．

6

S

最大

C

．

13

0S

D

．

11

0S

26．已知等差数列

n

a

的公差不为

0

，其前

n

项和为

n

S

，且

1

2a

、

8

S

、

9

S成等差数列，

则下列四个选项中正确的有（）

A

．

598

23aaS

B

．

27

SS

C

．

5

S

最小

D

．

5

0a

27．公差不为零的等差数列

n

a

满足

38

aa，

n

S

为

n

a

前

n

项和，则下列结论正确的

是（）

A

．

11

0S

B

．

10nn

SS





（110n）

C

．当

11

0S

时，

5n

SS

D

．当

11

0S

时，

5n

SS

28．等差数列

n

a

的首项

1

0a

，设其前

n

项和为

n

S

，且

611

SS

，则（）

A

．0dB

．0dC

．

8

0a

D

．

n

S的最大值是

8

S

或者

9

S

29．已知数列

n

a

满足：

1

3a

，当2n时，2

1

111

nn

aa



，则关于数列



n

a

说法正确的是（）

A

．

2

8a

B

．数列

n

a

为递增数列

C

．数列n

a

为周期数列

D

．22

n

ann

30．已知

n

a

为等差数列，其前

n

项和为

n

S

，且

136

23aaS，则以下结论正确的是

（）

.

A

．

10

a

0B

．

10

S

最小

C

．

712

SS

D

．

19

0S

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、等差数列选择题

1

．

C

【分析】

由等差数列的性质可得

332

n

an

，结合分组求和法即可得解。

【详解】

因为

1

29a

，*

1

3

nn

aanN





，

所以数列

n

a

是以29为首项，公差为

3

的等差数列，

所以

1

1332

n

aandn

，

所以当10n时，

0

n

a

；当11n时，

0

n

a

；

所以

122

aaaaaaaaa

1101120

292128

1

2222

aaaa



.

故选：

C.

2

．

A

【分析】

利用等差数列的通项公式求解

1

,ad

，代入即可得出结论

.

【详解】

由

39

14aa

，

2

3a

，

又

n

a

为等差数列，

得

391

21014aaad，

21

3aad

，

解得

1

2,1ad

，

则

101

+92911aad

；

故选：

A.

3

．

B

【分析】

根据条件列出关于首项和公差的方程组，求解出首项和公差，则等差数列

n

a

的通项公式

可求

.

【详解】

因为

35

18aS

，

63

3aa

，所以1

11

61218

523

ad

adad











，

所以

1

1

1

a

d











，所以111

n

ann

，

故选：

B.

4

．

C

【分析】

利用等差数列的求和公式，化简求解即可

【详解】

21

21

S

T

＝121121

21()21()

22

aabb

＝121

121

aa

bb





＝

11

11

a

b

＝

211

3111





＝

11

17

.

故选C

5

．

A

【分析】

先利用公式

1

1

,1

,2n

nn

Sn

a

SSn















求出数列

n

a

的通项公式，再利用通项公式求出

13525

aaaa

的值

.

【详解】

当1n时，2

11

12112aS

；

当2n时，2

2

1

21121121

nnn

aSSnnnnn









.

1

2a

不适合上式，

2,1

21,2n

n

a

nn













.

因此，



325

13525

1212751

22350

22

aa

aaaa



；

故选：

A.

【点睛】

易错点睛：利用前

n

项和

n

S

求通项

n

a

，一般利用公式

1

1

,1

,2n

nn

Sn

a

SSn















，但需要验证

1

a

是否满足2

n

an

.

6

．

A

【分析】

根据数列

n

a

是等差数列，且

1109

aaa，求出首项和公差的关系，代入式子求解.

【详解】

因为

1109

aaa，

所以

11

298adad

，

即

1

ad

，

所以



1

1295

10101

9

9

2727

88

4

9

a

aaaa

d

aa

d

dad









.

故选：

A

7

．

C

【分析】

215

n

Snn

看作关于

n

的二次函数，结合二次函数的图象与性质可以求解．

【详解】

2

2

15225

15

24n

Snnn









，

∴数列

{}

n

S

的图象是分布在抛物线

215225

24

yx









上的横坐标为正整数的离散的

点．

又抛物线开口向上，以

15

2

x

为对称轴，且

1515

|78

22

|

，

所以当

7,8n

时，

n

S

有最小值．

故选：

C

8

．

D

【分析】

由等差数列前

n

项和性质得

3

S

，

63

SS

，

96

SS

，

129

SS

构成等差数列，结合已知条件

得

63

3SS

和

312

10SS

计算得结果

.

【详解】

已知等差数列

n

a

的前项和为

n

S，



3

S，

63

SS

，

96

SS，

129

SS

构成等差数列，

所以

63396

2SSSSS

，且9

3

6

S

S



，化简解得

63

3SS

.

