高考乙卷

2021年高考数学（文科）真题试卷（全国乙卷）

一、选择题

（每小题5分，共60分）

1.已知全集，集合，则（）

A.B.

C.D.

2.设，则（）

A.B.

C.D.

3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）

A.B.

C.

D.

4.函数的最小正周期和最大值分别是（）

A.和

B.和2

C.和

D.和2

5.若满足约束条件则的最小值为（）

A.18B.10

C.6D.4

6.（）

A.

B.

C.D.

7.在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为（）

A.B.

C.D.

8.下列函数中最小值为4的是（）

1/12

A.

B.

C.

D.

9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）

A.B.

C.D.

10.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）

A.B.

C.D.

11.设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）

A.

B.

C.

D.2

12.设，若为函数的极大值点，则（）

A.B.

C.D.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13.已知向量，若，则_______________．

14.双曲线的右焦点到直线的距离为_______________．

15.记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则

_______________．

16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图

，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_______________（写出符合要求的一组答案即可）．

2/12

三、解答题．共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17～21题为必

考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．

（一）必考题：共60分．

17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设

备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：

旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7

新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5

旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．

（1）求，，，；

（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认

为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．

18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若，求四棱锥的体积．

19.设是首项为1的等比数列，数列满足．已知，，成等差数列．

（1）求和的通项公式；

（2）记和分别为和的前n项和．证明：．

3/12

20.已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．

（1）求C的方程;

（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.

21.已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．

（二）选考题:共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做．则按所做

的第一题计分．[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．

（1）写出的一个参数方程;

（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这

两条切线的极坐标方程．

[选修4—5:不等式选讲]

23.已知函数．

（1）当时，求不等式的解集;

（2）若，求a的取值范围．

参考答案

1.A 解析：

首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.

由题意可得：，则.

故选：A.

2.C 解析：

由题意结合复数的运算法则即可求得z的值.

由题意可得：.

故选：C.

3.A

解析：由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定

正确选项.

4/12

由于，所以命题为真命题；

由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；

所以为真命题，、、为假命题.

故选：A．

4.C

解析：利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

由题，，所以的最小正周期

为，最大值为.

故选：C．

5.C

解析：由题意作出可行域，变换目标函数为，数形结合即可得解.

由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，

由可得点,

转换目标函数为，

上下平移直线，数形结合可得当直线过点时,取最小值，

此时.

故选：C.

6.D 解析：

由题意结合诱导公式可得，再由二倍角公式即可得解.

由题意，

.

故选：D.

7.B

解析：根据几何概型的概率公式即可求出.

设“区间随机取1个数”，对应集合为：，区间长度为，

“取到的数小于”，对应集合为：，区间长度为，

所以．

故选：B．

5/12

本题解题关键是明确事件“取到的数小于”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求

出．

8.C

解析：根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即

可得出不符合题意，符合题意．

对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不

符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号

取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即

时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当

，，D不符合题意．

故选：C．

本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的

性质即可解出．

9.B

解析：分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.

由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.

10.D

解析：平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可

.

如图，连接，因为∥，

所以或其补角为直线与所成的角，

因为平面，所以，又，，

6/12

所以平面，所以，">

设正方体棱长为2，则">BC1=22,PC1=12D1B1=2，

">sin∠PBC1=PC1BC1=12，所以">∠PBC1=π6.

故选：D

11.A

解析：设点，由依题意可知，，，再根据两点间的距离公式得到

，然后消元，即可利用二次函数的性质求出最大值．

设点，因为，，所以

，

而，所以当时，的最大值为．

故选：A．

本题解题关键是熟悉椭圆的简单几何性质，由两点间的距离公式，并利用消元思想以及二次函数的

性质即可解出．易错点是容易误认为短轴的相对端点是椭圆上到上定点B最远的点，或者认为是椭圆

的长轴的端点到短轴的端点距离最大，这些认识是错误的，要注意将距离的平方表示为二次函数后

，自变量的取值范围是一个闭区间，而不是全体实数上求最值.．

12.D 解析：

先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类

讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.

若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依

题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

7/12

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

13. 解析：

利用向量平行的充分必要条件得到关于的方程，解方程即可求得实数的值.

由题意结合向量平行的充分必要条件可得：，

解方程可得：.

故答案为：.

