正比例

武汉龙文教育学科辅导讲义

授课对象授课教师

授课时间2012-8-11授课题目正比例和反比例

课型复习使用教具讲义纸笔

教学目标

1•使学生结合实际情境认识成正比例和反比例的量，能根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成

正比例或反比例。

2.使学生初步认识正比例的图像是一条直线，能利用给出的具有正比例关系的数据

在方格纸上画出相应的直线，能根据具有正比例关系的一个量的数值看图估计另

一个量的数值。

教学重点和难点

教学重点：根据正、反比例的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。教学难点：根据正、反比例

的意义判断两种相关联的量是否成正比例或反比例。

教学流程及授课详案

知识梳理

一、比例的有关知识

1•比例的意义

①要点：表示两个比相等的式子叫做比例。

②例题：应用比例的意义判断6.4:4和9.6:6能否组成比例？

因为：6.4:4=6.4-4=1.69.6:6=9.6-6=1.6

所以：6.4:4=9.6:6

2.比例的基本性质

①要点：组成比例的四个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间

的两项叫做比例的内项；在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫做比例的基本

性质。

②例题：3:8=18:483X48=8X18

I7项-1

1—一外项

例题：运用比例的基本性质判断3.6:1.8和0.5:0.25能否组成比例？

因为3.6X0.25=0.91.8X0.5=0.9

所以3.6:1.8=0.5:0.25

例题：从12的因数中任意选出4个数，再组成8个比例式。

因为：12=1X12=2X6=3X4

所以从12的因数中任意选出两组4个数并运用比例的基本性质可以组成8个不

同的比例。2X6=3X4

(2)：(3)=(4)：(6)(3)：(2)=(6)：(4)

(2)：(4)=(3)：(6)(3)：(6)=(2)：(4)

(6)：(4)=(3)：(2)(4)：(6)=(2)：(3)

2/10

(6)：(3)=(4)：(2)(4)：(2)=(6)：(3)

3解比例

①要点：根据比例的基本性质，如果已知比例中的任意三项，就可以求出这个比例中

的另一个未知项。求比例的未知项，叫做解比例。

②例题：3:8=X:40

9=4.5

x0.8

8X=3X40

4.5X:=9X0.8

8X=120

4.5X:=7.2

X=15X=

=1.6

⑷比例尺

①要点：图上距离和实际距离的比，叫做这幅图的比例尺。

图卜距离

比例尺=，比例尺有两种形式：数值比例尺和线段比例尺。

实际距离

②例题：在一幅某乡农作物布局图上，20厘米表示实际距离16千米。求这幅图的比

例尺。

16千米=1600000厘米

20=_J_

16

例题：说出下面比例尺表示的意思。

C200400£00eoo1000km

这是线段比例尺，它表示图上1厘米的距离代表实际距离200千米。

例题：在一幅比例尺是1:500000的地图上，量得甲、乙两城的距离是12.5厘米。

甲、乙两城实际相距多少千米？

方法1:12.5X500000==6250000(厘米)=62.5(千米)

方法2:2.5X5=62.5(千米)

方法3:12.5-

1-12.5X500000

-6250000（厘米）-62.5千米

500000

解：设甲、乙两城实际相距X厘米。

12.5=1

500000

1X=12.5X500000

X=6250000

6250000(厘米)=62.5千米

(5)面积变化

1

①要点：把一个平面图形按照一定的倍数(n)放大或缩小到原来的几分之一(一)

n

后，放大(或缩小)后与放大(或缩小)前图形的面积比是n2：1(或1：n2)。

②例题：下面的大长方形是由一个小长方形按比例放大后得到的图形。分别量出它们

3/10

的长和宽，算算大长方形与小长方形面积的比是几比几。

n

7.5厘米，宽

大长方形的面积

=7.53=7.5X3

=9:1=32:1

小长方形的面积

2.51

2.5

1

大长方形与小长方形面积的比是9:1。

效果检测-

1.根据AXB=CXD,写出8个比例式。

()：()=()：()()：(

)=()

()：()=()：()()：(

)=()

()：()=()：()()：(

)=()

()：()=()：()()：(

)=()

2.在一幅比例尺是1000:1的图纸上,量得某止方体零件的棱长为

量得小长方形的长是

2.5厘米，宽是1厘米；大长方形的长是

是3厘米。大长方形与小长方形长的比是7.5:2.5=3:1,宽的比是3:1。

该零件的实际体积是多少?

