分式方程

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【知识精读】

1.解分式方程的基本思想:把分式方程转化为整式方程。

2.解分式方程的一般步骤：

（1)在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程；

（2)解这个整式方程；

(3)验根:把整式方程的根代入最简公分母，看结果是否等于零，使最简公分母等于零的

根是原方程的增根,必须舍去,但对于含有字母系数的分式方程，一般不要求检验。

3.列分式方程解应用题和列整式方程解应用题步骤基本相同，但必须注意，要检验求得

的解是否为原方程的根,以及是否符合题意。

下面我们来学习可化为一元一次方程的分式方程的解法及其应用。

【分类解析】

例1.解方程:

x

xx







1

2

1

1

分析:首先要确定各分式分母的最简公分母,在方程两边乘这个公分母时不要漏乘，解

完后记着要验根

解：方程两边都乘以()()xx11，得

xxxx

xxx

x

x

2

22

2111

212

3

2

3

2









()()()，

即，

经检验：是原方程的根。

例2.解方程

x

x

x

x

x

x

x

x























1

2

6

7

2

3

5

6

分析：直接去分母,可能出现高次方程，给求解造成困难,观察四个分式的分母发现

()()()()xxxx6723与、与的值相差1，而分子也有这个特点，因此,可将分母的

值相差１的两个分式结合，然后再通分，把原方程两边化为分子相等的两个分式，利用分式

的等值性质求值。

解：原方程变形为：

x

x

x

x

x

x

x

x























6

7

5

6

2

3

1

2

方程两边通分,得

--

--

1

67

1

23

6723

836

9

2

()()()()

()()()()

xxxx

xxxx

x

x













所以

即

经检验:原方程的根是x

9

2

。

例３.解方程：

1210

43

3234

89

2423

87

1619

45

x

x

x

x

x

x

x

x























分析:方程中的每个分式都相当于一个假分数,因此,可化为一个整数与一个简单的分数

式之和。

解：由原方程得：3

1

43

4

2

89

3

2

87

4

1

45















xxxx

即

2

89

2

86

2

810

2

87xxxx













于是，

所以

解得：

经检验：是原方程的根。

1

8986

1

81087

898681087

1

1

()()()()

()()()()

xxxx

xxxx

x

x













例4.解方程:

612

44

4

444

0

2

2

2

2

y

yy

y

yy

y

y



















分析:此题若用一般解法,则计算量较大。当把分子、分母分解因式后,会发现分子与

分母有相同的因式,于是可先约分。

解：原方程变形为:

62

2

22

2

22

0

22

2()

()

()()

()

()()

y

y

yy

y

y

yy

















约分,得

6

2

2

222

0

2

y

y

y

y

yy













()()

方程两边都乘以()()yy22，得

622022()()yyy

--

--

整理，得

经检验：是原方程的根。

216

8

8

y

y

y







注:分式方程命题中一般渗透不等式，恒等变形,因式分解等知识。因此要学会根据方程

结构特点,用特殊方法解分式方程。

5、中考题解：

例1．若解分式方程

2

1

11x

x

m

xx

x

x











产生增根,则m的值是（）

Ａ.12或ﻩﻩB.12或

C．12或ﻩD．12或

分析：分式方程产生的增根,是使分母为零的未知数的值。由题意得增根是：

xx01或，化简原方程为:21122xmx()()，把xx01或代入解得

m12或,故选择Ｄ。

例2.甲、乙两班同学参加“绿化祖国”活动,已知乙班每小时比甲班多种2棵树,甲班种

60棵所用的时间与乙班种６6棵树所用的时间相等，求甲、乙两班每小时各种多少棵树?

分析：利用所用时间相等这一等量关系列出方程。

解:设甲班每小时种ｘ棵树,则乙班每小时种(x+2）棵树，

由题意得：

6066

2xx





6012066

20

20

222

xx

x

x

x









经检验：是原方程的根

答:甲班每小时种树20棵，乙班每小时种树22棵。

说明:在解分式方程应用题时一定要检验方程的根。

6、题型展示:

例1．轮船在一次航行中顺流航行80千米,逆流航行42千米，共用了7小时；在另一

次航行中,用相同的时间,顺流航行40千米，逆流航行7０千米。求这艘轮船在静水中的速度

和水流速度

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分析:在航行问题中的等量关系是“船实际速度＝水速+静水速度”,有顺水、逆水,取水

速正、负值，两次航行提供了两个等量关系。

解:设船在静水中的速度为x千米／小时,水流速度为y千米／小时

由题意,得

8042

7

4070

7

xyxy

xyxy































解得：

经检验：是原方程的根

x

y

x

y





















17

3

17

3

答:水流速度为3千米/小时，船在静水中的速度为1７千米/小时。

例２.m为何值时，关于x的方程

2

2

4

3

2x

mx

x

x









会产生增根？

解：方程两边都乘以x24，得2436xmxx

整理,得()mx110

当时，

如果方程产生增根，那么，即或

（）若，则

（）若，则

（）综上所述，当或时，原方程产生增根

mx

m

xxx

x

m

m

x

m

m

m





















1

10

1

4022

12

10

1

24

22

10

1

26

346

2

说明:分式方程的增根,一定是使最简公分母为零的根