递增数列

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-1-

数列的概念与简单表示法

学习目标：（1）了解数列的概念

（2）了解数列是一种特殊函数

重点：了解数列的概念和简单表示法，了解数列是一种特殊函数，体会数列是反映自然规律的数学模型

难点：将数列作为一种特殊函数去认识，了解数列与函数之间的关系

自主预习：

问题1：数列的定义：按照排列起来的一列数叫做数列。

问题2：（1）数列的表示：数列的一般形式可以写成,,,,,

321n

aaaa，其中

n

a是数列的第n项，叫

做，常把一般形式的数列简记作。

（2）数列与函数：如果数列的第n项

n

a与n之间的关系可以用一个来表示，那么这个式

子就叫做这个数列的通项公式，数列可以看作一定义域为的函数。它的图象是相应的曲线上

的一群孤立的点。

（3）数列的分类：①数列按项数可以分为和，项数的数列叫做

有穷数列，项数的数列叫做无穷数列；②按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数

列、常数列和摆动数列。从第二项起，每一项它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每

一项它的前一项的数列，叫做递减数列；各项都的数列叫做常数列；前一项和后一项的大

小关系不一样的数列叫做摆动数列。

问题3：递推公式：如果已知数列的第1项（或前几项）且从第二项（或某一项）开始的任一项

n

a与它的前

一项

1n

a间的关系，可以用一个表示，那么这个式子就叫做这个数列的递推公式。

问题4：

1、在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55，„中x的值为（）

A．19B．20C．21D．22

2、在数列

n

a中，若naaa

nn



22

,3，则

8

a等于（）

A．11B．13C．15D．17

3、已知数列

n

a满足

2

1

,01

1



n

n

a

a

a，则

n

a是（）

A．递增数列B．递减数列

C．摆动数列D．常数列

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-2-

课内探究

例1．下面的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？

（1）全体自然数构成数列0，1，2，3，4，„

（2）1996～2002年某市普通高中生人数（单位：万人）构成数列82，93，105，119，129，130，132．

（3）无穷多个3构成数列3，3，3，3，„

（4）目前通用的人民币面额按从大到小的顺序构成数列（单位：元）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，

0.1，0.05，0.02，0.01。

（5）—1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，„构成数列—1，1，—1，1，„

（6）2的精确到1，0.1，0.01，0.001，„，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列

1，1.4，1.41，1.414，„

2，1.5，1.42，1.415，„

11

34

111

233445







例2写出下面数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：

（1）1，2，3，4；

（2）2，0，2，0；

1

（3）1，-，，；

2

1

（4）-，，；

12，

（5）9，99，999，9999.

以上数列还有其它表示方法吗？

例3图中的三角形称为谢宾斯基三角形，在下图四个三角形中，白色的三角形的个

数依次构成一个数列的前4项，请写出这个数列的一个通项公式。在直角坐标系中画

出它的图象。

(4)

(3)

(2)

(1)

nn4n-1

4{a}a31,aan例已知数列的通项公式为求及

例5已知无穷数列1×2，2×3，3×4，„，n×)1(n，„，判断420与421是否为该数列中的项，若是应

为第几项？

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-3-

课后作业

1.,.

(1)1,3,___,7,___,11,

(2)___,4,9,___,25,____,49;

1111

(3),_____,,,_____,;

12344567

(4)2,0,2,0,___,0,___,







观察下列数列的特点用适当的数填空

199

{},{}

2100nnn

n

aa

n







2.数列中，a问是否是数列中的项？

3.写出下列数列的通项公式。

(1)2,4,8,16,(4)0,3,8,15,

(2)2,6,12,20,(5)3,5,9,17,

4142

(3)1,-3,6,-10,(6)2,-,,-,

52117

4、已知数列

n

a的通项公式为

12

2





n

n

a

n

，判断0.7是否为数列

n

a中的项，若是应为第几项？

5、教材31页1，4，33页1，2，3

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-4-

课内探究

例1、设数列

n

a满足

















1

)1(

1

1

1

1

a

n

a

a

n

n

，写出这个数列的前5项。

例2、已知数列

n

a满足12,1

11



nn

aaa，写出该数列前五项及它的一个通项公式；

例3、已知数列

n

a的通项)()

