合比定理

合分比定理

合比性质和等比性质

田伟德

教学目的：

1、掌握合比和等比性质，并会用它们进行

简单的比例变形；

2、会将合比与等比性质用于比例线段；

3、提高学生类比联想推广命题的能力。

教学重点、难点：熟练并灵活运用合比、等比性质

概念:

【合比定理】

在一个比例里，第一个比的前后项的和与它后项的比，等于第二个比

的前后项的和与它的后项的比，这叫做比例中的合比定理。

即：如果

ac

bd



，那么

(0,0)

abcd

bd

bd





【分比定理】

在一个比例里，第一个比的前后项的差与它的后项的比，等于第二个

比的前后项的差与它们的后项的比，这叫做比例中的分比定理。

即：如果

ac

bd



，那么

(0,0)

abcd

bd

bd





【合分比定理】

一个比例里，第一个前后项之和与它们的差的比，等于第二个比的前

后项的和与它们的差的比。这叫做比例中的合分比定理。

即：如果

ac

bd



，那么

(0,0,0,0)

abcd

bdabcd

abcd







【更比定理】

一个比的前项与另一个比的后项互调后,所得结果仍是比例

.即：如果

ac

bd



，那么

(0,0,0)

ab

bcd

cd



推论:如果3

12

123

123

...(...0)n

n

n

aa

aa

bbbb

bbbb



那么



123

1

1231

...

...

n

n

aaaa

a

bbbbb







教学过程：

一、用特殊化的方法探索合比性质

1、复习平行线等分线段定理。

如图（1），已知一组平行线在直线l上截得

AB=BC=CD=DE=EF，则由平行线等分线段定理

可以得到，在l/截得的各对应线段也相等，即

A/B/=B/C/=C/D/=D/E/=E/F/。

(a)图（1）

(b)