又

9663129

2SSSSSS

，



312

10SS

，从而12

6

10

3

S

S



.

故选：

D

【点睛】

思路点睛：

（

1

）利用等差数列前

n

项和性质得

3

S

，

63

SS

，

96

SS

，

129

SS

构成等差数列，

（

2

）

63396

2SSSSS

，且9

3

6

S

S



，化简解得

63

3SS，

（

3

）

9663129

2SSSSSS

，化简解得

312

10SS

.

9

．

C

【分析】

根据题意转化成等差数列问题，再根据等差数列下标的性质求

234

aaa

.

【详解】

由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为

1

a

，粗的一端的重量为

5

a

，

可知

1

2a

，

5

4a

，

根据等差数列的性质可知

1533

263aaaa

，

中间三尺为

2343

39aaaa

.

故选：

C

【点睛】

本题考查数列新文化，等差数列的性质，重点考查理解题意，属于基础题型

.

10

．

B

【分析】

由条件可得

12

7a

，然后

2312

23Sa

，算出即可

.

【详解】

因为

3156

7aaa

，所以

1563

7aaa

，所以

15

37ad

，所以

15

37ad

，即

12

7a

所以

2312

23161Sa

故选：

B

11

．

C

【分析】

根据甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列，设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为

2ad，ad，

a

，ad，2ad，然后再由五人钱之和为

5

，甲、乙的钱与与丙、

丁、戊的钱相同求解

.

【详解】

设甲、乙、丙、丁、戊所得钱分别为2ad，ad，

a

，ad，2ad，

则根据题意有

(2)()()(2)5

(2)()()(2)

adadaadad

adadaadad











，

解得

1

1

6

a

d















，

所以戊所得为

2

2

3

ad，

故选：

C.

12

．

A

【分析】

由已知等式分别求出数列的前三项，由

213

2aaa

列出方程，求出公差，利用等差数列

的通项公式求解可得答案．

【详解】

1

1a

，

1

211

nnn

aatna





,

令1n，则

121

211aata

，解得

2

1at

令2n，则

232

2121aata

，即2

3

11tat

，若1t，则

2

0,1ad

，

与已知矛盾，故解得

3

1at



n

a

等差数列，

213

2aaa

，即2111tt

，解得4t

则公差

21

2daa

，所以

1

121

n

aandn

.

故选：

A

13

．

A

【分析】

在等差数列

{a

n}

中，利用等差中项由

9513

2aaa

求解.

【详解】

在等差数列

{a

n}

中，

a5=3

，

a9=6

，

所以

9513

2aaa

，

所以

1395

22639aaa

，

故选：

A

14

．

A

【分析】

根据条件列方程组，求首项和公差，再根据

10789109

3SSaaaa

，代入求值

.

【详解】

由条件可知

1

1

48

32

36

2

ad

ad

















，解得：

1

0

2

a

d











，



107891091

33848SSaaaaad.

故选：

A

15

．

B

【分析】

设公差为d，则

61

5aad

，即可求出公差d的值

.

【详解】

设公差为d，则

61

5aad，即1115d，解得：2d，

所以数列

n

a

的公差为2，

故选：

B

16

．

B

【分析】

由等差数列的通项公式可得

471

29aaad

，再由

101

1045100Sad

，从而可得

结果

.

【详解】

解：

101

1045100Sad

，

1

2920ad

，

471

2920aaad

.

故选：

B.

17

．

B

【分析】

由已知条件，结合等差数列通项公式得

1

ad

，即可求9

9

S

a

.

【详解】

412342

5Saaaaa

，即有

1342

4aaaa

，得

1

ad

，

∴19

9

9()

45

2

aa

Sd



，

9

9ad

，且0d，

∴

9

9

5

S

a



.

故选：

B

18

．

D

【分析】

利用等差数列的求和公式可判断

A

选项的正误；利用作差法结合等差数列的通项公式可判

断

B

选项的正误；利用

pqmn

aaaa

结合不等式的基本性质可判断

C

选项的正误；利用等

差数列的求和公式结合不等式的基本性质可判断

D

选项的正误

.

【详解】

对于

A

选项，由于



12

21

2

2

2

p

pppp

paa

Spaapa





，故选项

A

错误；

对于

B

选项，由于

mpqn

，则



pqmnmnmn

aaaaapmdaqndaa





2

2

mnmnmn

aqndaqndaaqnaadqnd





2

220qnnmdqnd，故选项

B

错误；

对于

C

选项，由于

1111

pq

mnmn

pqpqpqmnmn

aa

aaaa

aaaaaaaaaa









，故选项

C

错误；

对于

D

选项，设

0xqnmp

，则

20pqmnmxnxmnxnmx

，从而

pqmn

，

由于222222pqmnpqpqmnmn，故2222pqmn.

111111pqpqpqmnmnmn

，

故2222

1122pqmn

pqpqmnmn

SSpqadmnadSS



.



