等差数列教案

等差数列教学设计

一、教学内容分析

本节课是《普通高中课程标准实验教科书·数学5》（人教版）第二章数列

第二节等差数列第一课时。

数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前

启后的作用。一方面,数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,

学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习

了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对

数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联

想”、“类比”的思想方法。

二、学生学习情况分析

教学内容针对的是高二的学生，经过高中一年的学习，大部分学生知识经验

已较为丰富，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也可能有一部分学

生的基础较弱，所以在授课时要从具体的生活实例出发，使学生产生学习的兴趣，

注重引导、启发学生的积极主动的去学习数学，从而促进思维能力的进一步提高。

三、设计思想

1．教法

⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，

突破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。

⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生

的积极性。

⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。

2．学法

引导学生首先从三个现实问题概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接

着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学

引导认识多元的推导思维方法。

用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。

在引导分析时，留出“空白”，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质

疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。

四、教学目标

知识与技能

理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情

境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题。

过程与方法

通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观

察能力和抽象概括能力．

情感态度与价值观

通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣。

五、教学重点与难点

重点：

①等差数列的概念。

②等差数列的通项公式的推导过程及应用。

难点：

①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。

②理解等差数列是一种函数模型。

六、教学过程

教学

环节

情境设计和学习任务学生活动设计意图

创设

情景

请你在一分钟内记住下列3个数，并

默写下来。

(1)55758595105115

(2)26478

(3)729343

倾听课堂引入

探索

研究

由学生观察分析并得出答案：

问题情境1高斯是德国数学家，也是

天文学家和物理学家，他和牛顿、阿

基米德，被誉为有史以来的三大数学

家。高斯是近代数学奠基者之一，在

历史上影响之大，可以和阿基米德、

牛顿、欧拉并列，有“数学王子”之

称。他在小学时巧妙地解决了这个问

题：1+2+...+100

问题情境2姚明刚进NBA一周训练罚

观察分析，发表各自的意见

通过几个具

体的等差数

列，为学习新

知识创设问

题情境，激发

学生的求知

欲。

球的个数：

第一天：6000，第二天：6500，

第三天：7000，第四天：7500，

第五天：8000，第六天：8500，

第七天：9000.

问题情境3

匡威运动鞋（女）的尺码（鞋底长，

单位是cm）：

22.5，23，23.5，24，24.5，25，25.5，

26

发现

规律

思考：同学们观察一下上面的这三个

数列：

（1）1，2，3，4，…，100

（2）6000，6500，7000，7500，8000，

8500，9000

（3）22.5，23，23.5，24，24.5，25，

25.5，26

看这些数列有什么共同特点呢？

观察分析并得出答案:

引导学生观察相邻两项间的

关系，

由学生归纳和概括出，以上

两个数列从第2项起，每一项

与前一项的差都等于同一个

常数（即：每个都具有相邻两

项差为同一个常数的特点）。

通过分析，激

发学生学习

的探究知识

的兴趣，引导

揭示数列的

共性特点。

总结

提高

[等差数列的概念]

对于以上几组数列我们称它们为等差

数列。请同学们根据我们刚才分析等

差数列的特征，尝试着给等差数列下

个定义：

等差数列：一般地，如果一个数列从

第2项起，每一项与它的前一项的差

等于同一个常数，那么这个数列就叫

做等差数列。

这个常数叫做等差数列的公差，公差

通常用字母d表示。那么对于以上两

组等差数列，它们的公差依次是1，

500，0.5

学生认真阅读课本相关概念，

找出关键字。

通过学生自

己阅读课本，

找出关键字，

提高学生的

阅读水平和

思维概括能

力，学会抓重

点。

提问：如果在a与

b

中间插入一个数A，

使a，A，

b

成等差数列数列，那么A

应满足什么条件？

由学生回答：因为a，A，b

组成了一个等差数列，那么由

定义可以知道：A-a=b-A

所以就有

2

ba

A





让学生参与

到知识的形

成过程中，获

得数学学习

的成就感。

由三个数a，A，b组成的等差数列可

以看成最简单的等差数列，这时，A

叫做a与b的等差中项。

不难发现，在一个等差数列中，从第2

项起，每一项（有穷数列的末项除外）

都是它的前一项与后一项的等差中

项。

深入探究，得到更一般化的结

论

引领学习更

深入的探究，

提高学生的

学习水平。

总结

提高

[等差数列的通项公式]

对于以上的等差数列，我们能不能用

通项公式将它们表示出来呢？这是我

们接下来要学习的内容。

⑴、我们是通过研究数列}{

n

a的第n

项与序号n之间的关系去写出数列的

通项公式的。下面由同学们根据通项

公式的定义，写出这三组等差数列的

通项公式。

由学生经过分析写出通项公

式

学会发现规

律，并加以总

结。

⑵、那么，如果任意给了一个等差数

列的首项

1

a和公差d，它的通项公式是

什么呢？

引导学生根据等差数列的

定义进行归纳：

21

32

43

,

,

(1)

,

aad

aad

n

aad























个等式

所以,

12

daa

,

23

daa

,

34

daa

……

引导学生进

行理性分析

与推导，从而

得出公式。

总结

提高

思考：那么通项公式到底如何表达

呢？

,

12

daa

,2)(

123

daddadaa

,3)2(

134

daddadaa

……

进一步的分

析。

得出通项公式：由此我们可以猜想得

出：以

1

a为首项，d为公差的等差数

列}{

n

a的通项公式为

dnaa

n

)1(

1



也就是说，只要我们知道了等差数

列的首项

1

a和公差d，那么这个等差数

列的通项

n

a就可以表示出来了。

思考，并发表各自的意见。让学生有自

主思考的时

空。

应用

巩固

例1、⑴求等差数列8，5，2，…的第

20项.