2、将上述结论改写成比例形式，可以猜想

结论：从图（1a）中分解出图（1b），由一组平

A

D

C

B

E

F

A/

B/

C/

D/

E/

F/

l

L/

A

D

F

A/

D/

F/

l

L/

行线可得出

2

3

//

//



FD

DA

DF

AD。观察

DF

DFAD与

//

////

FD

FDDA的

关系？并对一般情况做出猜想：若有

2

3

//

//



FD

DA

DF

AD，

则有

DF

DFAD=

//

////

FD

FDDA=

2

5。

猜想：如果

d

c

b

a

，那么

d

dc

b

ba



。

3、证明猜想，得出合比性质。

（1）启发学生观察已知与未知的关系，寻

找证明思路。

证法一（设比法）设k

d

c

b

a

，则dkcbka,

∵1,1















k

d

ddk

d

dc

k

b

bbk

b

ba

∴

d

dc

b

ba





证法二（利用等式的性质）

∵

d

c

b

a

，∴11

d

c

b

a即

d

dc

b

ba





（2）类比联想，得到分比性质：如果

d

c

b

a

，

那么

d

dc

b

ba



。

让学生用以上两种证法中的一种证明。

得合比性质：如果

d

c

b

a

，那么

d

dc

b

ba



。

（3）理解合比性质的内容，会用语言叙述。

4、类比联想，将合比性质进行推广。

合比性质的表达式中：

（1）比例式的第二、四比例项保持不变；

（2）比的前、后项对应求和或差（作为新

比例式的第一、三比例项）

对此做出以下类比联想，并使用比例的性质

进行证明。

猜想一如果

d

c

b

a

，那么,

cd

c

ab

a







或

dc

c

ba

a







。

猜想二如果

d

c

b

a

，那么

d

kdc

b

kba



，或

d

ndmc

b

nbma



。

说明：对于推广后的问题，教师证明，教会

学生解题的基本方法，基本思考方法主要有两

种：

（1）通过某种方法，将它化为利用原合比

性质的结果。

证明时，可让学生灵活使用以下变形的方

法，将问题转化为合比性质。

①同时交换比例的内项各外项（更比），如

d

c

b

a



a

c

b

d

d

b

c

a

,等

②同时交换比的前项、后项（反比）如

d

c

b

a



c

d

a

b

。

如证明猜想一时

反比

d

c

b

a



c

d

a

b

合比

c

cd

a

ab





等式性质

d

dc

a

ba





反比

dc

c

ba

a







。

（2）对原合比性质的证明方法进行类比联

想来重新证明。可用“设比法”。

另外还可以有

猜想三如果

d

c

b

a

，那么

b

db

a

ca



；

猜想四如果

d

c

b

a

，那么

d

db

c

ca



。

让学生课后证明。

二、利用合比性质来证明等比性质的特例，

并进行推广。

1、练习。利用更比、合比性质证明（强调

用合比性质证明）

如果

d

c

b

a

。求证：（1）

d

db

c

ca



；（2）

d

c

db

ca





。

证明：

d

c

b

a













d

db

c

ca

d

b

c

a

d

c

db

ca







2、观察上述练习的结论，并对一般情况作

出猜想，对练习1中相等的比值的个数进行推

广。

如果)0(ncdb

n

m

d

c

b

a，那么

b

a

ndb

mca







（或

d

c等等）

3、利用“设比法”进行证明，得出等比性

质，见课本205页。

4、强调证明方法（设比法）：设几个相等的

比的比值为k，表示出每一个比的前项（或后项），

利用代数运算证明比例式，这种思想在比例的问

题中经常用到。

5、将合比性质进行推广：

如果

n

m

d

c

b

a

，那么

b

a

nsdsbs

mscsas

k

k





21

21（或

d

c等

等）。

含义：只要相等的比中前项、后项的对应项

的系数相同，就可以使用等比性质。

证明方法：只需每个比的前项、后项乘以相

应的系数即可。

三、合比、等性质的简单应用

例1填空：

（1）已知

3

8





y

yx，则

y

x，



yx

y；

（2）已知)032,0(

7

5

fdbfdb

f

e

d

c

b

a，则







fdb

eca，







fdb

eca

32

32。（可直接用结论，

也可简单讲解求解过程）

（3）已知：

643

zyx

，则





yx

yx，







xz

yx

24

23。

说明：讲解过程中要写出解题过程，示范给学

生看。

四、小结

在学生回忆基础上，师生共同小结：

1、合比性质、等比性质及常用变形，尤其

要请注意等比性质的使用条件；

2、证明两个性质时所用到的“设比法”要

记得；

3、类比联想，推广命题，由特殊猜想一般，

再进行证明的方法。

五、作业：（1）已知

3

2



y

x，求

yx

xy



的值；

（2）已知

432

zyx

，求

xzy

zyx



的值；

（3）已知

9

4



f

e

d

c

b

a，052fdb，求

fdb

eca

52

52



的

值。

（要求写出解题过程）

六、课后练习

1、已知3

5

ab

a



，那么a

b

等于（）

A

2

5

B

5

2

C

2

5

D

5

2



2、若ac

bd



，那么下列等式成立的是（）

A

abcd

bd



B

acbd

ab



C

acbd

cd





D

acbd

ad





3、若:3ab，则ab

b



=

4、若:3:2ab，则a

ba





5、若340(0)xyx，则xy

x

=

6、如果5

2

xy

xy







，那么x

y

等于

7、已知

457

xyz

，则2xy

z





8、若ace

bdf

，则下列式子中正确的是（）

A

abe

cdf

B

111ace

bdf





C

aceace

bdfbdf







D

abcdef

bdf





9、已知3

2

ace

bdf

,则2

2

ace

bdf





=

10、若,,,

347

xyz

xyz均不为0，则3xyz

xyz





的值是

11、已知

578

abc

，且329abc，则243abc的值是

12、若,,abc分别是ABC的三边且有bac

k

acbcab





，

则k

13、已知,,abc为非零实数，且满足bcabac

k

acb



，

则一次函数(1)ykxk的图像一

定经过

象限。

14、在ABC中，若5

sinsinsin2

abc

ABC

,且3abc，则

sinsinsinABC=

15、在ABC中，若

sinsinsin

abc

ABC

，证明：sinsin

sin

abAB

cC



