数学根号

根号的由来

早在1480年，德国人便开始用一个点来表示方根，如3表示3的平方根，3表示3

的4次方根，3表示3的立方根，到了16世纪初，平方根用小点带上一条小尾巴来表示，

就像一个小蝌蚪，因而很难标准。1525年，德国数学家鲁道夫的代数书中用√8表示8的平

方根，显然用“小钩子”要比“小蝌蚪”好多了，不过后来又发现了新问题。传说，两个工

程人员为式中“√2100g”引起了矛盾，差一点要上法庭打官司。究其原因，是因为小

钩子“√”的意义不明确，不知道它能管后面几个字母及数字。

后来，笛卡尔在他的《几何学》一书中创设了现代的平方根号“”，并把立方根写

成

c

，在原书第一版中写道：“如果我想求22ab的平方根，就写作22ab；如果想求

3310100a33ababc的立方根，则可写作33cababc。”笛卡尔的根号与鲁

道夫的根号最大区别在于：笛卡尔考虑到，当被开方数有几项时，鲁道夫的根号会引起混淆，

因次，他在上方用直线把这几项括起来，前面再放上记号“√”，也就是现在使用的根号了。

现代的立方根号出现的很晚，一直到18世纪才在一些书中看到，在1732年以后才渐渐

通行。之后，一般的n次方根符号也就相继出现了。

逐步逼近法估算

在数学计算中，“逐步逼近法”是常用的计算方法。

例如，计算

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，用计算器可以立即知道

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的近似值，但是若是生活在荒岛上，又

未带计算器和其他资料，人们就可以用逐步逼近的方法计算

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的近似值，更重要的是，

这种方法可以运用到其他问题中。

由于

3134

，所以可设

133x

（x是一个正的纯小数）。两边平方，得

21396xx.由于x是一个小量，所以2x是一个比x更小的高次小量。可以忽略掉，故

1396x。

即

2

3

x，所以

2

133

3



再作第二次逼近：

设

2

133

3

y，两边平方，得2

1212212122

13

9393

yyy

所以

2

33

y

于是

22119

1333.606

33333



如果继续逼近下去，就可以得到更精确的近似值。

近似求解立方根

当立方根是一位整数时，很容易求出这个立方根，但当立方根是两位或两位以上的整数

时，也能容易地求出吗？例如140608的立方根，怎样求容易？

下面就介绍它的巧妙求法。

先用前三位数140来确定立方根的十位数。因为3351406，所以十位数是5，而不

是6，再用最后一位数8来确定立方根的个位数，因为328，所以个位数是2，就是说，

140608的立方根是52，确定立方根的个位数时要注意下面规律：“我们知道：

3333311,464,5125,6216,9729，就是说当被开方数的末位数是1、4、5、6、9

时，立方根的个位数就等于它本身（1、4、5、6、9）”

因为3328,8512，就是说当被开方数的末位数是8、2时，立方根的个位数就分别

是2、8，叫做2与8互换原则。同样还有3与7互换原则（被开方数的末位数分别是3、7，

立方根的个位数就分别是7、3）；

一般地，如果3310100a，且a是能开尽方的数。那么就能用这种方法求a的立方

根，请用这种方法求下列各数的立方根。50653、79507、287496、970299