奇排列

第一讲

Ⅰ授课题目（章节）：

§1.1二阶、三阶行列式；

§1.2n阶行列式

Ⅱ教学目的与要求：

理解排列的概念，以及逆序数的计算方法；

了解行列式的定义和性质，会用行列式的定义及性质计算一些较简单的行列式；

掌握二、三阶行列式的计算法；

Ⅲ教学重点与难点：

重点：n阶行列式的定义

难点：n阶行列式的定义

Ⅳ讲授内容：

§1.1二阶、三阶行列式

一、二元线性方程组与二阶行列式

二元一次方程组的代入消元解法：











)2.....(

)1.....(

22221

11211

byaxa

byaxa

1211

aa、不可能同时为0，不妨设0

11

a，则：

)()1(

11

21

a

a



得：

)3.........(

11

211

11

2112

21a

ab

y

a

aa

xa

)3()2(得（消去

x

）：

11

211112

11

21122211

a

abab

y

a

aaaa





即：

)4(..........

21122211

211211

aaaa

abba

y







将(4)代入(1)得：

21122211

212221

aaaa

baab

x







可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数

22211211

,,,aaaa以及常数项

21

,bb表示出来



























21122211

211211

21122211

212221

aaaa

abba

y

aaaa

baab

x

，

如果规定记号

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa

，则有：

222

121

212221ab

ab

baab

，

221

111

211211ba

ba

abba

因此二元一次方程组的解可以表示为：































2221

1211

221

111

2221

1211

222

121

aa

aa

ba

ba

y

aa

aa

ab

ab

x

定义1.1记号

2221

1211

aa

aa

表示代数和

21122211

aaaa，称为二阶行列式。即：

21122211

2221

1211aaaa

aa

aa



说明（1）：行列式中的元素用小写英文字母表示，下标的两个数据表示该元素所在的

行和列，分别叫行标和列标。一般行列式中位于第i行第j列的元素记为

ij

a

，比如

21

a

是指位于第二行第一列的元素。

说明（2）：二阶行列式表示的代数和，可以用画线（图1-1）

的方法记忆，即实线连接的两个元素的乘积减去虚线连接

的两个元素的乘积。

例1计算下列行列式的值

（1）

43

21

（2）

20

01

（3）

30

12

解：（1）23241

43

21



（2）20021

20

01





（3）60)1(32

30

12





由于解三元线性方程组的需要，可以类似地定义三阶行列式。

定义1.2记号

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

表示代数和：

332211

aaa

312312

aaa

322113

aaa

312213

aaa

332112

aaa

322311

aaa

称为三阶行列式，即：

333231

232221

131211

aaa

aaa

aaa

=

332211

aaa

312312

aaa

322113

aaa

312213

aaa

332112

aaa

322311

aaa

说明：三阶行列式可以用画线的方法记

忆。如图1-2，其中各实线（主对角线方

向）连接的三个元素的乘积是代数和中的

正项，各虚线（副对角线方向）连接的三

个元素的乘积是代数和中的负项。

例2计算下列三阶行列式

243

122

421







解：

243

122

421







=)4(4)2()3(12)2(21

411)2()2(2)3(2)4(

=14482432)6()4(

有了二阶、三阶行列式的定义，自然要考虑一般的n阶行列式的计算方法。为了

给n阶行列式下定义，首先需要了解有关排列与逆序的知识。

§1.2n阶行列式

一、排列与逆序

1．排列

定义1.3由n......,,2,1这n个不同数码组成的有序数组

n

iii....

21

称为一个n级排列。

例如：1234，2314都是4级排列；341562是6级排列；而1235，3231不是排列

2．逆序与逆序数

定义1.4在一个n级排列中，若一个较大的数排在较小的数左边，则称这一对数字

为一个逆序；一个排列中逆序的总个数称为排列的逆序数，排列

n

iii....

21

的逆序数为

k记作：

kiiiN

n

)....(

21

例33级排列132中（32）是一个逆序，1)132(N；

3级排列312中（31），（32）都是逆序，2)312(N；

例4自然排列n.....231中没有逆序，0).....231(nN；

排列321.....)1(nn中任意两个数都是逆序，

2

)1(

)321.....(2





nn

CnN

n

例5求362154的逆序数

解（方法：从左至右依次计算每个数码后比它小的数码个数，再求和）

362154其中3后面有2个比3小的数；6后面有4个比它小的数；2后面有1

个比它小的数；1后面没有比它小的数；5后面有1个比它小的数；4后面没有数。

810142)362154(N

8)362154(N

例6ji421是一个5级别排列，试确定ji,的值及其逆序数。

解由于是5级排列，因此ji,可以取3或5

若











5

3

j

i

，则排列为21345，1)21345(N

若











3

5

j

i

，则排列为21543，4)21543(N

3．排列的奇偶性

定义1.5若排列的排列

n

iii....