()

()

()

()

1米。则

3.一个正方形的边长扩大为2倍，则周长扩大为原来的()倍

1

一个正方体的棱长缩小为原来的1，则体积缩小为原来的()。

3

一个圆柱体的底面直径扩大为4倍，则侧面积扩大为原来的()倍

1

一个圆锥体的底面直径缩小为原来的-，则体积缩小为原来的()。

5

4.判断正误

(1)比就是比例，前者是后者的简称，实际上是一个意思。

(2)比的前后项同时加上一个数，比值不变。

(3)比的前后项同时乘以一个数，比值不变。

(4)比例的两外项之积除以两内项之的商为常数。

(5)比例的两内项两外项同乘以一个负数，比例仍然成立。

5.解比例。

(25-5x):(-3)二(3x+5):(-*)

35

()

()

()

()

()

1

113x

4/10

教学过程

小学数学总复习归类讲解及训练

（七）

主要内容

正比例和反比例

考点分析

1•两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的

两个数的比的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们之间的关系叫做正比例关系。

如果用字母X和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：

y=K（一

定）。

X

2•用“描点法”可以得到正比例的图像，正比例的图像是一条直线。对照图像，能

根据一种量的值，估计另一种量相对应的值。

3•两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。如果这两种量中相对应的

两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例关系。

如果用字母X和y分别表示两种相关联的量，用k表示它们的积，反比例关系可以用这样的式子来表示：xy=K（一定）。

4.两个变量的比值一定，这两个变量成正比例；两个变量的积一定，这两个变量成

反比例；没有上述两种关系，这两个变量不成比例。

比例有正反，判断是关键•分清三种量，关系式列全•正比商一

定，反比积不变•商积不一定，不成正与反•等式非乘除，同比例

无关.

典型例题

例1（正比例的意义）一列火车行驶的时间和路程如下表。这两种量有什么关系?

时间/时

12

345

6

路程/千米120720

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有时间和路程两种量。

（2）从左往右看，时间扩大，路程也扩大；从右往左看，时间缩小，路程也缩小。所以它们是两种相关联的量。

12024036I

（3）路程和时间的比值始终不变，=120，

240=120，

123

120……这个比值就是火车的行驶速度。

通过观察和计算，我们对路程和时间的关系有两点发现：第一点路程和时间是两种相关联的量，也就是时间变

化，路程也随着变化；第二点路程和对应的时间的比的比值（也就是速度）是一定的，有这样的关系：

路程

时间

速度（一定）

5/10

具备了这两个条件，我们就可以得到结论：行驶的路程和时间成正比例关系；行驶的路程

和时间成正比例的量。

点评：判断两种量是不是成正比例，分三步：一看它们是不是相关联的两种量；二是看一种量变化，另一种量

是不是也随着变化；满足了前面两个条件，再看它们的比值是否一定。不要省去任何一步。如果用字母x和y

分别表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用这样的式子来表示：1=K(一定)。

x

例2(判断是否成正比例)

练习本的单价一定，买练习本的数量和总价是不是成正比例？为什么？

分析与解：根据正比例的意义，看两个变量的比值是否一定，如果两个变量的比值一

定，那么这两个变量就成正比例，反之，则不成正比例。

买练习本的数量和总价是两种相关联的量，它们与练习本的单价有下面的关系：

所以练习本的数量和总价成正比例。

例3(正比例的图像)磁悬浮列车匀速行驶时，路程与时间的关系如下。

时间/分1234567

路程/千米79

(1)图中的点A表示时间为1分钟时，磁悬浮列车驶过的路程为7千米。请你试着

描出其他各点。

(2)连接各点，它们在一条直线上吗？

(3)根据图像判断，列车运行2分半钟时，行驶的路程是多少千米？行驶30千米大

1234567时间/分

分析与解：根据提供的各组数据描出图像的许多个点，再依次连成直线。路程和时间

相对应的数的比值都是7,即速度一定，路程和时间成正比例，图像是一条直线。对照图

像，可以根据时间的值估计出路程的值，也可以根据路程的值估计出时间的值，估计时允许

有一定的出入。

(1)描点、连线如图。

买练习本的总价

数量

练习本的单价(一定)

