log2x

对数函数练习题

(满分：90分)

一、填空题(每小题6分，共48分)

1．设2

1

(),0,,log,0,1

2

xMyyxNyyxx









，则集合MN＝________.

2．设2

21

2

log,log,abc，则,,abc的大小关系是________．

3．函数2()ln(43)fxxx的单调递减区间是________．

4．函数

1

()ln(2)

1

ax

fxa

ax







为奇函数，则实数

a

________．

5．已知函数()log(0,1)x

a

fxaxaa在1,2上的最大值与最小值之和为log26

a

，则a的

值为________．

6．若函数

2

1

2

log,0

()

log(),0

xx

fx

xx

















，若()()fafa，则实数

a

的取值范围为______________．

7．对任意实数,ab，定义运算“*”：

()

*

()

aab

ab

bab













，则函数

12

2

()log(32)*logfxxx的值域

为________．

8．下列命题：

①若函数2lg()yxxa为奇函数，则1a；

②若0a，则方程lg0xa有两个不相等的实根；

③方程lgsinxx有且只有三个实数根；

④对于函数()lgfxx，若

12

0xx，则1212

()()

()

22

xxfxfx

f



.

以上命题为真命题的是________．(将所有真命题的序号填在横线上)

二、解答题(共42分)

9．(14分)已知

3

()2log,1,9fxxx，求22()()yfxfx的最大值及y取最大值时

x

的值．

10．(14分)已知函数()log(1)log(1),0

aa

fxxxa且1a.

(1)求()fx的定义域；

(2)判断()fx的奇偶性并予以证明；

(3)若1a时，求使()0fx的x的解集．

11．(14分)已知函数()lg()(10)xxfxabab．

(1)求()fx的定义域；

(2)在函数()fx的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x轴；

(3)当,ab满足什么条件时，()fx在1,上恒取正值．

五、参考答案

二、知识梳理

1．ab＝N(a>0，且a≠1)b＝log

a

NaN2.(1)①N②0③N④1(2)①

log

c

N

log

c

a

②log

a

d

(3)①log

a

M＋log

a

N②log

a

M－log

a

N③nlog

a

M3.(1)(0，＋∞)(2)R(3)(1,0)10(4)y>0y<0

(5)y<0y>0

(6)增(7)减4.y＝log

a

xy＝x

三、题型突破

例1解题导引在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，

使幂的底数最简，然后再运用对数运算法则化简合并，在运算中要注意化同底和指数与对数互化．

解(1)原式=22lg52lg2lg5(lg4lg5)lg222lg5(2lg2lg5)lg2

22222lg2lg5lg5lg22(lg2lg5)3

(2)原式＝log

3

4－log

3

32

9

＋log

3

8－3＝log

3

(4×

9

32

×8)－3＝log

3

9－3＝2－3＝－1．

变式迁移1解(1)原式＝lg2·(lg2＋lg50)＋lg25＝21g2＋lg25＝lg100＝2.

（2）原式＝









lg2

lg3

＋

lg2

lg9







lg3

lg4

＋

lg3

lg8

＝









lg2

lg3

＋

lg2

2lg3







lg3

2lg2

＋

lg3

3lg2

＝

3lg2

2lg3

·

5lg3

6lg2

＝

5

4

.

例2解题导引比较对数式的大小或证明等式问题是对数中常见题型，解决此类问题的方法很多，

①当底数相同时，可直接利用对数函数的单调性比较；②若底数不同，真数相同，可转化为同底(利用换

底公式)或利用对数函数图象，数形结合解得；③若不同底，不同真数，则可利用中间量进行比较．

解(1)∵log

3

2

3

3

1＝0，

而log

5

6

5

>log

5

1＝0，∴log

3

2

3

5

6

5

.

(2)方法一∵0<0.7<1,1.1<1.2，

∴0>log

0.7

1.1>log

0.7

1.2.

∴

1

log

0.7

1.1

<

1

log

0.7

1.2

，

由换底公式可得log

1.1

0.7

1.2

0.7.

方法二作出y＝log

1.1

x与y＝log

1.2

x的图象，

如图所示，两图象与x＝0.7相交可知log

1.1

0.7

1.2

0.7.

(3)∵y＝

1

2

logx为减函数，

且

111

222

logloglogbac，∴b>a>c.

而y＝2x是增函数，∴2b>2a>2c.

变式迁移2c>a>b

解析0

1

32

<20＝1，b＝log

2

1

3

2

1＝0，c＝log

1

2

1

3

>log

1

2

1

2

＝1，

即01，所以c>a>b.

例3解题导引本题属于函数恒成立问题，即对于x∈[

1

3

，2]时，|f(x)|恒小于等于1，恒成立问题一

般有两种思路：一是利用图象转化为最值问题；二是利用单调性转化为最值问题．由于本题底数a为参数，

需对a分类讨论．

解∵f(x)＝log

a

x，

则y＝|f(x)|的图象如图．

由图示，要使x∈[

1

3

，2]时恒有|f(x)|≤1，

只需|f(

1

3

)|≤1，

即－1≤log

a

1

3

≤1，

即log

a

a－

1≤log

a

1

3

≤log

a

a，

亦当a>1时，得a－

1≤

1

3

≤a，即a≥3；

当0

1≥

1

3

≥a，得0

1

3

.

综上所述，a的取值范围是(0，

1

3

]∪[3，＋∞)．

变式迁移3(1)(3，＋∞)(2)<

解析(1)画出函数f(x)＝|lgx|的图象如图所示．

∵01，

∴lga<0，lgb>0.

又∵f(a)＝f(b)，

∴－lga＝lgb，ab＝1.