11

10

))(1(Nnnan

n

，数列

n

a有没有最大项？若有，求最大项和最大

项的项数；若没有，说明理由。

例4、已知数列

n

a中，

123nn

Saaaa，若2

n

Snn，求数列

n

a的通项公式；

（2）若21

n

Snn，求数列

n

a的通项公式。

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-5-

课后作业

1、写出满足下列条件的数列的前4项，并归纳出通项公式。

（1）))(12(,0

11





Nnnaaa

nn

；

（2）)(3,3

11





Nnaaa

nn

2、求数列3922nn中的最大项。

3、已知数列

n

a满足)2(

)1(

1

,1

11









n

nn

aaa

nn

，写出该数列前五项及它的一个通项公式。

4、已知数列

n

a中，

123nn

Saaaa，若21

n

Snn，求数列

n

a的通项公式。

教材P34B组1、2、3

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-6-

等差数列

学习目标：（1）形成等差数列的概念

（2）理解等差数列性质

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体

会等差数列与一次函数之间的联系

难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法

自主预习：

问题1：观察下列数列，有何共同特征？

①051015，，，，„„

②48535863，，，

③1815.51310.585.5，，，，，

④

1135

2222

，，，，„„

⑤22222，，，，„„

问题2：

（1）等差数列的定义：一般的，如果一个数列从,每一项与它的前一项的等于常

数，那么这个数列就叫做数列。这个常数叫做等差数列的。常用字母

来表示。

（2）等差数列的通项公式：若等差数列{}

n

a的首项是

1

a，公差是

d

，则

n

a

若等差数列{}

n

a的第m项是

m

a，第n项是

n

a，则公差

d

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-7-

课内探究

例1、观察下列数列的特点．写出首项，公差，和他们的通项公式。

（1）1，3，5，7，9，„„

（2）2，0，-2，-4，-6，„„

（3）18，15.5，13，10.5，8„„

例2、（1）求等差数列8，5，2，„„的第20项。

（2）-401是不是等差数列-5，-9，-13„„的项？如果是，是第几项？

例3、在等差数列{}

n

a中，已知

512

10,31aa，求首项

1

a与公差

d

.

例4、某市出租车的计价标准为1.2元／km，起步价为10元，即最初的4km(不含4千米),计费10元。如

果某人乘坐该市的出租车去往14千米处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，需要支付多少车费？

例5、已知数列{}

n

a的通项公式为

n

apnq,其中

,pq

为常数，那么这个数列一定是等差数列吗？

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-8-

课后作业

１、

1525

{}10,31,

n

aaa

5

在等差数列中,a求

2、数列{},

n

a是等差数列

123

(1),0,(1)afxaafx,其中()fx24xx

2,

n

a求通项公式

3741

{}7,9,

n

aaaaa3、在等差数列中,求



11

2

1

,1,,

2

n

nn

nn

a

aaa

aa











4、数列中证明是等差数列

1

(1)n

a

nn



1n+1n

5、已知数列满足a=1,a求数列{a}的通项公式。

6、在直角坐标系中画出35()

n

annN的图像和35()yxxR的图像，说明他们之间的关系。

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-9-

等差数列

学习目标：（1）形成等差中项的概念

（2）理解等差数列性质

重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式，会用公式解决一些简单的问题，体

会等差数列与一次函数之间的联系

难点：概括通项公式推导过程中体现的数学思想方法

自主预习：

问题1、已知数列{}

n

a的通项公式为23

n

an，则

53

aa

62

aa

4

2a

你发现了什么规律？

问题2、

等差中项的定义：

问题3

{}

n

a是等差数列：

（1）

53

aa

62

aa成立吗？为什么？

（2）

537

2aaa吗？为什么？

（3）

11

2(1)

nnn

aaan



吗？

（4）(,,,)mnpqmnpqN则

mnpq

aaaa

吗？为什么？

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-10-

课内探究

例1、

3456728

{},450,_____

n

aaaaaaaa在等差数列中若那么

例2、已知等差数列{}

n

a和{}

n

b，若

11223737

1,3,10,ababab求

例3、

srrs

{},rs,rsrN*,sN*_____

n

aaaa



等差数列中若，（，）那么

例4、已知三个数成等差数列，其和为15，其平方和为83，求三个数。

例5、已知数列{}

n

a的通向公式为31,

n

annN

（1）写出

258

aaa，，

（2）给出新数列

258

aaa，，，的一个通项公式

（3）求偶数项构成的新数列的通项公式

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-11-

课后作业

1、在等差数列{}

n

a，若

38133813

12,60,{}

n

aaaaaaa求的通项公式

1591317315

{}117,

n

aaaaaaaa2、已知是等差数列，若求

471045614

3{}17,77

nk

aaaaaaaaak、等差数列中，，=13,求

4、已知等差数列{}

n

a中，若

351517

+8aaaa则

10

a等于____________.