⑵-401是不是等差数列-5，-9，-13，…

的项？如果是，是第几项？

让两个学生分别对这两小题

加以分析。

让学生参与

课堂。

分析：

⑴要求出第20项，可以利用通项公式

求出来。首项知道了，还需要知道的

是该等差数列的公差，由公差的定义

可以求出公差

解：⑴由

1

a=8，d=5-8=-3，

n=20，得

49)3()121(8

20

a

⑵由

1

a=-5，d=-9-（-5）=-4，

得这个数列的通项公式为

⑵这个问题可以看成是上面那个问题

的一个逆问题。要判断这个数是不是

数列中的项，就是要看它是否满足该

数列的通项公式，并且需要注意的是，

项数是否有意义。

,14)1(45nna

n

由

题意知，本题是要回答是否存

在正整数n,使得-401=-4n-1

成立。

解这个关于n的方程，得

n=100，即-401是这个数列的

第100项。

例题评述：从该例题中可以看出，等

差数列的通项公式其实就是一个关于

n

a、

1

a、d、n（独立的量有3个）的

方程；另外，要懂得利用通项公式来

判断所给的数是不是数列中的项，当

判断是第几项的项数时还应看求出的

项数是否为正整数，如果不是正整数，

那么它就不是数列中的项。

聆听教师点评通过教师点

评，提高学生

对关键问题

的认知水平。

例2、在等差数列{an}中，已知

a6=12，a18=36，求通项公式an

这一环节是

使学生通过

例题和练习，

增强对通项

公式含义的

理解以及对

通项公式的

运用，提高解

决实际问题

的能力。通过

例1和例2向

学生表明：要

用运动变化

的观点看等

差数列通项

公式中的a

1

、

d、n、an

这4

个量之间的

关系。当其中

的三个量已

知时，可根据

该公式求出

第四个量。

自主探究：已知等差数列}{

n

a的公差

为d.求证：mn

aa

d

mn







通过教师点

评，提高学生

对关键问题

例3：在等差数列｛an｝中已知a3=10,

a9=28,求a1，d及an

的认知水平。

例4某市出租车的计价标准为1.2元

/km，起步价为10元

即最初的4km(不含4km）计费10元，

如果某人乘坐该市

出租车去往14km处的目的地，且一路

畅通，等候时间为

0，需要支付多少车费？

这是等差数列用于解决实际

问题的一个简单应用，要学会

从实际问题中抽象出等差数

列模型，用等差数列的知识解

决实际问题。

1.加强同学们

对应用题的

综合分析能

力，2.通过数

学实际问题

引出等差数

列问题，激发

了学生的兴

趣；3.再者通

过数学实例

展示了“从实

际问题出发

经抽象概括

建立数学模

型，最后还原

说明实际问

题的“数学建

模”的数学思

想方法。

探索

研究

例5.已知数列{an}的通项公式为an

＝pn＋q，

其中p、q为常数，且p≠0，那么这个

数列

一定是等差数列吗？

学生动手画图，并进行学习小

组讨论，发表见解。分析思考，

然后分组讨论，让两组学生代

表发表自己的见解。

通过学生动

手作图，并加

以对比，让学

生体会数列

与函数的内

在关系。

课堂

小结

本节主要内容为：

1.理解等差数列的概念;

2.要会推导等差数列的通项公式,并

掌握其基本应用.

3.掌握等差中项的概念;

4.了解等差数列与一次函数的关系.

5.掌握等差数列的判断方法。

推导出公式：dmnaa

mn

)(

以学习小组为单位，在学习小

组中，各自归纳自己对这堂课

的收获，后由小组代表总结归

纳。

学生自己小

结，使学生对

自己所学知

识有更深刻

的认识。

作业

设计

必做题：课本习题第2，6题

选做题：已知等差数列{an}的首项=

-24，从第10项开始为正数，求公差

d的取值范围。（目的：通过分层作

业，提高同学们的求知欲和满足不同

作业是课堂

的延续，除了

检验学生对

本节课知识

的理解程度，

还在于引导

学生对本课

层次的学生需求）知识的进一

步探究思考。

七、教学反思

本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并

在此基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、

推理的能力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理

性的认识过程。

八、板书设计

板书设计

§2.2等差数列

1、定义

2、数学表达式

3、等差数列的通项公式

例题讲解（略）

练习：