21

的逆序数为k，即

kiiiN

n

)....(

21

，则k为奇数时称

排列

n

iii....

21

为奇排列；k为偶数时称排列

n

iii....

21

为偶排列。

比如：三级排列共有3！=6个，其中奇排列有：132，213，321；偶排列有123，231，

312；奇、偶排列各占一半。

定义1.6互换n级排列

nts

iiiii..........

21

中两个数

s

i与

t

i的位置，称为一个对换，记作

),(

ts

ii

.

比如：42313241)4,3(，对换前4)3241(N，3241是偶排列；对换后5)4231(N，

4231是奇排列

定理1.1对换改变排列的奇偶性。

略证：（1）首先看对换两个相邻数的情形：

AjiBAijBji),(

此时，新排列比原排列增加了一个逆序（i

所以它们的奇偶性相反

（2）再看不相邻数对换的情况：

iBkkAjkjBkkAik

s

ji

s

......

21

),(

21



新排列也可以通过原排列作如下的对换得到：

iBkkAjk

skjj

jiBkkAk

sji

jBkkAik

s

s

s

...

...

)1(

...

21

1

21

21

次相邻数的对换）之前，经过在直到依次与前面的数交换，（

次相邻数的对换交换，经过，直到与依次与后面的数字交换





这样，

jBkkAik

s

...

21

总计经过2s+1次相邻数的对换可以得到

iBkkAjk

s

...

21

，由

（1）可知奇偶性必然改变

综上所述，对换排列中的任意两个数字，排列的奇偶性改变。

注对换改变排列的奇偶性，但是对换前后的排列的逆序数不一定是相邻的两个数。

如：42313241)4,3(，4)3241(N，5)4231(N

而2154321345)5,3(，1)21345(N，4)21543(N

例7已知1234是偶排列，试判断下列排列的奇偶性：

（1）1324（2）4231（3）1342

解（1）13241234)3,2(，所以1324是奇排列

（2）42311234)4,1(，所以4231是奇排列

（3）4)4,2()3,2(，所以1342是偶排列

定理1.2n级排列共n!个，其中奇、偶排列各占一半。

证明n个不同的数共有n!种排列方法，因此n级排列共n!个

设有p个奇排列，q个偶排列，则!nqp

由于对换改变排列的奇偶性，

对p个奇排列的每一个都进行一次对换，至多可以得到p个不同的偶排列，而

由假设偶排列共有q个，因此qp.

同样，对q个偶排列的每一个都进行一次对换，至多可以得到q个不同的奇排

列，而由假设奇排列共有p个，因此pq.

综上所述，p=q，又!nqp，

2

!n

qp

即n级排列共n!个，其中奇、偶排列各占一半。

二、n阶行列式

n阶行列式的计算规律可以从二阶、三阶行列式的定义中体现出来，为了掌握n

阶行列式的计算，有必要从下面三个方面来剖析n阶行列式：

1．项数：n阶行列式共有n!项，n阶行列式的值是它的n!项的代数和；

2．每一项的结构：n阶行列式的每一项都是n个数码的乘积，这n个数码是取自n

阶行列式的不同行不同列的。

因此n阶行列式的一项，将每一数码的行标全部取出来，对应一个n级排列（数

码来自n个不同的行）；将每一数码的列标全部取出来，也对应一个n级排列（数码

来自不同的列）。比如二阶行列式中的一项

1122

aa，行标排列21，列标排列21；此项

也可以写作

2211

aa，此时行标是自然排列12，列标排列是12。再如，三阶行列式中

的一项

233112

aaa

，行标排列132，列标排列213；也可以将此项按行标或列标自然排

列来书写

312312

aaa（按行标自然排列），此时列标排列为231；

231231

aaa（按列标自

然排列），此时行标排列为312。

注意：n阶行列式的一项是行列式中n个元素的乘积，但是，并不是随意从n阶行列

式中抽出n个元素将它们相乘都是n阶行列式的一项。如果这n个元素的行标或列标

不是n级排列，则可以断定不是行列式的一项。

例8判断下列乘积是否4阶行列式的一项：

（1）

442311

aaa（2）

44322311

aaaa（3）

44332212

aaaa

解：（1）由于4阶行列式的一项有4个元素组成，而这里只有3个元素，所以不是

（2）是

（3）其行标取出为1234，列标取出为2234（不是4级排列），从列标可知有两个元

素都是取自第二列的，因此不是4阶行列式的项。

3．项的符号：n阶行列式的项，在行标自然排序下，列标为偶排列的取正号，列标

为奇排列的取负号。即

n

njjj

aaa...