22

1111

11211

2224pq

ppqqpqpqpqpq

SSpadqadpqaadd













22

11

211

24

mnmnmnpq

mnaadd







22

11

211

24mn

mnmnmnmn

mnaaddSS



，

由此

1111

pq

mn

pqpqmnmn

SS

SS

SSSSSSSS







，故选项

D

正确

.

故选：

D.

【点睛】

关键点点睛：本题考查等差数列中不等式关系的判断，在解题过程中充分利用基本量来表

示

n

a

、

n

S

，并结合作差法、不等式的基本性质来进行判断

.

19

．

B

【分析】

根据等差数列的性质求出

10

3a

，再由求和公式得出答案

.

【详解】

31710

2aaa

10

39a

，即

10

3a



119

10

19

19

192

19357

22

aa

a

S







故选：

B

20

．

C

【分析】

可设

(32)

n

Sknn

，

(21)

n

Tknn

，进而求得

n

a

与

n

b的关系式，即可求得结果．

【详解】

因为

n

a

，

n

b

是等差数列，且

32

21

n

n

S

n

Tn







，

所以可设

(32)

n

Sknn

，

(21)

n

Tknn

，

又当

2n

时，有

1

(61)

nnn

aSSkn





，

1

(41)

nnn

bTTkn





，

12

15

(6121)71

(4151)59

a

k

bk







，

故选：C．

二、多选题

21

．

AD

【分析】

对于A，作差后利用等差数列的通项公式运算可得答案；

对于B，根据等差数列的前

n

项和公式得到

7

0a

和

78

0aa

，进而可得

8

0a

，由

此可知

78

||||aa

，故B不正确；

对于C，由

915

SS

得到，

1213

0aa

，然后分类讨论d的符号可得答案；

对于D，由

n

S

求出

n

a

及

1

a

，根据数列

n

a

为等差数列可求得0a.

【详解】

对于A，因为

46191111

(3)(5)(8)aaaaadadaad215d，且0d，

所以2

4619

150aaaad

，所以

4619

aaaa

，故A正确；

对于B，因为

13

0S

，

14

0S

，所以77

7

13()

130

2

aa

a





，即

7

0a

，

78

78

14()

7()0

2

aa

aa





，即

78

0aa

，因为

7

0a

，所以

8

0a

，所以

7878

||||0aaaa

，即

78

||||aa

，故B不正确；

对于C，因为

915

SS

，所以

10111415

0aaaa

，所以

1213

3()0aa

，即

1213

0aa

，当0d时，等差数列

n

a

递增，则

1213

0,0aa

，所以

n

S

中的最小值

是

12

S

，无最大值；当0d时，等差数列

n

a

递减，则

1213

0,0aa，所以

n

S中的最

大值是

12

S

，无最小值，故C不正确；

对于D，若2

n

Snna

，则

11

aSa，2n时，

22

1

(1)(1)

nnn

aSSnnanna



22n，因为数列

n

a

为等差数列，

所以

1

2120aa，故D正确

.

故选：

AD

【点睛】

关键点点睛：熟练掌握等差数列的通项公式、前

n

项和公式是解题关键

.

22．无

23

．

AB

【分析】

由题意可得1

11

11

nn

aa

nnnn





，利用裂项相相消法求和求出

1

22n

a

nn

，只需

222122tataa

对于任意的1,2t

恒成立，转化为

210tata



对于任意的1,2t

恒成立，然后将选项逐一验证即可求解.

【详解】

1

11

nn

n

aa

nn



，1

111

1(1)1

nn

aa

nnnnnn





，

则1

11

11

nn

aa

nnnn





，12

11

1221

nn

aa

nnnn





，，21

1

1

1

22

aa

，

上述式子累加可得：

1

1

1n

a

a

nn

，

1

22n

a

nn

，

222122tataa

对于任意的1,2t

恒成立，

整理得210tata



对于任意的1,2t

恒成立，

对

A

，当4a时，不等式2540tt

，解集

5

,4

2









，包含

1,2

，故

A

正确；

对

B

，当2a时，不等式2320tt

，解集

3

,2

2









，包含

1,2

，故

B

正确；

对

C

，当0a时，不等式210tt

，解集

1

,0

2









，不包含

1,2

，故

C

错误；

对

D

，当2a时，不等式2120tt

，解集

1

2,

2









，不包含

1,2

，故

D

错误，

故选：

AB.

【点睛】

本题考查了裂项相消法、由递推关系式求通项公式、一元二次不等式在某区间上恒成立，

考查了转化与划归的思想，属于中档题

.