5、求在正整数100至500之间能被11整除的个数

6、两个等差数列2，6，10，,190和2，8，14，，200这两个等差数列共

有多少相同的项？

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-12-

7、在(1000,2000)内能被3整除且被4除余1的整数共有多少个？

8、在等差数列{}

n

a中，

14

83,98,300500aa则这个数列有多少项在之间？

{}

n

a9、已知是等差数列，若在相邻两数之间插入三个数后，和原数列仍构成一个等差数列，

试问（1）原数列的第12项是新数列的第几项？

（2）新数列的第29项是原数列的第几项？

22

1

(2)(2)0

4

||.

xxmxxn

mn





10、已知方程的四个根组成一个首项为的等差数列，

求

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-13-

等差数列的前

n

项和

学习目标：推导等差数列的前n项和公式

重点：探索并掌握等差数列的前n项和公式

难点：等差数列的前n项和公式推导思路的获得

自主预习：

问题1：

等差数列的定义，通项公式、性质

问题2：

+2++4+

{}

n

an

1、高斯采用什么方法迅速算出了13+100的值.

2、如何得出等差数列前项和公式

问题3：

等差数列的前n项和公式

n

S(用首项和公差表示)

n

S(用首项和末项表示)

问题4：

1、数列{}

n

a是等差数列

1

12,ad，则

5

S

2、数列{}

n

a是等差数列

25

413,aa，则

8

S

3、数列{}

n

a是等差数列

53

103,SS，则

1

ad

4、数列{}

n

a是的前n项和22

n

Snn则

n

a；若221,

n

Snn则

n

a

5、数列{}

n

a是等差数列

28

66,aa，

n

S是数列{}

n

a是的前n项和，则（）

A、

45

SSB、

45

SSC、

65

SSD、

65

SS

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-14-

课内探究

例1、

n

a在等差数列中,根据下列各题条件求相应等差数列的有关未知数.

1）已知3,20,65,

nn

daS求n

2）已知113,

n

an求S.

n

3）已知

47

S20S56，，求S.

n

4）已知

11

1,a求

21;

S

例2、2000年11月14日教育部下发了《关于在中小学实施“校校通”工程的通知》某市据此提出了实施“校

校通”工程的总目标：从2001年起用10年的时间，在全市中小学建成不同标准的校园网，据测算，

2001年该市用于“校校通”工程的经费为500万元。为了保证工程的顺利实施，计划每年投入的资金

都比上一年增加50万元。那么从2001年起的未来10年内，该市“校校通”工程中的总投入是多少？

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-15-

例3、2

1

{},.

2nn

anSnn已知一个数列前项的和是求这个数列的通项公式，

这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？

例4、

nn

SSn

24

已知等差数列5,4,3,的前项和为，求使得最大的序号的值。

77

1

{}

n

aa

917,n

例5.已知数列等差数列，=25,s=s试问n为何值时数列的前n项和s

取得最大值？最大值是多少？

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-16-

自主巩固练习

1、等差数列{}

n

a中，

10

120S，那么

110

aa（）

A、12B、24C、36D、48

2、若等差数列{}

n

a是的前

5

项和

5

25S，且

2

3a，则

7

a

3、记等差数列{}

n

a的前n项和为

n

S，若

14

1

20

2

aS，,则

6

S

A、

16

B、

24

C、

36

D、

48

4、已知数列{}

n

a是等差数列

1278

428,aaaa，则该数列{}

n

a的前

10

项和

10

S

5、若公差

1399100

1

,60,

2

daaaS且则

6、在等差数列{}

n

a中，

1

200,2700aaaaaaa则

A、

1

22

2

B、

1

21

2

C、

1

20

2

D、

20

7、已知等差数列{}

n

a满足

2334

410,aaaa，则它的前10项和

10

S

A、

138

B、

135

C、

95

D、

23

8、在等差数列{}

n

a中，公差为

d

，已知

105

4SS，则1

a

d

等于（）

A、

1

2

B、

2

C、

1

4

D、

4

9、

1020

{}3050

nn

anSaa等差数列的前项和记作，已知，，

2)242

n

n

a

Sn

1)求通项

若，求

10、

1

{}500.6

n

aad等差数列中，，；

10

2n

n

a）从第几项开始有

）求此数列的前项和的最大值

11、在等差数列{}

n

a中，

1

13a，

311

SS,求

n

S的最大值

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-17-

12、

66

{}324,1446),

nnn

aSSSnn



等差数列中，=36，（求

13、

715

{}{}

nnn

aSanSS在等差数列中，为等差数列的前项和，已知=7，=75，

{}n

nn

S

TnT

n

为数列的前项和，求

14、已知等差数列{}

n

a中，

59

||||aa，公差

0d

，则使得前n项和S

n

取得最小值时的正整数n的值是

（）

A、4和5B、5和6C、6和7D、7和8

15、14710(34)(37)nn等于（）

A、

(38)

2

nn

B、

(2)(38)

2

nn

C、

(3)(38)

2

nn

D、

(31)

2

nn

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-18-

等差数列的前n项和（第二课时）

自主预习：

1、等差数列前n项和的公式(1)(2)