∴a＋2b＝a＋

2

a

，

易证μ＝a＋

2

a

在(0,1)上单调递减，∴μ>3.

即a＋2b>3.

(2)∵f(x)＝log

a

|x|在(0，＋∞)上单调递增，

∴a>1.∴a＋1>2.

∵f(x)是偶函数，∴f(－2)＝f(2)

四、针对训练

1．(－∞，1]

解析∵x≥0，∴y＝(

1

2

)x∈(0,1]，∴M＝(0,1]．

当0

2

x∈(－∞，0]，即N＝(－∞，0]．∴M∪N＝(－∞，1]．

2．a>c>b

解析∵a＝log

2

π>1，b＝log

1

2

π<0,0

1

π2<1∴b

3．[

3

2

，4)

解析y＝lnt是单调递增函数，则只需研究函数t＝4＋3x－x2的单调递减区间，并注意t>0的限制．t

＝4＋3x－x2的单调递减区间为[

3

2

，＋∞)，当x≥4时，t≤0，所以区间[

3

2

，4)符合题意．

4．－2

解析依题意有f(－x)＋f(x)＝ln

1－ax

1－2x

＋ln

1＋ax

1＋2x

＝0，

即

1－ax

1－2x

·

1＋ax

1＋2x

＝1，故1－a2x2＝1－4x2，

所以a2＝4，又a≠2，故a＝－2.

5．2

解析当x>0时，函数ax，log

a

x的单调性相同，因此函数f(x)＝ax＋log

a

x是(0，＋∞)上的单调函数，

f(x)在[1,2]上的最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a2＋a＋log

a

2，由题意得a2＋a＋log

a

2＝6＋log

a

2.即a2＋a

－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)．

6．(－1,0)∪(1，＋∞)

解析①当a>0时，f(a)＝log

2

a，f(－a)＝

1

2

loga，

f(a)>f(－a)，即log

2

a>

1

2

loga＝log

2

1

a

，

∴a>

1

a

，解得a>1.

②当a<0时，f(a)＝

1

2

log()a，f(－a)＝log

2

(－a)，

f(a)>f(－a)，即

1

2

log()a>log

2

(－a)＝

1

2

1

log

a

，

∴－a<

1

－a

，解得－11.

7．(－∞，0]

解析在同一直角坐标系中画出y＝log

1

2

(3x－2)和y＝log

2

x两个函数的图象，

由图象可得

f(x)＝









log

2

x(0

log

1

2

(3x－2)(x>1)

，值域为(－∞，0]．

8．①②③

解析①∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＋f(x)＝0.

∴lg(－x＋x2＋a)＋lg(x＋x2＋a)＝lg[(x

2

＋a)－x

2]＝lga＝0，∴a＝1.

②|lgx|－a＝0，∴|lgx|＝a.

作出y＝|lgx|，y＝a的图象可知，当a>0时有两个交点．

∴方程有两个不等实根．

③作出y＝lgx，y＝sinx的图象，

可知在y轴右侧有三个交点．

故方程有三个实根．

④对于f(x)＝lgx，如图，当0

1

2

时，应有y

A

>y

B

，即f(

x

1

＋x

2

2

)>

fx

1

＋fx

2



2

.

9．解∵f(x)＝2＋log

3

x，

∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log

3

x)2＋2＋log

3

x2

＝log2

3

x＋6log

3

x＋6＝(log

3

x＋3)2－3.……………………………………………………(5分)

∵函数f(x)的定义域为[1,9]，

∴要使函数y＝[f(x)]2＋f(x2)有意义，必须











1≤x2≤9，

1≤x≤9，

∴1≤x≤3，∴0≤log

3

x≤1，

……………………………………………………………………………………………(10分)

∴6≤(log

3

x＋3)2－3≤13.

当log

3

x＝1，即x＝3时，y

max

＝13.

∴当x＝3时，函数y＝[f(x)]2＋f(x2)取最大值13.……………………………………(14分)

10．解(1)f(x)＝log

a

(x＋1)－log

a

(1－x)，则











x＋1>0，

1－x>0，

解得－1

故所求函数f(x)的定义域为{x|－1

(2)由(1)知f(x)的定义域为{x|－1

且f(－x)＝log

a

(－x＋1)－log

a

(1＋x)

＝－[log

a

(x＋1)－log

a

(1－x)]

＝－f(x)，故f(x)为奇函数．………………………………………………………………(9分)

(3)因为当a>1时，f(x)在定义域{x|－10⇔

x＋1

1－x

>1.

解得00的x的解集是{x|0

11．解(1)由ax－bx>0，得(

a

b

)x>1，且a>1>b>0，得

a

b

>1，所以x>0，即f(x)的定义域为(0，＋

∞)．……………………………………………………………………………………(4分)

(2)任取x

1

>x

2

>0，a>1>b>0，则ax

1

>ax

2

>0，bx

1

2

，所以ax

1

－bx

1

>ax

2

－bx

2

>0，

即lg(ax

1

－bx

1

)>lg(ax

2

－bx

2

)．

故f(x

1

)>f(x

2

)．

所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．………………………………………………………(8分)

假设函数y＝f(x)的图象上存在不同的两点A(x

1

，y

1

)、B(x

2

，y

2

)，使直线平行于x轴，则x

1

≠x

2

，y

1

＝

y

2

，这与f(x)是增函数矛盾．

故函数y＝f(x)的图象上不存在不同的两点使过两点的直线平行于x轴．…………(10分)

(3)因为f(x)是增函数，所以当x∈(1，＋∞)时，f(x)>f(1)．这样只需f(1)＝lg(a－b)≥0，即当a≥b＋1时，

f(x)在(1，＋∞)上恒取正值．……………………………………………………(14分)