21

21

的符号为)...(

21)1(n

jjjN

例9试确定4阶行列式中下列项的符号

（1）

44322311

aaaa

（2）

41243213

aaaa

解（1）

44322311

aaaa

的符号为

1)1()1(1)1324(N，负号；

（2）

41243213

aaaa

即是

41322413

aaaa

，因而符号为

1)1()1(5)3421(N，负号

定理1.3当行列式的一项书写为

nn

jijiji

aaa...

2211

时，其符号为)...()...(

2121)1(nn

jjjNiiiN

例10已知

42133425ki

aaaaa

是5阶行列式的一项，试问i，k应该取何值？并确定项

的符号。

解由于行列式中的元素取自不同行不同列，所以

将行标取出5432k应是一个5级排列，k=1；

将列标取出i2314应是一个5级排列，i=5

该项的符号为

1)1()1(610)52314()54321(NN正号

定义1.7用2n个元素组成的记号

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

称作n阶行列式，简记为

||

ijn

aD，其值为

nnnn

n

n

aaa

aaa

aaa

...

............

...

...

21

22221

11211

n

n

n

njjj

jjjN

n

jjj

aaa...)1(

21

21

21

21

)...(

...



级排列取遍所有

其中，

n

n

njjj

jjjNaaa...)1(

21

21

21

)...(称为该行列式的一般项。

特别地，一阶行列式

1111

||aa.

注按照行列式的定义计算行列式的值，计算量很大；但是如果行列式中的元素有很多

是数0时，必然包含0元的项为0，只需找出非零项计算即可。

例11用行列式的定义计算下列行列式的值：

（1）

nn

a

a

a

...00

............

0...0

0...0

22

11

（称为对角行列式）

解此行列式只有一项可能非零，该项为

nn

nNaaa...)1(

2211

)...12(

原式=

nn

nNaaa...)1(

2211

)...12(

=

nn

aaa...

2211

（2）

nn

n

n

a

aa

aaa

...00

............

...0

...

222

11211

（称为上三角行列式）

解按照不同行不同列来取元素，也只有一项可能非零，该项为

nn

nNaaa...)1(

2211

)...12(

原式=

nn

aaa...

2211

同理，

nnnn

aaa

aa

a

...

............

0...

0...0

21

2221

11

（下三角行列式）=

nn

aaa...

2211

（3）

0004

0030

0200

1000

解只有一项非零

原式=

4321)1()4321(N=4321)1(2

4C=24

（4）

1100

0010

0101

1010

解按照行列式的定义，每一行（列）只能取一个元素。

其第三行只有位于第二列的元素不为零，划去第三行以及第二列的元素，剩下的

第一列只有位于第二行的元素不为零；再划去第一列以及第二行，剩下的第二列只有

一个非零元位于第一行；划去第一行以及第二列后，只剩下第四行第四列一个元素，

它不为零。分析得到，此行列式只有一个非零项，此项中的元素如下划横线的元素

1100

0010

0101

1010

=1111)1()4123(N=1

（5）

5554

4544

3534

2524232221

1514131211

000

000

000

aa

aa

aa

aaaaa

aaaaa

解按照行列式的定义，其一般项是n个取自不同行不同列的元素的乘积，在其任意

一个一般项中包含每一行的一个元素，每一列的一个元素。

而本题的行列式前三列由于只有两行非零元，从这三列的不同行取出三个元素必

然有至少一个为0。因而该行列式的每一个一般项中至少有一个0，该行列式的值等

于0

原式=0

Ⅴ小结与提问：

小结：

1．二阶、三阶行列式（可以用画线法计算）

2．排列与逆序

3．n阶行列式的定义

提问：

4阶行列式可否用画线的方法来计算？（答案：不能）

Ⅵ课外作业：

11,10,9,8,7,6,5,4,3,2,13837）习题一（A

P