2、等差数列{}

n

a中，

123181920

2478aaaaaa，，则此数列前20项的和等于（）

A、160B、120C、200D、220

3、已知某等差数列共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为（）

A、2B、3C、4D、5

4、已知等差数列{}

n

a满足

123101

0aaaa，则有（）

A、

1101

0aaB、

1101

0aaC、

1101

0aaD、

1

51a

5、等差数列{}

n

a中，公差

1

2

d，前100项和

100

45S,则

13599

aaaa

课内探究

30

{}10310,201220

(1)30S

n

a例1、已知一个等差数列前项的和是前项的和是，

求前项的和

(2)由这些条件能确定这个等差数列的前n项和的公式吗？

6,1261812

232

{},

nn

kkkkk

anSSSSSS

kSSSSS



*

,,

例2、已知一个数列等差数列，前项的和是，求证：

成等差数列，设其N,求证：--成等差数列。

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-19-

例3、（1）等差数列

n

a中，

2712

24,aaa求

13;

S

(2)已知等差数列

n

a的前4项和为25，后4项和为63，前n项和为286，求项数n

例4、有一项为2n+1的等差数列，求它的奇数项之和与偶数项之和的比。

1235

1235

72

{},{},,

3

n

nn

n

aaaaa

n

ab

bbbbnb









例5、已知一个等差数列满足求

佳一中2012级高一数学学案必修五第二章数列编制人：张晓光杨喜福审核人：许俊莲

-20-

归纳总结：

等差数列前n项和性质.

1212221223

*

21

*

2

{},,,,______

(2){}21()________,_____,____

(,

(3){}2()________,

nkkkkkkk

nn

nn

aaaaaaaaaa

s

annNsss

s

ss

s

annNs

s











奇

偶奇

偶

奇偶

奇

(1)等差数列为

等差数列的项数为则

为序号为奇数的各项之和为序号为偶数的各项之和)

等差数列的项数为则_____,____ss

偶奇

偶

自主巩固练习

1、

1

{}36,S.

n

aaaaaa已知等差数列中，求

2、已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前n项和为286，则项数n为（）

A、24B、26C、27D、28

3、设

n

S是等差数列{}

n

a的前n项和，若6

3

10

7

a

a

，则11

5

S

S



A、

22

7

B、-1C、2D、

1

2

4、在等差数列{}

n

a中，若

48

1,4SS,则

17181920

aaaa的值为（）

A、9B、12C、16D、17

5、若数列{}

n

a是等差数列，首项

12004

0,0,0aaaaa，则使前n项和0

n

S成立的最大自

然数n是（）

A、4005B、4006C、4007D、4008

6、等差数列{}

n

a的前n项和为

n

S，若

11

0()

mmnn

aaaamn



，则

mn

S



等

于（）

A、

2

mn

B、mnC、0D、1

7、设

n

S为等差数列{}

n

a的前n项和，

4107

14,30SSS，则

9

S

8、等差数列{

n

a}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为__________

9、一个等差数列的前n项和为354，前12项中偶数项与奇数项之比为32：27，求公差

d

10、一个等差数列的前10项和为100，前100项和为10，求前110项之和

佳一中2012级高一数学学案必修五第二章数列编制人：张晓光杨喜福审核人：许俊莲

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课后作业

1、数列{}

n

a中，

35

2,1aa，且数列

1

{}

1

n

a

是等差数列，则

11

a

2、一等差数列项数为偶数，且奇数项与偶数项之和分别为24和30，最后一项

与第一项之差为10.5,求此数列的首项,公差和项数.

17

60,12,{||}

n

aan

1

3、在等差数列中,a求数列的前项和

4、已知数列{}

n

a的前n项和为

n

S，且满足

11

1

,2(2)

2nnn

aaSSn





（1）数列

1

{}

n

S

是否为等差数列？请证明你的结论；

（2）求

n

S和

n

a

5、已知等差数列{}

n

a中，公差0,

n

dS为前n项和，且满足

2314

45,14aaaa

（1）求数列{}

n

a的通项公式

（2）通过n

n

S

b

nc





构成一个新的数列{}

n

b，使{}

n

b也是等差数列，求非零常数

C

.

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6、数列{}

n

a中，

14

8,2aa，且满足*

21

20()

nnn

aaanN





（1）求数列{}

n

a的通项公式

（2）设

12

,

nn

Saaa求

n

S

（3）设*

12

1

(),()

(12)nnn

n

bnNTbbbnN

na





,是否存在最大的整数m，使得对于任

意*nN，均有

32n

m

T成立？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由。

7、等差数列{}

n

a中，

1011

0,0,aa，且

1110

||,

n

aaS为数列{}

n

a的前n项和，则使0

n

S的n的最小

值为（）

A、21B、20C、10