14.

解析：先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.

由已知，，所以双曲线的右焦点为，

所以右焦点到直线的距离为.

故答案为：

15. 解析：

由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.

由题意，，

所以，

所以，解得（负值舍去）.

故答案为：.

16.③④（答案不唯一） 解析：

由题意结合所给的图形确定一组三视图的组合即可.

选择侧视图为③，俯视图为④，

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如图所示，长方体中，，

分别为棱的中点，

则正视图①，侧视图③，俯视图④对应的几何体为三棱锥.

故答案为：③④.

17.（1）；（2）新设备生产产品的该项指标的均值较旧设

备有显著提高.

解析：（1）根据平均数和方差的计算方法，计算出平均数和方差.

（2）根据题目所给判断依据，结合（1）的结论进行判断.

（1），

，

，

.

（2）依题意，，，

，所以新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高.

18.（1）证明见解析；（2）．

解析：（1）由底面可得，又，由线面垂直的判定定理可得

平面，再根据面面垂直的判定定理即可证出平面平面；

（2）由（1）可知，，由平面知识可知，，由相似比可求出，再

根据四棱锥的体积公式即可求出．

（1）因为底面，平面，

所以，

又，，

所以平面，

而平面，

所以平面平面．

（2）由（1）可知，平面，所以，

从而，设，，

则，即，解得，所以．

9/12

因为底面，

故四棱锥的体积为．

19.（1），；（2）证明见解析.

解析：利用等差数列的性质及得到，解方程即可；

利用公式法、错位相减法分别求出，再作差比较即可.

因为是首项为1的等比数列且，，成等差数列，

所以，所以，

即，解得，所以，

所以.

（2）证明：由（1）可得，

，①

，②

①②得，

所以，

所以，

所以.

20.（1）；（2）最大值为. 解析：

（1）由抛物线焦点与准线的距离即可得解；

（2）设，由平面向量的知识可得，进而可得，再由斜率公

式及基本不等式即可得解.

（1）抛物线的焦点，准线方程为，

由题意，该抛物线焦点到准线的距离为，

所以该抛物线的方程为；

（2）设，则，

所以，

由在抛物线上可得，即，

所以直线的斜率，

当时，；

当时，，

当时，因为，

此时，当且仅当，即时，等号成立；

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当时，；

综上，直线的斜率的最大值为.

21.(1)答案见解析；(2)和.

解析：(1)首先求得导函数的解析式，然后分类讨论导函数的符号即可确定原函数的单调性；

(2)首先求得导数过坐标原点的切线方程，然后将原问题转化为方程求解的问题，据此即可求得公共

点坐标.

(1)由函数的解析式可得：，

导函数的判别式，

当时，在R上单调递增，

当时，的解为：，

当时，单调递增；

当时，单调递减；

当时，单调递增；

综上可得：当时，在R上单调递增，

当时，在，上

单调递增，在上单调递减.

(2)由题意可得：，，

则切线方程为：，

切线过坐标原点，则：,

整理可得：，即：，

解得：，则，

切线方程为：,

与联立得，

化简得,由于切点的横坐标1必然是该方程的一个根，是的

一个因式，∴该方程可以分解因式为

解得,

，

综上，曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和.

22.（1），（为参数）；（2）或

.

解析：（1）直接利用圆心及半径可得的圆的参数方程；

（2）先求得过（4，1）的圆的切线方程，再利用极坐标与直角坐标互化公式化简即可.

（1）由题意，的普通方程为，

所以的参数方程为

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，（为参数）

（2）由题意，切线的斜率一定存在，设切线方程为，即，

由圆心到直线的距离等于1可得，

解得，所以切线方程为或，

将，代入化简得

或

23.（1）.（2）.

解析：（1）利用绝对值的几何意义求得不等式的解集.

（2）利用绝对值不等式化简，由此求得的取值范围.

（1）当时，，表示数轴上的点到和的距离之

和，

则表示数轴上的点到和的距离之和不小于，

当或时所对应的数轴上的点到所对应的点距离之和等于6，

∴数轴上到所对应的点距离之和等于大于等于6得到所对应的坐标的范围是或，

所以的解集为.

（2）依题意，即恒成立，

，

当且仅当时取等号，,

故，

所以或，

解得.

所以的取值范围是.

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