力偶和力矩的区别

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

第3章力矩与平面力偶系

教学提示：本章主要研究力矩、力偶和平面力偶系的理论。这都是有关力的转动

效应的基本知识，在理论研究和工程实际应用中都有重要的意义。

教学要求：本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的

两种求解方法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的

性质及平面力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。

力对点之矩

1.力矩的概念

力不仅可以改变物体的移动状态，而且还能改变物体的转动状态。力使物体绕某

点转动的力学效应，称为力对该点之矩。以扳手旋转螺母为例，如图3－1所示，设螺

母能绕点O转动。由经验可知，螺母能否旋动，不仅取决于作用在扳手上的力F的大

小，而且还与点O到F的作用线的垂直距离d有关。因此，用F与d的乘积作为力F

使螺母绕点O转动效应的量度。其中距离d称为F对O点的力臂，点O称为矩心。由

于转动有逆时针和顺时针两个转向，则力F对O点之矩定义为：力的大小F与力臂d

的乘积冠以适当的正负号，以符号m

o

(F)表示，记为

m

o

(F)＝±Fh（3－1）

通常规定：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正，反之为负。

图

由图3－1可见，力F对O点之矩的大小，也可以用三角形OAB的面积的两倍表

示，即

m

o

(F)＝±2ΔABC（3－2）

在国际单位制中，力矩的单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。

由上述分析可得力矩的性质：

（1）力对点之矩，不仅取决于力的大小，还与矩心的位置有关。力矩随矩心的位

置变化而变化。

（2）力对任一点之矩，不因该力的作用点沿其作用线移动而改变，再次说明力是

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

滑移矢量。

（3）力的大小等于零或其作用线通过矩心时，力矩等于零。

2.合力矩定理

定理：平面汇交力系的合力对其平面内任一点的矩等于所有各分力对同一点之矩的

代数和。

m

o

(FR)＝m

o

(F1)＋m

o

(F2)＋…＋m

o

(Fn)

即

m

o

(FR)＝Σm

o

(F)（3－3）

上式称为合力矩定理。合力矩定理建立了合力对点之矩与分力对同一点之矩的关

系。这个定理也适用于有合力的其它力系。

例试计算图中力对A点之矩。

图

解本题有两种解法。

（1）由力矩的定义计算力F对A点之矩。

先求力臂d。由图中几何关系有：

d=ADsinα=(AB-DB)sinα=(AB-BCctg)sinα=(a-bctgα)sinα=asinα-bcosα

所以

m

A

(F)=F•d=F(asinα-bcosα)

（2）根据合力矩定理计算力F对A点之矩。

将力F在C点分解为两个正交的分力和，由合力矩定理可得

m

A

(F)=m

A

(F

x

)+m

A

(F

y

)=－F

x•b+F

y•a=－F(bcosα＋asinα)=F(asinα-bcosα)

本例两种解法的计算结果是相同的，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。

力偶和力偶矩

1.力偶和力偶矩

在日常生活和工程实际中经常见到物体受动两个大小相等、方向相反，但不在同一

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

直线上的两个平行力作用的情况。例如，司机转动驾驶汽车时两手作用在方向盘上的

力（图3.3a）；工人用丝锥攻螺纹时两手加在扳手上的力（图）；以及用两个手指拧动水

龙头（图3.3c）所加的力等等。在力学中把这样一对等值、反向而不共线的平行力称

为力偶，用符号(F,F′)表示。两个力作用线之间的垂直距离称为力偶臂，两个力作

用线所决定的平面称为力偶的作用面。

图

实验表明，力偶对物体只能产生转动效应，且当力愈大或力偶臂愈大时，力偶使刚体

转动效应就愈显著。因此，力偶对物体的转动效应取决于：力偶中力的大小、力偶的

转向以及力偶臂的大小。在平面问题中，将力偶中的一个力的大小和力偶臂的乘积Fd

加上适当的符号，作为力偶对刚体转动效应的量度，称为力偶矩，用M或M(F,F′)

表示，即

M＝±F•d(3-4)