6/10

（2）在一条直线上，因为路程和时间成正比例，正比例的图像是一条直线。

（3）根据图像，列车运行2分半钟时，行驶的路程是17.5千米；行驶30千米大约需要4.3

分钟。

例4（辨析）圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径成正比例？分析与解：圆的周长和直径成正比例，而

圆的面积和半径却不成正比例。

可列表判断。

半径/cm

123456

直径/cm

24681012

周长/cm

6.2812.5618.8425.1231.437.68

面积/cm23.1412.5628.2650.2478.5113.04

圆的周长和直径的相对应的数的比值都是3.14，所以圆的周长和直径成正比例。而

圆的面积和半径的相对应的数的比值是变化的，所以圆的面积和半径不成正比例。

圆的周长和直径成正比例，圆的面积和半径却不成正比例。

例5（反比例的意义）

下表是王师傅加工一批零件时，每小时加工零件个数随时间变化的情况。这两种量有

什么关系？

每小时加工零件的个数/个

20

3040

6080

加工的时间/时128643

分析与解：（1）从上表可以看出，表中有每小时加工零件的个数和加工的时间两种量。

（2）从左往右看，每小时加工零件的个数扩大，加工的时间反而缩小；从

右往左看，每小时加工零件的个数缩小，加工的时间反而扩大。所以它们是两种相关联的

量。（3）每小时加工零件的个数和相对应的加工的时间的积都始终不变，如20X12=

240,30X8=240,40X

6=240……而这个积就是这批零件的总个数。

通过观察和计算，我们发现：每小时加工零件的个数和加工的时间是两种相关联的

量，每小时加工零件的个数随着加工的时间变化而变化，但无论它们怎么变化，相对应的

积是一定的，有这样的关系：每小时加工零件的个数X加工的时间=零件的总个数（一

定）。

所以每小时加工零件的个数和加工的时间成反比例的量，它们之间的关系叫做反比例

关系。

7/10

点评：判断两种量是不是成反比例，和正比例一样，分三步：一看它们是不是相关联

的两种量；二是看一种量变化，另一种量是不是也随着变化；满足了前面两个

条件，再看它们的乘积是否一定，进行判断。不要省去任何一步。如果用字母X和y分别表示两种相

关联的量，用k表示它们的比值，正比例关系可以用这

样的式子来表示：xy=K（一定）。

例6（判断是否成反比例）

总产量一定，每公顷的产量和公顷数是不是成反比例？为什么？

分析与解：根据反比例的意义，看两个变量的乘积是否一定，如果两个变量的积一定，

那么这两个变量就成反比例，反之，则不成反比例。

每公顷的产量和公顷数是两种相关联的量，它们与总产量有下面的关系：每公顷的产量X公顷

数=总产量（一定）

所以每公顷的产量和公顷数成反比例。

例7（辨析）和一定，一个加数和另一个加数成反比例。

分析与解：判断两个变量是否成反比例，关键是看两个变量的乘积是否一定。很明显,

和一定，两个加数的积是变化的，所以它们不成反比例。

和一定，一个加数和另一个加数不成反比例。因为它们的积不一定。

点评：有些相关联的量，虽然也是一种量变化，另一种量也随着变化，但它们不是积一定，也不是比值一定，

它们就不成比例。像这样的还有：人的跳高高度和身高；减数一定，被减数和差等。

例8（综合题1）

（1）长方形的面积一定，长和宽成反比例吗？为什么？

（2）长方形的周长一定，长和宽成反比例吗？为什么？

分析与解：判断时可以用列表的方式列举数据，也可以根据计算的公式来推导。

（1）因为长方形的长X宽=长方形的面积（一定），所以长和宽成反比例。

（2）长方形的周长=（长+宽）X2,长方形的周长一定，长+宽的和一定，但不是积一定，所以长和

宽不成反比例。

例9（综合题2）

分别说明大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，每两种量的比例关系。

（1）大米的总千克数一定，每天吃的千克数和天数；

（2）每天吃的千克数一定，大米的总千克数和天数；

（3）天数一定，大米的总千克数和每天吃的千克数。

分析与解：在大米的总千克数、每天吃的千克数和天数这三种量中，当某一种量一定

时，另外两种量可能成正比例关系，也可能成反比例关系。可以根据数量

关系式来判断。

（1）因为每天吃的千克数X天数=大米的总千克数（一定），所以大米的总千克

数一定时，每天吃的千克数和天数成反比例。

（2）因为天数=每天吃的千克数（一定）,所以每天吃的千克数一定

时，大米的总千克数和天数成正比例。

每天吃的千克数成正比例。

（3）因为大米的总千克数

每天吃的千克数

天数（一定），所以天数一定时，大米的总千克数和

8/10

巩固训练

1•仔细观察每张表格，思考表格中两种量之间有关系吗？有什么关系？为什么?