24

．

BD

【分析】

利用递推关系可得

1

2

1

1

n

n

a

an







，再利用数列的单调性即可得出答案．

【详解】

解：∵

2

3nn

n

Sa





，

∴2n时，

11

21

33nnnnn

nn

aSSaa







，

化为：

1

12

1

11

n

n

a

n

ann









，

由于数列

2

1n









单调递减，

可得：2n时，

2

1n

取得最大值

2

．

∴

1

n

n

a

a



的最大值为

3

．

故选：

BD

．

【点睛】

本题考查了数列递推关系、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

25

．

ABD

【分析】

转化条件为

67

0aa

，进而可得

6

0a

，

7

0a

，再结合等差数列的性质及前

n

项和公

式逐项判断即可得解

.

【详解】

因为

57

SS

，所以

75

0SS

，即

67

0aa

，

因为数列

n

a

递减，所以

67

aa

，则

6

0a

，

7

0a

，故

A

正确；

所以

6

S

最大，故

B

正确；

所以



113

137

13

130

2

aa

Sa



，故

C

错误；

所以



111

116

11

110

2

aa

Sa



，故

D

正确

.

故选：

ABD.

26

．

BD

【分析】

设等差数列

n

a

的公差为d，根据条件

1

2a、

8

S、

9

S成等差数列可求得

1

a与d的等量关

系，可得出

n

a、

n

S的表达式，进而可判断各选项的正误

.

【详解】

设等差数列

n

a

的公差为d，则

811

87

8828

2

Sadad



，

911

98

9936

2

Sadad



，

因为

1

2a

、

8

S

、

9

S成等差数列，则

819

22SaS

，即

111

16562936adaad

，

解得

1

4ad，

1

15

n

aandnd

，



2

1

9

1

22n

nnd

nnd

Sna





.

对于

A

选项，

59

233412aadd，

2

8

889

4

2

d

Sd



，

A

选项错误；

对于

B

选项，

2

2

292

7

2

d

Sd



，

2

7

797

7

2

d

Sd



，

B

选项正确；

对于

C

选项，2

2

981

9

2224n

dd

Snnn

















.

若0d，则

4

S

或

5

S

最小；若0d，则

4

S

或

5

S

最大

.C

选项错误；

对于

D

选项，

5

0a

，

D

选项正确

.

故选：

BD.

【点睛】

在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为

a

1和

d

等基本量，通过建立方程（组）获得

解，另外在求解等差数列前

n

项和

n

S

的最值时，一般利用二次函数的基本性质或者数列的

单调性来求解

.

27

．

BC

【分析】

设公差d不为零,由

38

aa，解得

1

9

2

ad

，然后逐项判断

.

【详解】

设公差d不为零,

因为

38

aa，

所以

11

27adad

，

即

11

27adad

，

解得

1

9

2

ad

，

111

911

115511550

22

Sadddd









，故

A

错误；







22

1101

1109

10,1010

2222nn

nnnn

dd

nadnnnannSSd







，故

B

正确；

若

111

911

115511550

22

Sadddd









，解得0d，

2

2

5

10525

222n

ddd

nnSnS

，故

C

正确；

D

错误；

故选：

BC

28

．

BD

【分析】

由

611116

0SSSS

，即

9

50a

，进而可得答案．

【详解】

解：

50SSaaaaaa

，

因为

1

0a

所以

9

0a

，0d，

89

SS

最大，

故选：BD．

【点睛】

本题考查等差数列的性质，解题关键是等差数列性质的应用，属于中档题．

29

．

ABD

【分析】

由已知递推式可得数列1

n

a

是首项为

1

12a，公差为

1

的等差数列，结合选项

可得结果

.

【详解】

2

1

111

nn

aa



得2

1

111

nn

aa



，

∴

1

111

nn

aa



，

即数列1

n

a

是首项为

1

12a，公差为

1

的等差数列，

∴12(1)11

n

ann，

∴22

n

ann

，得

2

8a

，由二次函数的性质得数列

n

a

为递增数列，

所以易知

ABD

正确，

故选：

ABD.

【点睛】

本题主要考查了通过递推式得出数列的通项公式，通过通项公式研究数列的函数性质，属

于中档题

.

30

．

ACD

【分析】

由

136

23aaS

得

10

0a

，故A正确；当0d时，根据二次函数知识可知

n

S

无最小

值，故B错误；根据等差数列的性质计算可知

127

SS

，故C正确；根据等差数列前

n

项

和公式以及等差数列的性质可得

19

0S

，故D正确.

【详解】

因为

136

23aaS

，所以

111

236615aadad，所以

1

90ad，即

10

0a

，故

A正确；

当0d时，

1

(1)(1)

9

22n

nnnn

Snaddnd



2(19)

2

d

nn

无最小值，故B错

误；

因为

10

50SSaaaaaa

，所以

127

SS

，故C正确；

因为



119

1910

19

190

2

aa

Sa



，故D正确

.

故选：

ACD.

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式、前

n

项和公式，考查了等差数列的性质，属于中档题.