式中的正负号表示力偶使刚体转动的方向，通常规定：力偶使物体逆时针方向转动时，

力偶矩为正，反之为负。力偶矩的单位与力矩的单位相同，在国际单位制中，力矩的

单位是牛顿•米（N•m）或千牛顿•米（kN•m）。

力偶是由两个力组成的特殊力系，它的作用只改变物体的转动状态。力偶对物体的

转动效应用力偶矩来度量。平面力偶对物体的作用效应由以下两个因素决定：

(1)力偶矩的大小；

(2)力偶在作用面内的转向。

2.力偶的基本性质及等效条件

力和力偶是静力学中两个基本要素。力偶与力具有不同的性质：

性质一力偶不能简化为一个力，即力偶不能用一个力等效替代。因此力偶不能

与一个力平衡，力偶只能与力偶平衡。

性质二力偶对其作在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，与矩心位置无关。

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

图

如图所示，力偶(F,F′)的力偶矩m(F)＝F•d在其作用面内任取一点O为矩心，

因为力使物体转动效应用力对点之矩量度，因此力偶的转动效应可用力偶中的两个力

对其作用面内任何一点的矩的代数和来量度。设O到力F′的垂直距离为x，则力偶

(F,F′)对于点O的矩为

m

o

(F,F′)=m

o

(F)+m

o

(F′)=F（x+d）-F′x=F•d=m

所得结果表明，不论点O选在何处，其结果都不会变，即力偶对其作用面内任一

点的矩总等于力偶矩。所以力偶对物体的转动效应总取决于力偶矩（包括大小和转向），

而与矩心位置无关。

由上述分析得到如下结论：

在同一平面内的两个力偶，只要两力偶的力偶矩相等，则这两个力偶等效。这就

是平面力偶的等效条件。

根据力偶的等效性，可得出下面两个推论：

推论1力偶可在其作用面内任意移动或转动，而不会改变它对物体的作用效应。

推论2只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长度，而不

会改变它对物体的作用效应。

由力偶的等效性可知，力偶对物体的作用，完全取决于力偶矩的大小和转向。因

此，力偶可以用一带箭头的弧线来表示如图所求，其中箭头表示力偶的转向，m表示

力偶矩的大小。

图

平面力偶系的合成与平衡条件

1.平面力偶系的合成

作用在刚体同一平面内的各个力偶，称为平面力偶系。

设作用于刚体的同一平面内的三个力偶(F

1

,F

1′)(F

2

,F

2′)和(F

3

,F

3′)，如图

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

所示。各力偶矩分别为：

m

1＝F

1•d

1

，m

2＝F

2•d

2

，m

3＝－F

3•d

3

，

图

在力偶作用面内任取一线段AB＝d，按力偶等效条件，将这三个力偶都等效地改

为以为d力偶臂的力偶(P

1

,P

1′)(P

2

,P

2′)和(P

3

,P

3′)。如图所示。由等效条件可

知

P

1•d=F

1•d

1

，P

2•d＝F

2•d

2

，－P

3•d＝－F

3•d

3

则等效变换后的三个力偶的力的大小可求出。

然后移转各力偶，使它们的力偶臂都与AB重合，则原平面力偶系变换为作用于点

A、B的两个共线力系（图）。将这两个共线力系分别合成，得

F

R

＝P

1

＋P

2

－p

3

F

R′＝P

1′＋P

2′－P

3′

可见，力F

R

与F

R′等值、反向作用线平行但不共线，构成一新的力偶（F

R

，F

R′），

如图所示。为偶（F

R

，F

R′）称为原来的三个力偶的合力偶。用M表示此合力偶矩，

则M＝F

R

d＝（P

1

＋P

2

－P

3

）d=P

1•d+P

2•d－P

3•d=F

1•d

1

+F

2•d

2

－F

3•d

3

所以M＝m

1

＋m

2

＋m

3

若作用在同一平面内有n个力偶，则上式可以推广为

M＝m

1

＋m

2

＋…＋m

n

＝Σm（3－5）

由此可得到如下结论：

平面力偶系可以合成为一合力偶，此合力偶的力偶矩等于力偶系中各分力偶的力

偶矩的代数和。

2.平面力偶系的平衡条件

平面力偶系中可以用它的合力偶等效代替，因此，若合力偶矩等于零，则原力系

必定平衡；反之若原力偶系平衡，则合力偶矩必等于零。由此可得到平面力偶系平衡

的必要与充分条件：平面力偶系中所有各力偶的力偶矩的代数和等于零。即

Σm＝0（3－6）

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

平面力偶系有一个平衡方程，可以求解一个未知量。

例在一钻床上水平放置工件,在工件上同时钻四个等直径的孔,每个钻头的力偶

矩为,求工件的总切削力偶矩和A、B端水平反力

图

解:各力偶的合力偶矩为

由力偶只能与力偶平衡的性质，力

A

N

与力

B

N

组成一力偶。

根据平面力偶系平衡方程有:

例一平行轴减速箱如图所示，所受的力可视为都在图示平面内。减速箱输入轴I

上作用一力偶，其矩为

500-

1

m

N·m；输出轴II上作用一反力偶，其矩为

2000

2

m

N·m。设

AB

间距

80l

cm，不计减速箱重量。试求螺栓

A

、

B

以及支承面所受的力。

图

解：取减速箱为研究对象。减速箱除受

1

m

、

2

m

的两个力偶矩作用外，还受到螺

栓与支承面的约束力的作用。因为力偶必须用力偶来平衡，故这些约束力也必定组成

一力偶，A、B处的约束反力方向如图所示，且

BA

FF

。

根据平面力偶系的平衡条件，列平衡方程







n

i

i

m

1

0

0

21

lFmm

A

1875

8.0

2000500

21









l

mm

F

A

N

mNmmmm15

4321

mN60)15(4

4321



mmmmM

02.0

4321

mmmmN

B

N300

2.0

60



B

N

N300

BA

NN

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

得

1875

BA

FF

N

约束力

A

F

及

B

F

分别由

A

处支承面和B处螺栓产生。其中

A

F

是支承面的反作用力，

因而，A处支承面受压力，

B

处螺栓受拉力。

例如图所示，电动机轴通过联轴器与工作轴相连，联轴器上4个螺栓A、B、C、D

的孔心均匀地分布在同一圆周上，此圆的直径d＝150mm，电动机轴传给联轴器的力偶

矩m＝kN•m，试求每个螺栓所受的力为多少

图

解取联轴器为研究对象，作用于联轴器上的力有电动机传给联轴器的

力偶，每个螺栓的反力，受力图如图所示。设4个螺栓的受力均匀，即F

1

＝F

2

＝F

3

＝F

4

＝F，则组成两个力偶并与电动机传给联轴器的力偶平衡。

由Σm＝0，m－F×AC－F×d＝0

解得

本章小结

本章研究了平面力偶系的合成和平衡问题：

1.本章让学生掌握力矩、力偶和平面力偶系的概念，掌握力对点之矩的两种求解方

法，即直接作力臂的方法与利用合力矩定理求解的方法，掌握平面力偶的性质及平面

力偶系的合成与平衡条件，会利用平衡条件求解约束反力。

2.力偶系的合成和平衡应用下面公式进行求解







n

i

i

mM

1







n

i

i

m

1

0

习题

将图所示A点的力F沿作用线移至B点，是否改变该力对O点之矩

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

图图

一矩形钢板放在水平地面上，其边长a＝3m，b＝2m（如图所示）。按图示方向加

力，转动钢板需要P＝P′＝250N。试问如何加力才能使转动钢板所用的力最小，并求

这个最小力的大小。

一力偶(F

1

,F

1′)作用在Oxy平面内，另一力偶(F

2

,F

2′)作用在Oyz平面内，力偶

矩之绝对值相等（图），试问两力偶是否等效为什么

图

图中四个力作用在某物体同一平面上A、B、C、D四点上（ABCD为一矩形），若

四个力的力矢恰好首尾相接，这时物体平衡吗为什么

图

力偶不能与一力平衡，那么如何解释图所示的平衡现象

图

试计算图中力

F

对点

O

的矩。

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

图

如图所示，简支梁

AB

受集中载荷

F

。若已知10FKN，求支座

A

、

B

二处的约束

反力。

图

如图所示，已知梁

AB

上作用一力偶，力偶矩为

M

，梁长为l。求出图(a)、(b)、(c)

三种情况下，支座

A

和

B

的约束反力。

图

如图所示用多轴钻床在一工件上同时钻出4个直径相同的孔，每一钻头作用于工件

的钻削力偶，其矩的估计值20MN·m。求作用于工件的总的钻削力偶矩。如工件用

两个圆柱销钉

A

、

B

来固定，4.0bm。设钻削力偶矩由销钉的反力来平衡，求销钉

A

、

B

反力的大小。

图

-----WORD格式--可编辑--专业资料-----

--完整版学习资料分享----

杆

AB

以铰链

B

和折杆

BC

支持，如图所示。

AB

杆上作用力偶

M

，aACAB，杆的

自重不计。求铰链

A

、

C

的约束反力。

图

四连杆机构OABD在图所示位置平衡。已知：5.0OAm，0.1BDm，作用在

OA

上

的力偶的力偶矩

10

1

M

N·m。各杆的重量不计，试求力偶矩

2

M的大小和杆

AB

所受的

力

AB

F。

图

曲柄连杆活塞机构的活塞上受作用力600PN。如不计所有构件的重量，问在曲柄

上应加多大的力偶

M

，方能使机构在图所示位置平衡

图