表格1

数量/本13681020

总价/元41224324080

表格2

单价/元1.523456

总价/元6812162024

表格3用60元钱购买笔记本，笔记本的单价和可以购买的数量如下表:

单价/元1.523456

数量/本4030

20

15

1210

2.用一批纸装订练习本，每本25页，可装订400本。如果要装订500本，每本有X页。

题中（）量一定，关系式：（）0（）=（）（—定），（）和（）

成（）比例。

3.一间会客室地面用边长0.3米的正方形地砖铺，需要640块。如果改用边长0.4米的

正方形地砖，需要Y块。

题中（）量一定，关系式：（）0（）=（）（—定），（

）

和（）成（）比例。

4.在圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量中

当底面周长一定时，（）与（）成（）比例；

当高一定时，（）与（）成（）比例；

当侧面积一定时，（）与（）成（）比例。

5.在被除数、除数、商这三种量中，

当()淀时，()与（）成正比例；

当()淀时，()与（）成正比例；

当()淀时，()与（）成反比例；

6.当axb=c(

a、

1

b

、

c为三种量，且均不为0）。

(

)

-

定，()与（）成（）比例；

()

定

，

(）与(）成（）比例；

()

定

，

(）与(）成（）比例；

7.判断。

（1）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比例。（）

（2）图上距离和实际距离成正比例。（）

（3）X和Y表示两种变化的相关联的量，同时5X-7Y=0,X和Y不成比例。（

）

（4）分数的大小一定，它的分子和分母成正比例。（）

（5）在一定的距离内，车轮周长和它转动的圈数成反比例。（）

9/10

（6）两种相关联的量，不成正比例，就成反比例。（）

（7）订阅《小学数学评价手册》的份数与所需钱数成正比例。（）

10/

10

（8）在400米赛跑中，跑步的速度和所用时间成反比例。（

（9）工作总

量一定，已完成的量和未完成的量成反比例。（

（10）正方体的棱长和体积成正比例。（

（11）被除数一定，除数和商成反比例。（

（12）圆的周长和它的直径成正比例。（&判

断下面每题中的两种量是不是成比例，如果成比例，成什么比例。

（1）装配一批电视机，每天装配台数和所需的天数（）。

（2）正方形的边长和周长（）。

（3）水池的容积一定，水管每小时注水量和所用时间（

（4）房间面积一定，每块砖的面积和铺砖的块数（）。

（5）在一定时间里，加工每个零件所用的时间和加工零件的个数（

（6）在一定时间里，每小时加工零件的个数和加工零件的个数（

9•思考：明明三岁时体重12千克，十一岁时体重44千克。于是小张就说:和身高成正比例。”你认为小张的

说法对吗？为什么？

10.某造纸厂每小时造纸1.5吨，2小时、3小时——各造纸多少吨?

（1）把下表填写完整。

造纸时间/时1234

造纸吨数/吨1.5

（2）根据表中的数据，在下图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来。

（3）造纸吨数与造纸时间成正比例吗？为什么?

（4）根据图像判断，5小时造纸多少吨？

)

)

)

)

)

）。

）

。

明明的体重

11/

10

拓展提高

用比例解下列应用题；

•••

1.学生参加搬砖劳动，6人搬砖162块。照这样计算，再增加432块砖，需要学生

多少人？

2.生产一批零件，师傅和徒弟两人合干用了15小时，已知师傅和徒弟的工效比是

5：3•求单独生产这批零件，师傅和徒弟各需用几小时？

3.一捆铅丝重520克，剪下20米，这捆铅丝减少了130克。这捆铅丝还剩多少

米？

4.一个工厂计划一年节约10800度电，实际前5个月就节约了6000度电。照此，

实际可节约多少度电？

5•修一条水渠，计划需要80人，40天完工。实际开工10天后，又增加了20人，求

还需多少天完工？

6.师徒工作效率的比是11:9,两人共同要完成生产555个零件的任务，师傅先做一天后

徒弟再来做。师傅每天生产零件55个，完成任务时师傅共生产了几天？

家长签名: